2020北京牛栏山一中高一（下）期中数学（教师版）

2020北京牛栏山一中高一（下）期中

数    学

一、选择题（共10小题）.

1．已知集合M＝{x||x|＜3}，N＝{1，0，﹣3}，则集合M∩N中元素的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）

A．y＝2x B．y＝﹣x2 C．y＝lg|x| D．y＝cosx

3．代数式sin75°cos75°的值为（　　）

A． B． C． D．

4．+﹣＝（　　）

A． B． C． D．

5．已知，且，则等于（　　）

A．7 B． C．﹣7 D．﹣

6．对于非零向量，，下列命题正确的是（　　）

A．若，则 

B．若，则 

C．若，则在上的投影向量为（为与方向相同的单位向量） 

D．若，则

7．已知，，那么＝（　　）

A．． B． C． D．

8．在四边形ABCD中，“且”是“四边形为正方形”的（　　）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

9．先把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的t（t＞0）倍，再向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，则t，φ的值分别为（　　）

A． B． C． D．

10．已知函数关于x的方程f（x）＝m，m∈R，有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围为（　　）

A． B． C． D．（1，+∞）

二、填空题（共5小题）.

11．已知向量＝（2，1），＝（m，2），若∥，则实数m＝　   　．

12．给出下列三个论断：①a＞b；②；③a＜0且b＜0．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个真命题：　   　．

13．已知向量，，．若，则λ＝　   　；μ＝　   　．

14．在△ABC中，点M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足PM＝2AP，则等于　   　．

15．下面有四个命题：

①函数y＝cos4x﹣sin4x的最小正周期是π；

②函数y＝tan2x的定义域为；

③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象只有一个公共点；

④函数y＝cos2x﹣3cosx+2的最小值为．

其中，真命题的编号是　   　．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，且AB＝2，CD＝1，设．

（Ⅰ）用向量分别表示向量，；

（Ⅱ）求．

17．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x．现已画出函数f（x）在y轴右侧的图象，如图所示．

（Ⅰ）画出函数f（x）在y轴左侧的图象，根据图象写出函数f（x）在R上的单调区间；

（Ⅱ）求函数f（x）在R上的解析式；

（Ⅲ）解不等式xf（x）＜0．

18．在平面直角坐标系中，角α与β的顶点均为坐标原点O，始边均为x轴非负半轴．若角α的终边与圆O交于一点P，将OP绕原点O按逆时针方向旋转后与角β的终边重合．

（Ⅰ）写出角β与α的关系；

（Ⅱ）求tanα和cos（α+β）的值．

19．设函数，其中向量，，x∈R，且函数y＝f（x）的图象经过点．

（Ⅰ）求实数m的值及函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；

（Ⅲ）求函数f（x）的对称中心的坐标．

20．已知函数．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若，求角θ的取值集合；

（Ⅲ）设，，且，，求cos（α﹣2β）的值．

21．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界．

已知函数，g（x）＝1+m•2x+4x．

（Ⅰ）当a＝0时，求函数f（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合；

（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；

（Ⅲ）若函数g（x）是区间（﹣∞，1]上以2为上界的有界函数，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．【分析】求出集合M的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．

解：集合M＝{x||x|＜3}＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{0，1，﹣4}，

则M∩N＝{0，1}，

故选：B．

2．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y＝2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；

对于C，y＝lg|x|＝，既是偶函数又在区间（8，+∞）上单调递增，符合题意；

故选：C．

3．【分析】利用二倍角的正弦化简求值．

解：sin75°cos75°＝sin75°cos75°＝．

故选：A．

4．【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可．

解：

故选：D．

5．【分析】先根据同角三角函数的关系式求得tanα的值，再利用正切的两角和公式即可得解．

解：∵，且，

∴tanα＝，

故选：B．

6．【分析】对于A，若＝，则||＝||，＝未必成立；对于B，若•＝•，则•（﹣）＝0，则⊥﹣；对于C，若，则在上的投影向量为±（为与方向相同的单位向量）；对于D，若，则＝0成立．

解：对于A，若＝，则||＝||，＝未必成立；故A 错误；

对于B，若•＝•，则•（﹣）＝0，则⊥（﹣）；故B错误；

对于D，若，则＝0成立．

故选：D．

7．【分析】直接利用三角函数关系式的变换和半角公式的应用求出结果．

解：，

sin

所以，

故＝．

故选：D．

8．【分析】由“在四边形ABCD中，＝且•＝0”，推出四边形是菱形；菱形未必是正方形，正方形一定是菱形，再根据充分必要条件的定义判断即可．

解：由“在四边形ABCD中，＝且•＝0”，推出四边形是菱形；菱形未必是正方形，正方形一定是菱形，

故在四边形ABCD中，“且”是“四边形为正方形”的必要不充分条件．

故选：B．

9．【分析】用ω，φ表示出函数解析式，根据函数周期计算ω，根据图象上的特殊点计算φ．

解：由题意可知变换后的函数解析式为f（x）＝sin[（x+）+φ]＝sin（++φ），

由函数图象可知f（x）的周期为T＝4（﹣）＝π，∴＝2，即t＝．

由图象可知f（）＝﹣1，即sin（++φ）＝﹣1，

又|φ|＜，∴φ＝﹣．

故选：D．

10．【分析】作出函数图象，根据二次函数的对称性及对数函数，绝对值函数的性质，可得x1+x2＝﹣2，x3x4＝1，，转化后构造新函数直接求解即可．

解：作出函数图象如图所示，设x1＜x2＜x3＜x4，

由二次函数的对称性可知，即x1+x2＝﹣2，

∴，

设，

又，g（5）＝0，

故选：C．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．【分析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若∥，则有1×m＝2×2，解可得m的值，即可得答案．

解：根据题意，向量＝（2，1），＝（m，2），

若∥，则有1×m＝2×2，即m＝5；

故答案为：4

12．【分析】根据不等式的关系，结合命题关系进行判断即可．

解：若①a＞b；③a＜0且b＜0，

则0＞a＞b，则②成立，

若；a＜0且b＜0，则a＞b成立，

故答案为：若a＞b，a＜0且b＜2，则，或者若，a＜0且b＜7，则a＞b．

13．【分析】根据平面向量的坐标运算列方程计算．

解：由题意可知，

解得：λ＝1，μ＝2．

故答案为：4，2．

14．【分析】利用向量运算的几何意义，可知，代入原式，根据已知条件容易求解．

解：因为M是BC的中点，故，

所以＝，

故＝2，＝1．

＝2×1×4×（﹣1）＝﹣4．

故答案为：﹣4．

15．【分析】①将三角函数进行化简，利用周期公式求函数的周期．②利用正切函数定义求解判断．③利用函数的平移关系求函数的解析式．④利用配方法求三角函数的最值判断．

解：①因为y＝cos4x﹣sin4x＝（sin2x+cos2x）（cos2x﹣sin2x）＝cos2x，所以函数的周期T＝＝π，所以①正确．

②对于函数y＝tan2x，2x≠+kπ，k∈Z；∴x≠+，k∈Z；所以②错误．

③设f（x）＝sinx﹣x，则f'（x）＝cosx﹣1≤0，函数f（x）单调递减，∵f（0）＝0，∴方程f（x）＝0只有一个解，即函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象只有一个公共点，所以③正确．

④因为y＝cos5x﹣3cosx+2＝（cosx﹣）2﹣，﹣1≤cosx≤1，所以cosx＝1时，y的最小值为0，所以④错误．

故答案为：①③．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．【分析】（Ⅰ）根据向量加法、减法的几何意义计算即可；

（Ⅱ）将分别用基底向量表示出来，计算即可．

解：（Ⅰ）由已知：＝，

所以：，＝．

所以．

所以＝＝＝．

17．【分析】（I）结合已知及偶函数的图象关于y轴对称性质可求；

（II）由已知函数解析式及偶函数的定义可求；

（III）结合函数的图象即可直接求解．

解：（I）根据偶函数的图象关于y轴对称可得图象如图所示；

结合图象可得函数f（x）的单调增区间[﹣2，0]，（2，+∞），减区间（﹣∞，﹣2），（0，5）；

根据偶函数的对称性可知，当x＜0时f（x）＝x2+2x，

（III）由xf（x）＜0可得或，

故不等式的解集为{x|0＜x＜4或x＜﹣4}．

18．【分析】（Ⅰ）根据任意角的定义即可得解；

（Ⅱ）由三角函数的定义可求得tanα，cosα和sinα的值；再根据二倍角公式可得cos2α和sin2α的值；而cos（α+β）＝cos（2α+），利用余弦的两角和公式展开后，代入相关数据进行运算即可．

解：（Ⅰ）β＝α+．

（Ⅱ）∵P，

∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣5＝，sin2α＝2sinαcosα＝2×（）×＝．

∴cos（α+β）＝cos（2α+）＝cos2α•cos﹣sin2α•sin＝×﹣（）×＝．

19．【分析】先化简出f（x），利用函数图象经过点（）求出m的值．

（Ⅰ）根据函数y＝sinx的单调性求出f（x）的单调区间；

（Ⅱ）利用换元思想研究f（x）的最值；

（Ⅲ）令函数f（x）＝0，求出f（x）的对称中心的坐标．

解：由已知得f（x）＝＝sin2x+mcos2x+m．

（Ⅰ）因为f（）＝2，即，得m＝1．

令，解得，

（Ⅱ）因为，所以，

所以，，

（Ⅲ）令，解得：，即，k∈Z．

故对称中心的坐标为，k∈Z．

20．【分析】结合诱导公式、二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝sin（2x﹣）．

（Ⅰ）利用T＝得解；

（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣）＝，再结合正弦函数的图象与性质即可得解；

（Ⅲ）由和，可求得sin（α+）和cos（α+）的值；由和，可求得sin（2β﹣）和cos（2β﹣）的值；而cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+）﹣（2β﹣）]，利用余弦的两角差公式展开后，代入相关数据进行运算即可．

解：

＝sin（x﹣+）sin（x﹣）+sinxcosx

＝sin[2（x﹣）]+sinxcosx

＝sin（2x﹣）．

（Ⅱ）f（θ）＝sin（2θ﹣）＝，

∴θ＝+kπ或+kπ，k∈Z，

（Ⅲ）∵，

∵，∴α+∈（，），

∵，

∵，∴2β﹣∈（，），

∴cos（α﹣2β）＝﹣cos[（α+）﹣（2β﹣）]

＝﹣×﹣×

＝．

21．【分析】（Ⅰ）函数f（x）定义域为（1，+∞），令h（x）＝，分析单调性，求出函数h（x）在[，3]上值域，再求出f（x）在[，3]上值域，根据有界函数的定义即可得出答案．

（Ⅱ）根据奇函数定义，可得f（﹣x）＝﹣f（x），列式log2＝log2，进而解出a的值．

（Ⅲ）根据有界函数的定义可得，|g（x）|≤2在区间（﹣∞，1]上恒成立，即﹣3（）x﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在区间（﹣∞，1]上恒成立，只需[﹣3（）x﹣2x]max≤m且m≤[（）x﹣2x]min，即可得出答案．

解：（Ⅰ）函数f（x）＝log2定义域为（4，+∞），

令h（x）＝在（1，+∞）单调递减，

所以f（x）在[，3]上值域为[﹣1，3]，

所以函数f（x）在区间[，3]上的所有上界构成的集合为[3，+∞）．

则f（﹣x）＝﹣f（x），

而当a＝1时不合题意，故a＝1．

则|g（x）|≤2在区间（﹣∞，5]上恒成立，

所以﹣2≤1+m•2x+4x≤4，在区间（﹣∞，1]上恒成立，

即﹣3（）x﹣2x≤m≤（）x﹣2x，在区间（﹣∞，1]上恒成立，

设2x＝t，q（t）＝﹣﹣t，p（t）＝﹣t，

q′（t）＝，令q′（t）＝0得t＝，

在（，2）上，q′（t）＜0，q（t）单调递减，

又因为p（t）在（3，2）上单调递减，

所以m的取值范围为[﹣2，﹣]．