知识点04 几何最值

知识点04  几何最值

一、选择题

12．（2020·泰安）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC﹦1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A．＋1 B．＋ C．2＋1 D．2—

{答案} B

{解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C为坐标平面内一点，BC﹦1，所以点C在以点B为圆心、1长为半径的圆上，在x轴上取OA′=OA=2，当A′、B、C三点共线时，A′C最大，则A′C=2＋1，所以OM的最大值为＋，因此本题选B．

10．（2020·无锡）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝，线段PQ在边BA上运动，PQ＝，有下列结论：

①CP与QD可能相等；                         ②△AQD与△BCP可能相似；

③四边形PCDQ面积的最大值为；          ④四边形PCDQ周长的最小值为3＋.

其中，正确结论的序号为（ ）

A．①④B．②④              C．①③                D．②③

{答案} D

{解析}设AQ＝x，则BP＝—x

①如图1，当点P与B重合时，此时QD为最大，过点Q作QE⊥AC，∵AQ＝，∴AE＝，QE＝，∴DE＝，∴此时QD＝，即0≤QD≤；而≤CP≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误

②若△AQD∽△BCP，则＝，代入得2x2—5x+3＝0，解得x1＝1，x2＝，∴都存在，∴②正确；

③如图2，过点D作DE⊥AB，过点P作PF⊥BC，S四边形PCDQ=S△ABC—S△AQD—S△BPC＝×32－x－×3×（－x）＝ x ＋，∵—x≥0，即x≤，∴当x=时面积最大为；③正确；

④如图，将D沿AB方向平移个单位得到E，连接PE，即四边形PQDE为平行四边形，∴QD=PE，四边形周长为PQ+QD+CD+CP=3+PE+PC，即求PE+PC的最小值，作点E关于AB的对称点F，连接CF，线段CF的长即为PE+PC的最小值；过点D作DG⊥AB，∴AG＝，EN=FN=HM=，∴CH＝＋＝，FH＝MN＝－－＝，∴FC＝，∴四边形PCDQ周长的最小值为3＋，④错误.

12．(2020·荆门)如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接AC、BD，则AC＋BD的最小值为(    )

A．2    B．2    C．6    D．3

{答案}B

{解析}如图#，过点B作BB′∥x轴(点B′在点B的左侧)，且使BB′＝2，则B′(－2，4)；作A关于x轴的对称点A′，则A′(0，－2)；连结A′B′交x轴于点C；在x轴上向右截取CD＝2，则此时AC＋BD的值最小，且最小值＝A′B′＝＝2．故选B．

10．（2020·南通）△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D为BC的中点，直线l经过点D，过B作BF⊥l于F，过A作AE⊥l于E．求AE＋BF的最大值为

 A．    B．2   C．2   D．3

{答案}A

{解析}过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∠ABC＝60°，得BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，得AC＝．

当直线l与AB相交时，延长BF，过点A作AM⊥BF于点M，可得AE＋BF＝AE＋FM＝BM，在Rt△AMB中，BM＜AB，当直线l⊥AB时，最大值为2；

当直线l与AC相交时，过点C作CH⊥l于点H，由点D为BC中点可证明△BFD≌△CHD，BF＝CH，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE＋BF＝AE＋CK ＝AE＋EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC, 当直线l⊥AC时最大值为；所以AE＋BF的最大值为．

11．（2020·恩施）如图，正方形的边长为4，点在上且，为对角线上一动点，则周长的最小值为（    ）．

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

{答案}B

{解析}连接ED交AC于一点F，连接BF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴点B与点D关于AC对称，

∴BF=DF，

∴的周长=BF+EF+BE=DE+BE，此时周长最小，

∵正方形的边长为4，

∴AD=AB=4，∠DAB=90°，

∵点在上且，

∴AE=3，

∴DE=，

∴的周长=5+1=6，

故选：B.

10.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】B

【详解】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，

∵点C到直线l的距离，半径为1，

∴的最小值是，故选：B.

二、填空题

17．（2020·绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为　  　．

{答案}3－2

{解析}延长AD、BC交于点P，作MH⊥PB 于H.

∵AB∥CD，∴＝，∠ABC＝∠DCP＝60°.∵AD＝BC＝CD＝4，∴PD＝PC，∴△PDC为等边三角形，∴PD＝PC＝CD＝4，∠P＝60°. 由∠AMD＝90°，可知点M在以AD为直径的⊙E上，且在四边形ABCD内的一个动点，根据垂线段最短可知E、M、H三点共线时MH最小.在Rt△PEH中，EP＝6，∠P＝60°，∴EH＝EP·sin60°＝3，

∴MH的最小值＝EH－EM＝3－2.

18．（2020·扬州）如图，在▱ABCD中，∠B=60° ，AB=10，BC=8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F ，使得DF=DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为.

（第18题图）

{答案}

{解析}本题考查了解直角三角形、三角形相似的判定与性质三角形、平行四边形面积公式、垂线段最短等知识，解题的关键是将问题转化为垂线段最短来解决．过A作AM⊥BC于M，设EG、DC交于H．∵在Rt△AMB中，∠B=60° ，AB=10，sin∠B=，∴AM=，▱EFGC中，∵DF=DE，∴ED=，又EF=GC，∴，∵EF∥CG，∴△EHD△GHC，∴，∵CD=AB=10是定长，故不管动点E在AB上如何运动，H始终是定点，H又在EG上，它到AB的最短距离就是HN，S▱ABCD=，∴，当动点E运动到与N重合（见答图2），EG最短，此时，HG==，∴EG的最小值=HG+NH=．因此本题答案为．

（第18题答图1）（第18题答图2）

16．（2020·鄂州）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．

{答案}

{解析}本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．

解：如图，

在直线上，x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝，

∴OB＝4，OA＝，

∴，

∴∠OBA＝30°，

由切于Q点，可知OQ⊥PQ，

∴，

由于OQ＝1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，

∴，此时，，

∴，即∠OPQ＝30°，

若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过P作PE⊥y轴于E，

，，

∴，

∵，∴∠OPE＝30°，

∴∠EPM＝30°＋30°＝60°，即∠EMP＝30°，

∴，

故答案为：．

16．（2020·宜宾）如图，四边形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是边AB上的动点，则PC+PD的最小值是　   　．

{答案}5

{解析}要求PC+PD的最小值，PC，PD不能直接求，通过找点C对称点，根据“两点之间线段最短”确定P点的位置，转化PC，从而找出其最小值求解．作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于P．则DC′就是PC+PD的和的最小值．由DA⊥AB，CB⊥AB，得出AD∥BC，进而△ADP∽△BC′P，∴AP：BP＝AD：BC′＝3：2，∵AP+BP＝AB＝5，∴AP＝3，BP＝2，∴PD＝＝3，PC′＝＝2，∴DC′＝PD+PC′＝3+2＝5，∴PC+PD的最小值是5．

17．（2020·东营）如图，在Rt△AOB中，OB=，∠A=30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为．

{答案}

{解析}本题考查了切线的性质、直角三角形的性质及勾股定理．难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当OP⊥AB时，线段PQ最短是关键．

连接OP、OQ，

∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，根据勾股定理知,∴当OP⊥AB时，线段PQ最短.∵在Rt△AOB中，OB=，∠A=30°，∴，，

∴OA×OB=OP×AB，即，∴．

17．（2020·毕节）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，点P是对角线BD上的动点，则AP＋PE的最小值是_________．

{答案}2，

{解析}本题考查正方形的性质，线段最短问题．

解：∵正方形ABCD的边长为4，点E是边AB的中点，

∴BE＝2．

∵点P是对角线BD上的动点，连接PC，则PC＝PA．

连接EC交BD于点P，此时AP＋PE＝AC＋PE＝EC有最小值，最小值EC＝＝＝2．

故答案为2

【解题过程有超纲内容】18.（2020·永州）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是_________．

【答案】

【详解】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．

由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，

由两点距离公式可得：

即周长的最小值．故答案为．

三、解答题

27．（2020·扬州）如图1.已知点O在四边形ABCD的边AB上，且OA=OB=OC=OD=2，OC平分∠BOD，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F.
（1）求证：OC∥AD；
（2）如图2，若DE=DF，求的值；
（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求DE的值.
 

（第27题图1）（第27题图2）

{解析}本题考查了平行线的判定与性质、圆周角定理、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、二次函数最值、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题的关键是作出适当的辅助线，找到解题的思路与途径. （1） 利用角平分线性质与外角知识证明∠BOC =∠OAD=∠BOD即可；

（2）以O为圆心，OA为半径作辅助圆，先利用直径所对圆周角是直角证∠ADB＝90°，再利用互余关系得出∠AOF＝90°，从而求得AD的长，最后由△ADE∽△AOF求得的值；

（3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q. 先证△ACB≌△ACH得AB=AH=4，BC=HC，于是DC =CB=CH，再由△HCD∽△HAB得到HD与BC的关系式，最后，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，通过二次函数的最值求得BC的长，从而可借助余弦函数求得DE的长.

{答案}解：（1）证明：∵OA=OB，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BOD是△AOD的外角，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴∠OAD=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC=∠BOD，∴∠BOC =∠OAD，∴OC∥AD；

（2）如答图1，以O为圆心，OA为半径作圆，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAE=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，又∠DFE=∠AFO，∴∠OAC+∠AFO=90°，∴∠AOF＝90°，AD=，∵∠AOF＝∠ADB＝90°，∠DAC=∠OAC，∴△ADE∽△AOF，∴；

（第27题答图1） （第27题答图2）（第27题答图3）

 （3） 如答图2，以O为圆心，OA为半径作圆，延长BC与AD交于点H. 过E作EQ⊥CD于Q.∵OA=OB=OC=OD=2，∴点A、D、C、B共圆，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∴∠ACH＝90°=∠ACB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，在△ACB和△ACH中，∠ACB＝∠ACH，AC＝AC，∠BAC=∠HAC，∴△ACB≌△ACH，AB= AH=4，BC=HC，

又∠BDH=180°-∠ADB＝90°，∴DC=HB=CB=CH，∵点A、D、C、B共圆，∴∠HCD＝∠HAB，又∠H＝∠H，∴△HCD∽△HAB，∴，即，∴HD=BC2，设BC=x，四边形ABCD的周长为y，则y=AB+AD+CD+BC=4+4-BC2+BC+BC=-x2+2x+8=，∴当x=2时，y有最大值，当BC=x=2时（答图3），AD=CD=BC，∴，且它们所对圆心角都为60°，∴∠DCA=∠CDB=30°，∴ED=EC，∴DQ=CD=1，在Rt△DQE中，=COS∠CDE，=，∴DE=.

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