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新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布课件，共60页。PPT课件主要包含了第七讲正态分布，知识梳理·双基自测，名师讲坛·素养提升，考点突破·互动探究，X～Nμσ2，x＝μ，概率与统计的综合应用等内容，欢迎下载使用。
知识梳理 · 双基自测
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.3σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X
题组二 走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(1652.5)＝___________.
[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
考点突破 · 互动探究
(1)(2023·广东佛山南海区、三水区联考)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( )A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)
角度1 正态曲线的对称性 (2023·黑龙江哈尔滨质检)某市有30 000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布N(120，σ2)，若P(100≤X≤120)＝0.495，则成绩在140分以上的大约为_________人．
角度2 确定正态曲线的对称轴 (2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝_____.
[解析] 因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ
①根据频率分布直方图，估计这5 000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数)；②通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632)．(ⅰ)若其中一个养殖棚有1 000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数)；(ⅱ)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由．
参考数据：①0.022 753≈0.000 01,0.977 2517≈0.7；②若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率
(2)(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品和废品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则：P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.)③假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值．
名师讲坛 · 素养提升
题型一 概率与统计图表的综合应用 (2023·上海八校联考)研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．(注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和)
(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
(2)由图表得新能源汽车2015～2021年的销量如下表：新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，则随机变量X可能的取值为0,1,2，
题型二 概率与回归分析的综合应用 (2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点(vi，ωi)(1≤i≤6)集中在一条直线附近，其中vi＝ln xi，ωi＝ln yi
题型三 概率与独立性检验的综合应用 (2023·山东青岛调研)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男、女生各100名，得到如下数据：
(1)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
〔变式训练4〕(1)(2023·甘肃张掖诊断)某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3 000元)、专业二等奖学金(奖金额1 500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图(1)是统计了该校2022年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2022年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．
①求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；②若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
①若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；②比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0
②每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440人，其中获得一、二等奖学金的学生有(0.008＋0.016＋0.04)×5×500×0.05＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×500×(0.25＋0.05)＝92(人)．每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有500×0.12＝60人，其中获得一、二等奖学金学生有60×(0.35＋0.25)＝36人，
2×2列联表如下表所示：
③X的可能取值为0,600,1 500,3 000，P(X＝600)＝0.32，P(X＝1 500)＝0.198，P(X＝3 000)＝0.058，P(X＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424.X的分布列为
其期望为E(X)＝0×0.424＋600×0.32＋1 500×0.198＋3 000×0.058＝663(元)．
知识梳理 · 双基自测
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(3σ原则)：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈________________；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈________________；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈________________.3σ原则：主要用于判定产品质量是否合格，机器运行是否正常等，也就是说3σ之外的概率是小概率事件，如果发生了说明产品不合格、机器运行不正常等．
对于正态分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；(2)对任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；(3)P(X
题组二 走进教材2．(选择性必修3P87T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52)，则P(165
[解析] 因为X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2
[解析] 对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同，故D错误．故选D.
考点突破 · 互动探究
(1)(2023·广东佛山南海区、三水区联考)李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，X～N(μ1,62)，Y～N(μ2,22)．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是( )A．D(X)＝6B．μ1>μ2C．P(X≤38)
角度1 正态曲线的对称性 (2023·黑龙江哈尔滨质检)某市有30 000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布N(120，σ2)，若P(100≤X≤120)＝0.495，则成绩在140分以上的大约为_________人．
角度2 确定正态曲线的对称轴 (2022·福建模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<3)＋P(X≤1)＝1，则μ＝_____.
[解析] 因为X服从正态分布N(μ，σ2)，所以P(X<3)＋P(X≥3)＝1，所以P(X≤1)＝P(X≥3)，由正态曲线的对称性知对称轴为X＝2，所以μ＝2.
关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ
①根据频率分布直方图，估计这5 000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两位小数)；②通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632)．(ⅰ)若其中一个养殖棚有1 000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量(结果保留整数)；(ⅱ)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的．该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由．
参考数据：①0.022 753≈0.000 01,0.977 2517≈0.7；②若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5.
解决正态分布问题的三个关键点若随机变量X～N(μ，σ2)，则(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率
(2)(2023·山东“学情空间”教研共同体联考)《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ＋σ)内的产品为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品和废品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则：P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.)③假如企业包装时要求把3件优等品和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X的分布列以及期望值．
名师讲坛 · 素养提升
题型一 概率与统计图表的综合应用 (2023·上海八校联考)研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义．中国明确提出节能减排的目标与各项措施，在公路交通运输领域，新能源汽车逐步取代燃油车是措施之一．中国某地区从2015年至2021年每年汽车总销量如图，每年新能源汽车销量占比如表．(注：汽车总销量指新能源汽车销量与非新能源汽车销量之和)
(1)从2015年至2021年中随机选取一年，求这一年该地区汽车总销量不小于5.5万辆的概率；(2)从2015年至2021年中随机选取两年，设X表示新能源汽车销量超过0.5万辆的年份的个数，求X的分布列和数学期望．
(2)由图表得新能源汽车2015～2021年的销量如下表：新能源汽车销量超过0.5万辆的年份有2个，不超过0.5万辆的年份有5个，则随机变量X可能的取值为0,1,2，
题型二 概率与回归分析的综合应用 (2022·山东临沂模拟)在疫情防控常态化的背景下，山东省政府各部门在保安全、保稳定的前提下有序恢复生产、生活和工作秩序，五一期间，文旅部门在落实防控举措的同时，推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．下面是文旅部门在某地区推出六款不同价位的旅游套票，每款的套票价格x(单位：元)与购买人数y(单位：万人)的数据如下表：
在分析数据、描点绘图中，发现散点(vi，ωi)(1≤i≤6)集中在一条直线附近，其中vi＝ln xi，ωi＝ln yi
题型三 概率与独立性检验的综合应用 (2023·山东青岛调研)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男、女生各100名，得到如下数据：
(1)根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；
〔变式训练4〕(1)(2023·甘肃张掖诊断)某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(奖金额3 000元)、专业二等奖学金(奖金额1 500元)及专业三等奖学金(奖金额600元)，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图(1)是统计了该校2022年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图(2)是这500名学生在2022年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．
①求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；②若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
①若将该部门获得决赛资格的小组数记为X，求X的分布列与数学期望；②比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对就被评为“优秀小组”．该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得每个成员答对每题的概率均为p(0
②每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有500×(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.056＋0.016)×5＝440人，其中获得一、二等奖学金的学生有(0.008＋0.016＋0.04)×5×500×0.05＋(0.04＋0.056＋0.016)×5×500×(0.25＋0.05)＝92(人)．每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有500×0.12＝60人，其中获得一、二等奖学金学生有60×(0.35＋0.25)＝36人，
2×2列联表如下表所示：
③X的可能取值为0,600,1 500,3 000，P(X＝600)＝0.32，P(X＝1 500)＝0.198，P(X＝3 000)＝0.058，P(X＝0)＝1－0.32－0.198－0.058＝0.424.X的分布列为
其期望为E(X)＝0×0.424＋600×0.32＋1 500×0.198＋3 000×0.058＝663(元)．
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