2021北京师大附中高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京师大附中高一（下）期中数学（教师版），共13页。试卷主要包含了解答题，共4小题，共51分，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2021北京师大附中高一（下）期中
数 学
一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．
1．（3分）若sinα＜0且tanα＞0，则α是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（3分）设，则下列函数值一定是正值的是（　　）
A．tanα B．sinα C．cosα D．cos2α
3．（3分）已知sinα﹣cosα＝，则sin2α＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
4．（3分）要得到函数y＝4sin（x+）cos（x+）图象，只需把函数y＝2sin2x的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
5．（3分）已知f（x）＝Asin（ωx+φ），其中（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图所示．则f（x）＝（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）在△ABC中，若sinB（1+cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，则△ABC为（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分。
7．（3分）若角β与角的终边关于x轴对称，则与角β同终边的所有角构成集合 　 　．
8．（3分）已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为3π，则该扇形所在圆的半径为 　 　．
9．（3分）sin35°cos25°+cos35°cos65°＝　 　．
10．（3分）已知点P（2，3）在α的终边上，则tanα＝　 　，tan2α＝　 　．
11．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，M是AB的中点，若|AB|＝|BC|＝2，D在线段AC上运动，则的最小值是　 　．
12．（3分）如图，矩形公园OABC中，OA＝2km，OC＝1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E，F分别在边OA与BC上），D为切点，令∠DOE＝θ，则道路EF的长度y与θ的函数关系为 　 　．

三、解答题，共4小题，共51分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
13．（17分）已知三角形ABC，A（3，4），B（0，0），C（16，0）．
（1）写出一个与垂直的非零向量 　 　；（坐标形式）
（2）求cosB；
（3）求向量在向量上投影的数量；
（4）若，求k的值；
（5）求．
14．（16分）已知角α终边落在直线上，且．
（1）tanα＝　 　；
（2）求的值；
（3）若，，求β的值．
15．（11分）已知函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx．
（1）函数y＝f（x）的单调递增区间为 　 　．
（2）求函数y＝g2（x）的单调递增区间；
（3）求函数的对称轴方程；
（4）求解不等式．
16．（7分）已知函数f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1．这两个条件中选择一个作为已知条件，完成问题（1）至（3）．
注：如果选择两个条件分别作答，按第一个解答给分．
我选择的是_____．（填写选择的条件序号①或②）
（1）则f（0）＝　 　．
（2）f（x）的最小正周期为 　 　．
（3）求x∈时，函数f（x）的最大值和最小值．
四、选择题共2小题，每小题2分，共4分。在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项。
17．（2分）下列说法错误的是（　　）
A．∃α，β，使sin（α+β）＝sinα+sinβ
B．∀α，β，sin（α+β）sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β成立
C．∃α，β，使cos（α+β）＝cosα+cosβ
D．∀α，β，cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β成立
18．（2分）已知函数f（x）＝sinx+acosx，当x＝时，f（x）取得最大值，则a的值为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
五、填空题共2小题，每小题2分，共4分。
19．（2分）菱形ABCD中，A＝60°，E为BC中点，记＝，＝，若（+λ）⊥，则λ＝　 　．
20．（2分）若函数在区间上单调递减，则ω的取值范围是 　 　．
六、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.
21．（5分）雨过天晴时，我们常能见到天空的彩红，这种现象是阳光经空气中的水滴反射与折射综合产生的自然现象．为研究方便将水滴近似视为一个球体．且各光线在球的同一截面大圆内．
Ⅰ．如图1，入射光线l1经折射进入该球体内部，折射光线l2经一次内部反射形成反射光线l3，再折射出球体外得到折射光线l4.当l1∥l4时，则称为光线l4为虹；
Ⅱ．如图2，入射光线l1经折射进入该球体内部，折射光线l2经两次内部反射形成反射光线l3，l4.再折射出球体外得到折射光线l5，当l1∥l5时则称为光线l5为霓．

可参考的物理光学反射与折射的知识，有如下定义与规律：
Ⅲ．光被镜面反射时，过入射点与镜面垂直的直线称为法线，入射光线与反射光线与法线的夹角分别称为入射角α与反射角γ，则入射角α等于反射角γ；
Ⅳ．从介质1射入介质2发生折射时，入射角α与折射角β折射光线与法线的夹角的正弦之比叫做介质2相对介质1的折射角λ，即．
设球半径r＝1．球为某种透光性较高的介质．空气相对该介质的折射率为λ．圆弧对光线入射或折射时，其反射镜面为过入射（或反射）点的圆切线，法线为过该点的半径所在直线．
（1）图3中，入射光线l1经入射点P进入球内得到折射光线l2，过P的圆O切线为l，过点P的半径所在直线为法线，设入射角，若球介质的折射率，求折射角β大小；
（2）图1中，设初始入射光线l1的入射角为α，球介质的折射率λ＝1.5．折射光线l4为虹，求cosα；
（3）图2中，设初始入射光线l1的入射角为α，球介质的折射率．折射光线l5为霓，求cosα．

2021北京师大附中高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题，共6小题，每小题3分，共18分．在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项．
1．【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．
【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．
故选：C．
【点评】记住角在各象限的三角函数符号是解题的关键，可用口诀帮助记忆：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它们在上面所述的象限为正
2．【分析】利用三角函数在各个象限的符号的判定，即可得到答案．
【解答】解：因为，
则cosα＞0．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数在各个象限的符号的判定，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
3．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．
【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，
则sin2α＝2sinαcosα＝﹣，
故选：A．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式的应用，属于基础题．
4．【分析】根据三角恒等变换与平移法则，先化简函数y，再判断平移过程．
【解答】解：∵函数y＝4sin（x+）cos（x+）＝2sin[2（x+）]，
∴要得到函数y＝4sin（x+）cos（x+）的图象，
只需把函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位．
故选：B．
【点评】本题考查了三角恒等变换与图象平移的应用问题，是基础题目．
5．【分析】通过函数的图象的最高点求出A，利用图象求出函数的周期，得到ω，图象过点（﹣，0），求出φ的值，从而可得f（x）的解析式．
【解答】解：由图象可知A＝2，T＝＝（﹣）＝4π，∴ω＝＝＝，
将（﹣，0）代入f（x）＝2sin（x+φ），可得2sin（﹣+φ）＝0，
∵0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f（x）＝2sin（x+）．
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基础题．
6．【分析】利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简可得sinBcosC＝sinAcosC，分类讨论即可得解．
【解答】解：在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC＝sinAcosC+sin（A+C）＝sinAcosC+sinB，
可得：sinBcosC＝sinAcosC，
所以cosC＝0，或sinB＝sinA，
所以C为直角，或a＝b，即△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
二、填交题，共6小题，每小题3分，共18分。
7．【分析】若β∈[0，2π），则由题意可知β＝，由此可求出与角β同终边的所有角构成的集合．
【解答】解：若β∈[0，2π），则由角，且角β与角的终边关于x轴对称，
所以β＝，
所以与角β同终边的所有角构成集合为{β|β＝+2kπ，k∈Z}，
故答案为：{β|β＝+2kπ，k∈Z}．
【点评】本题主要考查了终边相同角的集合，是基础题．
8．【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出．
【解答】解：∵120°＝，
∴S扇形＝α•r2＝וr2＝3π，
∴r＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
9．【分析】先由诱导公式，知cos65°＝sin25°，再由两角和的正弦公式，得解．
【解答】解：原式＝sin35°cos25°+cos35°sin25°＝sin（35°+25°）＝sin60°＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和的正弦公式，诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．
10．【分析】直接利用三角函数的定义可求tanα的值，进而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．
【解答】解：∵点P（2，3）在α的终边上，
∴tanα＝，tan2α＝＝＝﹣．
故答案为：，﹣．
【点评】本题考查三角函数的定义，二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．
11．【分析】先判断△ABC是等腰直角三角形，|AC|＝2，以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，写出点M，B的坐标，设D（t，0）且t∈[﹣，]，求出和的坐标，然后计算，再求出其最小值即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，|AB|＝|BC|＝2，∴∠C＝45°，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，|AC|＝2，如右图所示，
以AC所在的直线为x轴，以AC的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（﹣，0），B（0，），M（﹣，），
设D（t，0），t∈[﹣，]，则＝（﹣t，），＝（﹣﹣t，），
∴＝﹣t（﹣﹣t）+×＝（t+）2+，t∈[﹣，]，
∴当t＝﹣时，取最小值，
故答案为：．

【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及最值的求法，属于中档题．
12．【分析】求出∠DOF＝﹣，分别求出DE，DF的表达式，从而求出EF关于θ的表达式．
【解答】解：∵点E，F分别在边OA与BC上，∴，则∠DOF＝﹣，
在Rt△DOE中，DE＝tanθ，
在Rt△DOF中，DF＝tan（﹣）＝＝＝，
∴EF＝DE+DF＝tanθ+＝，
即道路EF的长度y与θ的函数关系为y＝（0），
故答案为：y＝（0）．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了三角函数的性质，是中档题．
三、解答题，共4小题，共51分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
13．【分析】（1）设与垂直的非零向量＝（x，y），根据垂直性质得到x，y关系式，即可得到答案；
（2）根据向量夹角公式可得cosB＝，代入计算即可；
（3）结合（2）得到向量在向量上投影的数量为||cosB，代入计算即可；
（4）表示出k﹣，，利用向量共线性质，得到关于k的方程，解之即可；
（5）表示出2，利用向量模的求解公式即可求出答案．
【解答】解：（1）由题得＝（3，4），设与垂直的非零向量＝（x，y），
则3x+4y＝0，令x＝4，则y＝﹣3，即＝（4，﹣3）；
（2）由题得＝（3，4），＝（13，﹣4），＝（16，0），
则cosB＝＝＝；
（3）向量在向量上投影的数量为||cosB＝5×＝3；
（4）k﹣＝k（3，4）﹣（16，0）＝（3k﹣16，4k），＝（3，4）+（16，0）＝（19，4），
因为，所以4（3k﹣16）﹣19×4k＝0，解得k＝﹣1；
（5）|2|＝|2（3，4）+（16，0）|＝|（22，8）|＝＝2．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量共线、向量夹角公式等，考查学生计算能力，属于中档题．
14．【分析】（1）易角α是第三象限的角，从而确定sinα的符号，再由同角三角函数的关系式，得解；
（2）结合（1）中结论，根据两角和的正弦公式，展开运算，即可；
（3）可得α+β∈（π，2π），再求得sin（α+β）的值，根据β＝（α+β）﹣α，由两角差的余弦公式，展开运算即可．
【解答】解：（1）由题意知，角α是第三象限的角，
∵，∴sinα＝﹣＝﹣，
∴tanα＝＝4．
（2）＝（cosα+sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．
（3）由（1）知，α∈（π，），
∵，∴α+β∈（π，2π），
∵＞0，∴sin（α+β）＝﹣＝﹣，
∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×（﹣）＝，
∴β＝．
【点评】本题考查三角恒等变换的综合应用，熟练掌握两角和差公式，同角三角函数的关系式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．【分析】由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，
∴（1）函数y＝f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，
故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
（2）函数y＝g2（x）＝cos2x＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，
可得函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z．
（3）函数＝sinx+cosx＝2sin（x+），令x+＝kπ+，求得x＝kπ+，
可得函数图象的对称轴方程为x＝kπ+，k∈Z．
（4）求解不等式，即 sin（2x+）≥，即2kπ+≤2x+≤2kπ+，
求得 kπ≤x≤kπ+，k∈Z．
故原不等式的解集为{x|kπ≤x≤kπ+}，k∈Z．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
16．【分析】若取①：
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）利用正弦函数的周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函数的对称性即可求解一条对称轴方程．
（3）由题意可求≤2x+≤，利用正弦函数的性质即可求解其最值．
若取②：
（1）利用三角函数恒等变换及配方法化简函数解析式，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
（2）利用函数的周期性和对称性即可求解．
（3）由题意可求0≤sinx≤1，利用二次函数的性质即可求解其最值．
【解答】解：若取①ω1＝1，ω2＝2：
（1）f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝sin（2x+）+1，
∴f（0）＝sin+1＝×+1＝2；
（2）∵f（x）＝sin（2x+）+1，
∴f（x）的最小正周期T＝＝π；
（3）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，
∴函数f（x）在[0，]上的最大值为：sin+1＝+1，
函数f（x）在[0，]上的最小值为：sin+1＝0．
若取②ω1＝1，ω2＝1：
（1）f（x）＝2cos2x+sinx＝2﹣2sin2x+sinx＝﹣2（sinx﹣）2，
∴f（0）＝﹣2×（0﹣）2＝2；
（2）∵f（x）＝﹣2（sinx﹣）2，
∴f（x）的最小正周期T＝2π．
（3）∵0≤x≤，∴0≤sinx≤1，
∴函数f（x）在[0，]上的最大值为：，
函数f（x）在[0，]上的最小值为：﹣2×（1﹣）2＝1．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质的应用问题，考查转化与运算能力，属于中档题．
四、选择题共2小题，每小题2分，共4分。在每小题的四个选项中，选出符合条件的一项。
17．【分析】对于A：取α＝β＝0时，即可判断A是否正确；
对于B：利用两角和差公式化简，即可判断B是否正确；
对于C：取α＝，β＝﹣时，cos（α+β）＝cosα+cosβ＝1，即可判断C是否正确；
对于D：利用两角和差公式化简，即可判断D是否正确；
【解答】解：对于A：取α＝β＝0时，sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故A正确；
对于B：sin（α+β）sin（α﹣β）＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）
＝sin2αcos2β﹣cos2αsin2β＝sin2α（1﹣sin2β）﹣（1﹣sin2α）sin2β＝sin2α﹣sin2β，故B正确；
对于C：当α＝，β＝﹣时，cos（α+β）＝cosα+cosβ＝1，故C正确；
对于D：cos（α+β）cos（α﹣β）＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ）
＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β≠cos2α﹣cos2β，故D错误，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，解题中需要理清思路，属于中档题．
18．【分析】根据已知条件，结合三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝sinx+acosx＝，其中tanφ＝a，
∴，
又∵当x＝时，f（x）取得最大值，
∴＝，化简可得，a2﹣2a+1＝0，解得a＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角函数的辅助角公式和正弦函数的性质，属于基础题．
五、填空题共2小题，每小题2分，共4分。
19．【分析】根据题意，设菱形的边长为t，用、表示、，由向量数量积的计算公式可得（+λ）•＝（+1）t2＝0，解可得λ的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设菱形的边长为t，
则＝＝+，＝＝+＝+＝+，
则+λ＝（+）+λ（+）＝（1+λ）+（+λ），
若（+λ）⊥，则（+λ）•＝[（1+λ）+（+λ）]•＝（1+λ）•+（+λ）2＝（+1）t2＝0，
解可得：λ＝﹣；
故答案为：﹣．

【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于基础题．
20．【分析】由题意利用正弦函数的增区间，求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数在区间上单调递减，
∴+≥2kπ+，且+≤2kπ+，
求得6k+≤ω≤4k+，令k＝0，
可得ω的取值范围为[，]，
故答案为：[，]．
【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于中档题．
六、解答题（5分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）.
21．【分析】（1）利用，代入数据求解即可；
（2）由折射光线l4为虹，所以l1∥l4，根据几何性质求出，，代入公式求解sinα，再利用同角三角函数关系式求解即可；
（3）由折射光线l5为霓，所以l1∥l5，根据几何性质求出，，代入公式求解sinα，再利用同角三角函数关系式求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，，
所以，
因为，
所以；
（2）折射光线l4为虹，所以l1∥l4，
所以l2＝l3，且OA＝OP＝OQ＝r，
故，
又λ＝1.5，
所以，
所以＝；
（3）因为折射光线l5为霓，所以l1∥l5，
则AB∥PQ，且AP＝BQ，
所以∠APO＝，
因为＝，
所以＝，
故＝．
【点评】本题考查了数学在实际问题中的应用，折射光线的理解与应用，边角关系的应用以及同角三角函数关系式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．