2021届陕西省西安中学高三上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2021届陕西省西安中学高三上学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用三角函数定义即可求得：，，再利用余弦的二倍角公式得解.【详解】因为角的终边过点，所以点到原点的距离所以，所以故选C【点睛】本题主要考查了三角函数定义及余弦的二倍角公式，考查计算能力，属于较易题．2．向量，则是的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，显然有，充分性得证，当时，则存在实数使得，∴，∴，必要性得证，∴是的充分必要条件．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握掌握充分必要条件的定义是解题关键．3．下面有四个命题：，；，；，；，.其中假命题的是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】对于命题，举，肯定特称命题正确；对于命题，举反例说明命题不正确；配方法证明，则命题不正确；利用基本不等式证明命题正确.【详解】对于命题，当时，成立，所以命题为真命题；对于命题，当时，等式不成立，所以命题为假命题；对于命题，因为恒成立，所以命题为假命题；对于命题，由基本不等式易得对，恒成立，所以命题为真命题.故选：D【点睛】本题主要考查了全称命题与特称命题真假的判断，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.4．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入，，又．①，，，；②，，，，；③，，，；④，则否，输出.故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5．i为虚数单位，若，则（ ）A．1 B．C． D．2【答案】A【解析】由复数的除法运算求得，再由模的定义计算．【详解】由已知，∴．故选：A．【点睛】本题考查复数的除法运算、考查求复数的模，解题方法是利用复数的运算求出的代数形式，再由模的定义求解．6．如图，在中，是边延长线上一点，，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用平面向量的三角形加法和减法法则即得解.【详解】由题得.故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．关于函数，有以下4个结论：①的最小正周期是；②的图象关于点中心对称；③的最小值为；④在区间内单调递增其中所有正确结论的序号是（ ）A．①②③ B．①③ C．②④ D．②③④【答案】B【解析】根据正余弦倍角公式及辅助角公式可得，结合正弦函数的图象与性质可知其最小正周期、对称中心、最值、增减区间，即可得答案.【详解】，由，知：最小正周期，故①正确；由正弦函数的性质，知：中，，则对称中心为，故②错误；由的化简函数式知：，故③正确因为在定义域上为增函数，结合复合函数单调性知：在上递增，可得，，有一个单调增区间为，故上不单调，故④错误，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，根据正余弦倍角公式及辅助角公式化简函数式，结合三角函数的图象与性质确定最小正周期、对称中心、最值、增减区间判断选项正误，属于中档题.8．已知在河岸处看到河对岸两个帐篷分别在北偏东和北偏东方向，若向东走30米到达处后再次观察帐篷，此时二者分别在北偏西和北偏西方向，则帐篷之间的距离为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】本题可先在中解出的值，再在中解出的值，最后在中利用余弦定理解得的值．【详解】由题意可得在中有：因为所以解得在中有：解得在中有：，解得，故选C．【点睛】本题主要考察对解三角形的灵活运用，解三角形有正弦公式：；余弦公式：．9．甲､乙两人连续两天在同一个水果店购买了同一品种的砂糖橘，两天的价格不同，两人购买的方式不同，每人每天购买1次，甲每次总是买5斤，乙每次总是买20元的，设甲两次购买的平均价格为x元斤，乙两次购买的平均价格为y元斤，则下列关系式一定成立的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意求出得到的大小关系，然后由不等式的性质，对数函数，正弦函数的性质判断．【详解】设砂糖橘第一天的价格是元/斤，第二天价格是元/斤，，，则，，∵，∴，即，∴，，A错；；B错；在上不是单调函数，C错；，∴，D正确．故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，考查对数函数，正弦函数的性质，掌握作差法比较两实数的大小是解题基础．10．若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为两个不等的实根是和不妨令故可得，解得则=故选：C.【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题.11．若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】用诱导公式结合已知条件求出，再用余弦的二倍角公式求得，最后再由诱导公式求得结论．【详解】,，，∴．故选：C．【点睛】本题考查诱导公式，余弦的二倍角公式，解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，先用恰当的公式计算．12．已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】B【解析】求出过点的函数图象的切线的斜率，再求出函数的端点与点连线的斜率，由图象可得结论．【详解】函数存在零点，即方程有解，有解，∴函数的图象与直线有交点，作出函数的图象，作出直线，直线过定点，如图，，，设直线与相切的切点为，∵，即，由得，即切线斜率为，由图象可知，函数的图象与直线有交点时，或．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数有零点转化为方程有解，再转化为函数图象与直线有交点，通过数形结合思想求解．二、填空题13．设函数，则_____.【答案】【解析】结合已知分段函数的解析式代入即可求解.【详解】∵，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题.14．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.【答案】【解析】求导数，得切线斜率即，由同角关系得，由二倍角公式得，再由两角和的余弦公式计算．【详解】由已知，∴，∴是锐角，∴，，∴，．∴．故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系，两角和的余弦公式二倍角公式，属于中档题．15．若在上是减函数，则a的最大值是___________.【答案】【解析】求出导函数，然后解不等式确定的范围后可得最大值．【详解】由题意，，，，，，，∴，的最大值为．故答案为：【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．16．在中，分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是__________．【答案】(2,4]【解析】因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得所以．由正弦定理得，所以．故答案：(2,4]【点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域．三、解答题17．已知函数.（1）求的振幅、最小正周期和初相位；（2）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，求的取值范围.【答案】（1）振幅为，最小正周期为，初相位为；（2）.【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，进而可求得函数的振幅、最小正周期和初相位；（2）利用图象变换求得，由求得的取值范围，利用余弦函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】（1），因此，函数的振幅为，最小正周期为，初相位为；（2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则，当时，，，所以，，因此，当时，的取值范围是.【点睛】本题考查正弦型函数的振幅、最小正周期和初相位的求解，同时也考查了余弦型函数值域的求解，以及利用图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.18．已知，（1）求在处的切线方程；（2）求在上的最值.【答案】（1）；（2）最小值为，最大值为.【解析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，写出切线方程；（2）求出的解，由确定增区间，确定减区间，计算出极值和端点处的函数值后可得最值．．【详解】的定义域为所以切线方程为：，即令，得，又，故当时，单调递减当时，单调递增在处取得最小值，为在处取得最大值，为综上得在上的最小值为，最大值为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值，属于基础题．19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．（1）求；（2）若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】(1）由题意利用正弦定理求得的值．(2）由题意利用两角差的余弦公式求得的值，可得B的值，再利用正弦定理求得ac的值，利用余弦定理求得a＋c的值.【详解】（1）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵的面积为，∴，即．再利用正弦定理可得，因为，∴．（2），，，∴，∴，∴．由正弦定理，，∴，，再根据余弦定理，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，属于中档题.20．2019年12月以来，湖北武汉发生“新型冠状病毒肺炎”简称新冠肺炎疫情，全国人民凝心聚力，众志成城支援武汉.某省多家医院积极响应国家卫健委号召，组织病毒学专家､重症医学科医务人员､呼吸科医务人员､感染科医务人员等180名优秀医务人员奔赴武汉抗疫前线.有关数据见表单位：人.病毒学专家为了检测当地群众发烧是否更易受新冠肺炎疫情影响，在当地随机选取了1200名群众进行了检测，并将有关数据整理成列联表表.表1：表2：（1）补充完整表2，并判断是否有的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）若采用分层抽样的方法从病毒学专家，重症医学科医务人员和呼吸科医务人员中选6人参加新闻发布会，再从这6人中随机指定2人作为主讲人，求其中恰好有1人为重症医学科医务人员的概率.临界值表：参考公式：，其中.【答案】（1）填表答案见解析，有的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关；（2）.【解析】（1）由已知计算的观测值，根据临界值表可得结论.（2）根据分层抽样可得抽得病毒学专家1人记为，重症医学科医务人员3人记为b，c，，呼吸科医务人员2人记为e，，列举从这6人中随机指定2人作为主讲人所包含所有基本事件，根据古典概率公式可得答案.【详解】（1）的观测值，故有的把握认为疫情地区的群众发烧与患新冠肺炎有关.（2）由已知抽样比为，则抽得病毒学专家1人记为，重症医学科医务人员3人记为b，c，，呼吸科医务人员2人记为e，，则从这6人中随机指定2人作为主讲人，包含的基本事件有，共15种.记事件S为随机选2人作为主讲人，其中恰好有1人为重症医学科医务人员，则事件S包含的基本事件为共9种，故.【点睛】本题考查独立性检验，分层抽样方法，运用列举法求古典概率，属于中档题.21．已知函数.（1）当时，求证：；（2）设，记在区间上的最大值为当最小时，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】由已知将问题转化为，令，求导函数，分析其导函数取得正负的区间，从而得函数的单调性，可得证；由（1）可得，，分，，三种情况讨论得最值.【详解】证明：欲证，只需证，令，则，可知在为正，在为负，在为正，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，；由（1）可得，，在上，，令，则问题转化为当时，的最大值的问题了，①当时，，此时②当时，，③当时，，综上，当取最小值时a的值为.【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性和最值，关键在于合适的函数，分析其导函数取得正负的区间，得出所构造的函数的单调性和最值，属于较难题。22．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）由，则，将问题转化为对恒成立，去绝对值分离参数即可求解.【详解】解：（1），．等价于，或，或，解得或或．故不等式的解集为．（2）因为．所以，则对恒成立等价于对恒成立，即对恒成立，则，因为，所以，即a的取值范围为．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题23．在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）直线上的点到极点的距离是，求点的极坐标；（2）设直线与相交于，两点，求三角形的面积.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程中，可求出，即可求出点的极坐标；（2）先求出及直线的直角坐标方程，进而求出点到直线的距离，及弦长，即可求出三角形的面积.【详解】（1）设点的极坐标为，则，代入直线的极坐标方程中，可得，因为，所以，故点的极坐标为.（2）的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，的半径为，圆心为，设圆心到直线的距离为，则，则，即，所以三角形的面积.【点睛】本题考查直线的极坐标、圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查三角形的面积，考查学生的计算求解能力，属于中档题.病毒学专家重症医学科医务人员呼吸科医务人员感染科医务人员相关人员数20604060发烧不发烧合计患新冠肺炎500700未患新冠肺炎280合计1200 0.150.100.050.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828发烧不发烧合计患新冠肺炎500200700未患新冠肺炎220280500合计7204801200