人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第1课时课时练习

第1课时　双曲线的简单几何性质

1．[2023·河南商丘高二检测]双曲线－y2＝－1的焦点坐标为(　　)

A．(－3，0)，(3，0)    B．(0，－3)，(0，3)

C．(－，0)，(，0)    D．(0，－)，(0，)

2．下列双曲线中，以(2，0)为一个焦点，以(1，0)为一个顶点的双曲线方程是(　　)

A．－y2＝1    B．－y2＝1

C．x2－＝1    D．x2－y2＝1

3．若双曲线C两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线C的离心率是(　　)

A．    B．

C．2    D．

4．[2023·福建厦门外国语学校高二测试]若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为(　　)

A．    B．

C．    D．

5．[2023·重庆九龙坡高二测试]若双曲线C：－y2＝1的焦距为2，则双曲线C的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0   B．2x±y＝0

C．x±y＝0    D．x±y＝0

6．[2023·江苏南通高二检测](多选)设双曲线C：－＝1(b>0)的焦点为F1，F2，若点P(2，1)在双曲线C上，则(　　)

A．双曲线C的离心率为2

B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

C．||PF1|－|PF2||＝2

D．PF1·PF2＝2

7．双曲线－x2＝1的实轴长为________．

8．[2023·湖北华中师大附中高二检测]已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，一个焦点为(2，0)，则a＝________．

1．若离心率为的双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，则双曲线的方程是(　　)

A．－＝1    B．－＝1

C．－＝1    D．－＝1

2．已知幂函数y＝x－1的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线y＝x上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是(　　)

A．＋＝1    B．－＝1

C．x2－y2＝1   D．－＝1

3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与虚轴的两个端点构成等边三角形，则C的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x    B．y＝±x

C．y＝±x    D．y＝±x

4．[2023·福建厦门一中高二检测]若双曲线C：－＝1的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的焦距为(　　)

A．8    B．10

C．12    D．16

5．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1，则双曲线C的离心率为(　　)

A．    B．

C．2    D．

6．[2023·江苏宿迁高二测试](多选)双曲线－＝1的焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论正确的是(　　)

A．该双曲线的离心率为

B．该双曲线的渐近线方程为y＝±x

C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为16

D．点P到两渐近线的距离乘积为

7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过三点(－2，0)，(－2，2)，(4，－2)中的两点，则C的方程为________．

8．设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是渐近线上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，PF2·F1F2＝0，则双曲线C的离心率为________．

9．[2023·山东烟台高二测试]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e＝，且过点M(－2，2).

(1)求a，b的值；

(2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(，2)的双曲线的标准方程．

10．[2023·湖南益阳高二检测]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线C的右支上，且|MF1|－|MF2|＝2，离心率e＝2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积．

1．[2023·山西吕梁高二检测]已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)(c>0)，M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆B：(x－)2＋y2＝相切于点D，且|MF|＝4|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为(　　)

A．2x±y＝0    B．2x±3y＝0

C．2x±7y＝0    D．4x±7y＝0

2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，则E的离心率为________．

3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点．

(1)求|PF1|的最小值；

(2)若右支上存在点P满足|PF1|＝4|PF2|，求双曲线的离心率的取值范围．

第1课时　双曲线的简单几何性质

必备知识基础练

1．答案：D

解析：方程－y2＝－1可化为y2－＝1，所以双曲线－y2＝－1的焦点在y轴上，且a＝1，b＝，所以c＝＝，

所以双曲线y2－＝1的焦点坐标为(0，－)，(0，).故选D.

2．答案：C

解析：因为双曲线的一个焦点是(2，0)，故可设双曲线方程为－＝1，且a2＋b2＝4；

又(1，0)为一个顶点，故可得a＝1，解得b2＝3，

则双曲线方程为x2－＝1.故选C.

3．答案：A

解析：由渐近线方程可知＝1，则＝ ＝.故选A.

4．答案：A

解析：因为双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，而e＝＝＝2，所以＝，

故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为.故选A.

5．答案：A

解析：因为双曲线C：－y2＝1的焦距为2，所以c＝，

所以a2＋b2＝m＋1＝()2，解得m＝1，所以a＝1，b＝1，

所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.故选A.

6．答案：BC

解析：依题意，－＝1，解得b＝，双曲线C：－＝1的实半轴长a＝，半焦距c＝，

双曲线C的离心率e＝＝，A不正确；

双曲线C的渐近线方程为y＝±x，B正确；

||PF1|－|PF2||＝2a＝2，C正确；

F1(－，0)，F2(，0)，则PF1＝(－－2，－1)，PF2＝(－2，－1)，

有PF1·PF2＝(－－2)(－2)＋(－1)·(－1)＝－1，D不正确．故选BC.

7．答案：6

解析：由－x2＝1得，a＝3，所以实轴长为2a＝6.

8．答案：1

解析：依题意双曲线的渐近线y＝x＝x，＝，

由焦点(2，0)得c＝2，由，解得a＝1，b＝.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：由题知在椭圆中c2＝40－15＝25，

∴焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，

∴在双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5，

∵e＝＝，

∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16，

故双曲线的方程为－＝1.故选A.

2．答案：B

解析：由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点A1(－1，－1)，A2(1，1)是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长＝|A1A2|＝2，

显然选项A表示的是圆；选项B的双曲线实轴长为2；选项C双曲线的实轴长为2；选项D的双曲线实轴长为4.故选B.

3．答案：C

解析：由已知及双曲线的对称性可得tan 30°＝，所以c＝b.所以a＝＝b，所以＝，所以C的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.

4．答案：A

解析：由－＝1，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x，

不妨设直线2x－ay＝0被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则4－()2＝()2，解得a2＝12，所以c2＝a2＋4＝16，所以c＝4.故该双曲线的焦距为2c＝8.故选A.

5．答案：A

解析：因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(3，0)，

且渐近线方程为bx±ay＝0，所以焦点F到渐近线的距离为d＝＝1，

化简得a2＝8b2，

所以双曲线的离心率e＝ ＝＝.故选A.

6．答案：BCD

解析：由双曲线的标准方程可知：

a2＝9⇒a＝3，b2＝16⇒b＝4，c2＝9＋16＝25⇒c＝5，

A：e＝＝，故A错误；

B：渐近线为y＝±x⇒y＝±x，故B正确；

C：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则⇒⇒2mn＝4c2－4a2⇒mn＝32，

S△PF1F2＝mn＝16，故C正确；

D：设P(x0，y0)，则－＝1⇒16y－9x＝144，

双曲线渐近线为3x＋4y＝0，3x－4y＝0，

∴点P到两渐近线的距离乘积为·＝＝，故D正确．故选BCD.

7．答案：－＝1

解析：根据双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的对称性可知，点(－2，0)，(4，－2)在双曲线图象上，将其代入双曲线方程，所以解得

所以双曲线C：－＝1.

8．答案：

解析：不妨设P在第一象限，因为PF2·F1F2＝0，则P(c，)，依题意＝2c，所以＝2，离线率e＝＝ ＝.

9．解析：(1)因为离心率为e＝＝＝ ＝，所以b2＝4a2.

又因为点M在双曲线C上，所以－＝1.

联立上述方程，解得a2＝1，b2＝4，即a＝1，b＝2.

(2)设所求双曲线的方程为x2－＝λ，

由双曲线经过点P，得3－＝λ，即λ＝－2.

所以双曲线的方程为x2－＝－2，其标准方程为－＝1.

10．解析：(1)由题意|MF1|－|MF2|＝2a，∴2a＝2⇒a＝1，

又e＝＝2⇒c＝2，∴b2＝c2－a2＝3，

故双曲线C的方程为x2－＝1.

(2)令|MF1|＝m，|MF2|＝n，

则由双曲线定义可得m－n＝2，　①

由三角形余弦定理得m2＋n2－2mn·cos 60°＝4c2＝16，　②

①2－②有mn＝12，

∴△F1MF2的面积S＝mn·sin 60°＝3.

核心素养升级练

1．答案：D

解析：设双曲线的左焦点为F′(如图所示)，

由|BF|＝，|BF′|＝c，可知|F′F|＝4|BF|，

又由|MF|＝4|DF|，可知BD∥MF′，

有F′M⊥MF，|MF′|＝4×＝，|MF|＝2a＋，在Rt△MFF′中，4c2＝b2＋(2a＋b)2，得＝，故双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x.故选D.

2．答案：

解析：由cos ∠BAC＝－，AB⊥BD，

则cos ∠BAF1＝，∠ABF1＝，

设|AF1|＝5t，

则|AB|＝3t，|BF1|＝4t，

由双曲线的性质可得|AF2|＝5t－2a，|BF2|＝4t－2a，

则9t－4a＝3t，

即t＝a，

即|AF1|＝a，|AF2|＝a，|BF1|＝a，|BF2|＝a，

在直角△BF1F2中，

由勾股定理可得(2c)2＝|BF1|2＋|BF2|2，

即9c2＝17a2，

即e＝＝.

3．解析：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y)(x≥a)，

则|PF1|＝＝

＝＝ ＝|x＋a|＝x＋a≥·a＋a＝a＋c，当P在右顶点时，|PF1|最小，所以|PF1|的最小值为a＋c.

(2)设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π].

依题意，解得，

由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2，即－1≤－e2<1，得1<e2≤，1<e≤.