2022北京昌平高一（上）期末数学（教师版）

2022北京昌平高一（上）期末

数    学

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，，0，1，，则　　

A．， B．，0， C．， D．，0，1，

2．已知命题，，则为　　

A．， B．， C．， D．，

3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是　　

A． B． C． D．

4．函数的零点个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

5．北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车、短道速滑混合团体接力、跳台滑雪混合团体、男子自由式滑雪大跳台、女子自由式滑雪大跳台、自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项．现有甲、乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲、乙两人的选择互不影响，那么甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是　　

A． B． C． D．

6．如图，四边形是平行四边形，则　　

A． B． C． D．

7．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高．得到的样本数据如下（单位：

甲：9，10，11，12，10，20；

乙：8，14，13，10，12，21．

根据所抽取的甲、乙两种麦苗的株高数据．给出下面四个结论，其中正确的结论是　　

A．甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值 

B．甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差 

C．甲种麦苗样本株高的分位数为10 

D．甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数

8．设且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的　　

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．为了鼓励大家节约用水，北京市居民用水实行阶梯水价，其中每户的户年用水量与水价的关系如表所示：

假设居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为，则该户家庭2021年应缴纳的水费为　　

A．1800元 B．1400元 C．1040元 D．1000元

10．已知函数．给出下面四个结论：

①的定义域是；

②是偶函数；

③在区间上单调递增；

④的图像与的图像有4个不同的交点．

其中正确的结论是　　

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．实数的值为 　　．

12．某校高中三个年级共有学生2000人，其中高一年级有学生750人，高二年级有学生650人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为 　　．

13．已知，，，则，，的大小关系是 　　（用“”连接）

14．某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）．

由图中数据可知　　；估计全校高中学生中完成作业时间不少于的人数为 　　．

15．函数的定义域为，给出下列两个条件：

①（1）；

②任取，且，都有恒成立．

请写出一个同时满足条件①②的函数，则　　．

16．若函数且．

①若，则　　；

②若有最小值，则实数的取值范围是 　　．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，算步或证明过程。

17．（13分）设向量，，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若、、，求的值；

（Ⅲ）若，，，求证：，，三点共线．

18．（14分）已知函数，．

（Ⅰ）若，求的解集；

（Ⅱ）若方程有两个实数根，，且，求的取值范围．

19．（14分）近年来，手机逐渐改变了人门的生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高．为了了解市场上某品牌的甲、乙两种型号手机的性能、现从甲、乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）

假设所有手机性能评分相互独立．

（Ⅰ）在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；

（Ⅱ）在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手扒性能评分不低于90分的概率；

（Ⅲ）试判断甲型号手机样本评分数据的方差与乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）．

20．（14分）已知函数．

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（Ⅲ）若对于恒成立，求实数的最小值．

21．（15分）已知函数的定义域为，如果存在，使得，则称为的一阶不动点；如果存在，使得，且，则称为的二阶周期点．

（Ⅰ）分别判断函数与是否存在一阶不动点；（只需写出结论）

（Ⅱ）求的一阶不动点；

（Ⅲ）求的二阶周期点的个数．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】直接根据交集的定义即可求解．

【解答】解：，，0，1，，

则，．

故选：．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为特称命题，则命题的否定为：，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．

【解答】解：根据二次函数的性质可知，为偶函数，在区间上单调递减，符合题意；

为非奇非偶函数，不符合题意；

为奇函数，不符合题意；

为偶函数，当时，单调递增，不符合题意．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．

4．【分析】令函数，则，在同一坐标系中画出函数与的图象，结合图象，即可求解．

【解答】解：令函数，则，

在同一坐标系中画出函数与的图象，如图所示，

由图可知，两函数图象只有1个交点，

故的零点只有1个．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的能力，属于中档题．

5．【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可．

【解答】解：甲、乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，

共有种选法，

甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共有7种选法，

所以甲、乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率为，

故选：．

【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．

6．【分析】由已知结合向量加法及减法的平行四边形法则可求．

【解答】解：由题意得，，

所以．

故选：．

【点评】本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则，属于基础题．

7．【分析】根据已知条件，结合平均数，中位数，极差，分位数公式，即可求解．

【解答】解：对于，，，

故甲种麦苗样本株高的平均值小于乙种麦苗样本株高的平均值，故错误，

对于，甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，

则甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差，故正确，

对于，甲种麦苗样本株高从小到大排列为9，10，10，11，12，20，

，故甲种麦苗样本株高的分位数为12，故错误，

对于，甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，

则甲种麦苗样本株高的中位数小于乙种麦苗样本株高的中位数，故错误．

故选：．

【点评】本题主要考查中位数，平均数，极差的求解，属于基础题．

8．【分析】结合指数函数与一次函数的单调性分别求解相应的的范围，进而可判断．

【解答】解：由函数在上是减函数可得，此时函数在上是增函数，

若在上是增函数，则，即，在上单调性不确定，

故函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握一次函数与指数函数单调性对参数的要求，属于基础题．

9．【分析】用水量，可分两阶梯分别付费，列式求解即可．

【解答】解：居住在北京的某户家庭2021年的年用水量为，

该户家庭2021年应缴纳的水费为（元，

故选：．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分段函数的应用，属于基础题．

10．【分析】对于①，由，即可求解，对于②，结合偶函数的定义，即可求解，对于③，结合特殊值法，即可求解，对于④，由题意可得，，即，分类讨论，解出的值，即可求解．

【解答】解：对于①，，

的定义域为，故①正确，

对于②，，且定义域关于原点原点对称，

故为偶函数，故②正确，

对于③，，

（1），（2），故③错误，

对于④，由题意可得，，即，

当时，，解得或，

当时，，解得或，

综上所述，的图像与的图像有4个不同的交点，故④正确．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的性质，需要学生较强的综合能力，属于中档题．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11．【分析】根据对数运算性质运算即可．

【解答】解：．

故答案为：1．

【点评】本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．

12．【分析】求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样法原理计算从中抽取的样本人数．

【解答】解：高三年级有学生为人，

用分层抽样法从中抽取容量为20的样本，

应抽取高三年级学生的人数为：．

故答案为：6．

【点评】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．

13．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．

【解答】解：，，

，，

，，

，

故答案为：．

【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．

14．【分析】根据频率分布直方图，求出中间4个组对应的频率和，利用频率和为1，求出，再求出全校高中学生中完成作业时间不少于的频率与频数即可．

【解答】解：根据频率分布直方图，

得，

解得，

全校高中学生中完成作业时间不少于的频率为，

估计对应的学生人数是．

故答案为：0.1；50．

【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．【分析】依题意，可令，同时满足条件①②即可．

【解答】解：令，，

则（1），满足①；

令，

则，

，满足②，

故答案为：（不唯一）．

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查基本初等函数的性质，属于基础题．

16．【分析】（1）直接代入，求值即可，

（2）分类讨论的值，并求的范围即可．

【解答】解：（1）由题意，

则（4），

（2）设函数且有最小值，

，

时，（2），

时，，

解得，

则实数的取值范围是，，

故答案为：，．

【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．

三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，算步或证明过程。

17．【分析】（Ⅰ）利用向量的线性坐标运算即可求解．

（Ⅱ）利用向量的数乘和相等的坐标运算即可求解．

（Ⅲ）利用向量的共线证明即可．

【解答】解：（Ⅰ）向量，，

，

．

（Ⅱ），

，，，，

，，

．

证明：（Ⅲ），，

，，

，与有公共点，

，，三点共线．

【点评】本题主要考查了平面向量的坐标计算，向量的共线，属中档题．

18．【分析】把代入后，结合二次不等式的求法即可求解；

结合二次方程根的存在条件及已知不等式可求的范围．

【解答】解：若，则，

解得，

所以的解集，；

因为有两个实数根，，

所以△且，

解得或，

又，

所以，

解得，或，

综上的范围为或．

【点评】本题主要考查了二次不等式的求解及二次方程的根的存在条件及二次方程的根与系数关系的应用，属于基础题．

19．【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．

令在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，其中恰有1部手扒性能评分不低于90分的事件为，事件包含两种情况，分别求出两种情况的概率，并求和，即可求解．

通过观察表中数据可得，相对于甲型号手机的数据，乙型号手机的数据更加分散，即可求解．

【解答】解：令在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，该手机性能评分不低于90分的事件为，

则（A）．

令在甲、乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，其中恰有1部手扒性能评分不低于90分的事件为，事件包含两种情况，

甲低于90分，乙不低于90分或甲不低于90分，乙低于90分，

故（B）．

乙型号手机样本评分数据的方差大于甲型号手机样本评分数据的方差，

理由如下：通过观察表中数据可得，相对于甲型号手机的数据，乙型号手机的数据更加分散，

故乙型号手机样本评分数据的方差大于甲型号手机样本评分数据的方差．

【点评】本题主要考查统计知识的应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．

20．【分析】（Ⅰ）由可求得的定义域；

（Ⅱ）为偶函数，利用偶函数的定义证明即可；

（Ⅲ）对于恒成立对于恒成立，分离参数，利用基本不等式可求得实数的最小值．

【解答】解：（Ⅰ），由得，

故的定义域为；

（Ⅱ）为偶函数．

证明：由（Ⅰ）知，的定义域关于原点对称，且，

所以为偶函数．

（Ⅲ）对于恒成立对于恒成立，

因为当时，，又为增函数，

所以式可等价转化为对于恒成立，

分离参数，得对于恒成立，

（当且仅当时取等号），

，即．

．

【点评】本题考查函数恒成立问题，考查函数的定义域及函数奇偶性的确定，考查复合函数的单调性，突出等价转化思想与化简运算能力的考查，属于中档题．

21．【分析】（Ⅰ）根据一阶不动点的定义直接分别判断即可；

（Ⅱ）根据一阶不动点的定义直接计算；

（Ⅲ）根据分段函数写出，结合二阶周期点的定义判断．

【解答】解：（Ⅰ）设函数，，

作出与的图像，如图所示，两函数图象没有交点，

所以不存在一阶不动点；

设函数存在一阶不动点，即存在，上，使，解得成立，

所以存在一阶不动点；

（Ⅱ）由已知得，解得或，

所以的一阶不动点为0，；

（Ⅲ）由，

当时，，，所以，

设，，

因为，在，上单调递减，

所以在，上单调递减，且，（1），

所以在，上只有一个零点，

即在，上只有一个解，

即在，上只有一个二阶周期点；

当时，，且（2），

所以时，，，

令，解得成立，

所以方程在上只有一个解，

此时，

所以在上只有一个二阶周期点；

当时，

，，，

设，

因为与，均为减函数，

由复合函数的单调性可知在，上单调递减，且（2），（4），

所以在，只有一个零点，即在，上只有一个解，

即在，上只有一个二阶周期点；

综上所述，的二阶周期点的个数为3．

【点评】本题属于新概念题，考查了学生的推理能力及分类讨论思想，数形结合思想，难点在于根据定义求解二阶周期点，属于中档题．