2.7全等模型（2）（含pdf版）-2023-2024学年升初二（新八年级）数学假衔接教材（人教版） 试卷

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❊2.6 全等模型（2）知 识考 点 半角旋转模型1.半角旋转模型手拉手模型2.手拉手模型 内容如图所示，四边形ABCD是正方形，∠MAN=45°，延长CB至E，使得BE=DN，则△ABE≌△ADN，△AME≌△AMN，且BM+DN=MN.如图所示，AB=AC，∠BAC=2∠EAD，过A点作AF，使得∠BAF=∠CAD，则△ABF≌△ACD.已知正方形中，，且的两边分别交、于点、．试猜想线段、和之间的数量关系，写出猜想，并加以证明．    【分析】延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出，从而得到．【解答】解：．理由：如图，延长至使得，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，．已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）当绕点旋转到时（如图，求证：；（2）当绕点旋转到时（如图，则线段，和之间数量关系是_________；（3）当绕点旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明．    【分析】（1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可；（2）证法与（1）类似，延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可；（3）在上截取，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可．【解答】（1）证明：如图1，过作于，四边形是正方形，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，即，； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下：延长至，使得，连接，四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，故答案为：； （3），理由如下：如图3，在上截取，连接，由（1）知，，，，，．在和中，，，，即，．（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．   【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1） 证明：延长到，使得     连接     ∵四边形是正方形     ∴，      又∵     ∴     ∴，     ∵     ∴    ∴    又∵    ∴    ∴    又∵    ∴（2）证明：延长到，使得     连接     ∵，      ∴     又∵，      ∴     ∴，     ∵     ∴    ∴    又∵    ∴    ∴    又∵    ∴（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.   【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：结论不成立，应当是，理由：如图②，在上截取，使，连接，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴． 内容如图所示，AE=AC，AB=AD，∠EAC=∠BAD=α，则△AED≌△ACB，且ED与BC的夹角为“α”，且AP平分∠EPB.【注意】手拉手模型的特点有：共顶点，且共顶点的两个三角形均为等腰三角形（亦可为等边三角形或正方形或矩形），且共顶点的两个顶角相等.已知：如图1，在和中，，，．  （1）请说明．（2）如图2，连接和，，与分别交于点和，，求的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠ACE =62°；（3）∠CBA=6°．【分析】(1)根据已知条件可以确定∠CAB =∠EAD，结合已知条件，用AAS可判定△ABC≌△ADE；(2)由(1)中△ABC≌△ADE可得∠CBA=∠EDA ,AC=AE，在△MND和△ANB中，用三角形内角和定理由∠MND=∠ANB可得∠DAB=∠DMB=56°，即∠CAE =∠DAB=56°，由AC=AE，可得∠ACE =∠AEC=；【详解】解：（1）∵∠CAE =∠DAB，∴∠CAE +∠CAD =∠DAB +∠CAD，即∠CAB =∠EAD，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS），（2）∵△ABC≌△ADE ，∴∠CBA=∠EDA ,AC=AE ，在△MND和△ANB中，∵∠EDA +∠MND+∠DMB =，∠CBA +∠ANB +∠DAB =，又∵ ∠MND=∠ANB，∴ ∠DAB=∠DMB=，∴∠CAE =∠DAB=，∵AC=AE，∴∠ACE =∠AEC=，∴∠ACE =，如图，在和中，，，若．（1）求证：．（2）求的度数．   【分析】（1）先，，得到，然后得证，从而得到；（2）先由得到，从而得到，然后由，得到是等边三角形，从而得到，最后得到的度数．【解答】（1）证明：，，在和中，，，．（2）解：，，，，，，，是等边三角形，，．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判断线段EC与BF数量关系和位置关系， 并给予证明．    【答案】EC=BF，EC⊥BF，理由详见解析【分析】先由条件可以得出∠EAC=∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出EC=BF，再利用角度之间的转化可得∠BMD=90°，即可证明EC⊥BF．【详解】解：EC=BF， EC⊥BF证明如下：∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF，∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．如图，和都是等边三角形．（1）如图1，线段与是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．（2）如图1，若、、三点在一条直线上，与交于点，求的度数．    【解答】解：（1），理由如下：和都是等边三角形．，，，，，；（2）由得，，，的度数是；如图，为线段上一动点（不与点、重合），在的上方分别作和，且，，，、交于点．有下列结论：①；②；③当时，；④平分．其中正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上）    【解答】解：，，即，在和中，，，，故①正确；，，，，，，，，，，，故②正确；，，，，，，，，故③正确；如图，连接，过点作于，于，，，，，，，，平分，故④正确，故答案为：①②③④．如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA＜OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论是________．解：∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确；∵∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG=OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；法二：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC=∠OBD，∴A、B、M、O四点共圆，∴∠AMO=∠ABO=72°，同理可得：D、C、M、O四点共圆，∴∠DMO=∠DCO=72°=∠AMO，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO=OD，∵OC=OD，∴OA=OC，而OA＜OC，故③错误；如图，在中，，，在中，，，，相交于点，有下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的结论有________.    【答案】①③④【解答】解：，，即，在和中，，，，所以①正确；，而与不确定相等，与不确定相等，和都是等腰直角三角形，，，，与不确定相等，所以②错误；，而，，，，所以③正确；过点作于，于，如图，，，平分，所以④正确．1.如图，在正方形ABCD中，E、F为BC、CD边上的点，若∠FAE=45°，试探究线段BE、EF、DF之间的数量关系，并说明理由．    【答案】EF=BE+DF，见解析.【分析】将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，可得∠DAF=∠BAH，AF=AH，∠FAH=90°，由“SAS”可证△FAE≌△HAE，可得EF=HE=BE＋DF．【详解】解：EF=BE+DF．理由如下：如图，将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，∴△ADF≌△ABH，∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，∴∠FAH=90°，∴∠EAF=∠EAH=45°，∵AF=AH，∠FAE=∠HAE，AE=AE∴△FAE≌△HAE（SAS），∴EF=HE∴EF=HE=BE+HB，∴EF=BE+DF．2.已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．（1）当绕点旋转到（如图时，求证：；（2）当绕点旋转到如图2的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想．（不需要证明）    【分析】（1）在的延长线上，截取，连接，则可证明，可得到，进一步可证明，可得结论；（2）在上截取，连接，可先证明，进一步可证明，可得到，从而可得到．【解答】解：（1）猜想：，证明如下：如图1，在的延长线上，截取，连接，在和中，，，，，，，，，，在和中，，，又，；（2）．证明如下：如图2，在上截取，连接，和中，，，，，，即，，，在和中，，，，．3.如图，，都是等边三角形，则的度数是（    ）    A．B．C．D．解：，都是等边三角形，，，，，，，，，，的度数是故选：．4.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有（　　）A．②④B．①②③C．①②④D．①②③④解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，∴AC=DC，BC=CE，∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△DCB，①正确由①得∠AEC=∠CBD，∴△BCN≌△ECM，∴CM=CN，②正确假使AC=DN，即CD=CN，△CDN为等边三角形，∠CDB=60°，又∵∠ACD=∠CDB+∠DBC=60°，∴假设不成立，③错误；∵∠DBC+∠CDB=60°∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB，∴∠DAE=∠DBC，④正确，∴正确答案①②④  故选：C．5.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上一点，且DE=CE，连接BD，CD．（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．  【答案】（1）， ；（2）， ；（3）．【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．理由如下：如图1，延长交于点．于，．，，，，，．，．AE⊥BC∴，，．（2）与的位置关系是：，数量关系是．如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，，，即．，，，，．AE⊥BC∴，又∵，．（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，和是等边三角形，，，，，，，在和中，，∴，，与的夹角度数为．