天津市南开大学附中2021届高三上学期第二次月考数学试题 Word版含解析

天津市南开大学附属中学2021届高三年级第二次月考

数学学科试卷

一､单项选择题

1. 设集合A={x|x>3}，，则(∁RA)∩B=（    ）

A. (1，3) B. [1，3] C. (3，4) D. [3，4)

【答案】B

【解析】

分析】

求出B中不等式的解集确定出B，找出与B的交集即可．

【详解】由可得且，

解得，

所以，

因为A={x|x>3}，

所以，

所以(∁RA)∩B=[1，3]，

故选：B

【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

或，从而明确充分性与必要性.

【详解】，

由可得：或，

即能推出，

但推不出

∴“”是“”的必要不充分条件

故选

【点睛】本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

3. 下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

试题分析：由奇函数排除B、D, 在区间上单调递减排除A,故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.

4. 已知tan(α﹣β)=，tan(α+)=，则tan(β+)等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可.

【详解】解:由题可得,

故选：C

【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题.

5. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

6. 设为的边的延长线上一点，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】此题考查了平面向量基本定理和向量的加减法法则，属于基础题.

7. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(﹣x)=f(x)，且函数f(x)在(﹣∞，0)上是减函数，若则a，b，c的大小关系为（    ）

A. a<c<b B. c<b<a C. b<c<a D. c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，由偶函数的定义可得函数为偶函数，结合偶函数的性质可得（1），，进而分析可得在上为增函数，又由，据此分析可得答案．

【详解】根据题意，函数满足，则函数为偶函数，

（1），，

又由函数在上是减函数，则在上为增函数，

且，

则；

故选：A

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查指数对数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．

8. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ）

A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，是函数的一个零点，故问题转化为当时， 与图象必有一个交点，再根据导数研究性质，数形结合求解即可得答案.

【详解】解：根据题意，函数恰有两个零点

由于当时，，故是函数的一个零点，

所以当时， 与图象必有一个交点，

由于，

当时，，，故函数在上单调递增，

当时，，，所以当时，函数单调递减，当是单调递增；

所以   函数图象如图，

由图可知，若与图象必有一个交点，则.

故选：A.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数形结合思想与化归转化思想，是中档题.

9. 已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据区间[0，1]，求出ωx+的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，求解即可．

【详解】函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），

∵x∈[0，1]上，∴ωx+∈[，ω+]，

图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，

∴，解得：．

故选：C．

【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.

二､填空题

10. 若复数z满足，则的值为     ．

【答案】

【解析】

试题分析：∵复数z满足，解得，∴，∴，故答案为．

考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．

11. 二项式展开式中的常数项为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得的指数为0，得到相应的，从而可求出常数项．

【详解】解：展开式的通项公式为：，

令，得

所以常数项为：.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．

12. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(0)的值为___________.

【答案】.

【解析】

【分析】

由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.

【详解】

由图可得，，所以，即，

又，即，，

又，故，所以，.

故答案为：.

【点睛】本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.

13. 已知a>0，b>0且a+b=1，则的最小值是___________.

【答案】9

【解析】

【分析】

先利用平方差公式和得出，再去括号、通分得出，根据和基本不等式可求出的最大值，即的最小值．

【详解】

，

，

，即，

，

，当且仅当时，取得等号，

即的最小值是9．

故答案为：9．

【点睛】本题考查了基本不等式的应用，利用这个条件进行转化是关键，属于中档题．

14. 设函数，则函数的单调递增区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用诱导公式和二倍角的余弦公式，将函数转化为，然后利用余弦函数的性质，令求解.

【详解】函数，

 ，

令，

解得 ，

所以的单调递增区间为 ，

故答案为：

【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

15. 在等腰梯形中，，，，，若，，且，则__．

【答案】

【解析】

依题意得∥,，.

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴∴

故答案为.

三､解答题

16. 已知函数

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若将f(x)的图象向左平移个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）利用倍角公式及诱导公式化简，然后由周期公式求周期；

（2）由三角函数的图象平移得到函数的解析式，结合的范围求得函数在区间上的最大值和最小值．

【详解】（1）

．

的最小正周期为；

（2）由已知得

，

，

，

故当，即时，；

当，即时，．

【点睛】本题考查了三角恒等变换及其应用，考查了三角函数的图象和性质，考查了三角函数的最值，属于中档题．

17. 在的内角的对边分别是，满足.

（1）求角的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，由正弦定理角化边，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；

（2）由正弦定理求得,并根据边的大小关系判定为锐角，然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.

【详解】解：（1）∵，

由正弦定理得，.

化简得，.

由余弦定理得，.

又，

∴.

（2）由（1）知，，

又，，

∴.

又，

∴.

∴，

，

∴.

【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中等难度的题目.关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计算.

18. 在四棱锥中，平面，，，，，，是的中点，在线段上，且满足.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

【详解】分析：该题是立体几何的有关问题，第一问在证明线面平行时，可以利用常规方法，用线面平行的判定定理来证明，也可以应用空间向量来证明，用直线的方向向量与平面的法向量是垂直的即可，第二问求二面角的余弦值，用两个平面的法向量所成角的余弦值来求得，第三问假设其存在，设出点的坐标，建立等量关系式从而求得结果，做好取舍即可.

详解：（1）证明：取的中点，的中点，连接和，

∴且，

∴，分别为，的中点.

且

∴且，四边形为平行四边形，

∴，平面，平面，

∴平面.

（1）由题意可得，，两两互相垂直，如果，以为原点，，，分别是，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，

设平面法向量为

，

∴，令∴

又，∴，∴

平面

∴ 平面

（2）设点坐标为

则，，

由得，∴

设平面的法向量为，

由得即令∴

则

又由图可知，该二面角锐角

故二面角的余弦值为

（3）设，，∴

∴

∴

∵与平面所成角的余弦值是∴其正弦值为

∴，整理得：

，解得：，（舍）

∴存在满足条件的点，，且

点睛：在解决立体几何问题时，尤其空间关系的时候，可以有两种方法，一是常规法，二是空间向量法，在应用面的法向量所成角来求二面角的时候，一定需要分清楚是其补角还是其本身，在涉及到是否存在类问题时，都是先假设存在，最后求出来就是有，推出矛盾就是没有.

19. 若函数f(x)=ex(sinx+acosx)在上单调递增，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

先求导，再由导数在上单调递增作等价转化，在区间恒成立即可

【详解】由，要使在区间单增，即在区间恒成立，

即在恒成立，

当时恒成立；

当时，，

时，，故，故；

当时，，

综上所述，

故答案为：

【点睛】本题考查利用导数和函数在定区间的单调性求解参数取值范围，属于中档题

20. 已知函数，(a，b∈R)

（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；

（2）当b=0时，若对任意x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.

【答案】（1）（2）（3）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；

（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；

（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．

【详解】（1）当时，时，，

当时，，

，

当时，，

曲线在处的切线方程为；

（2）当时，对，，都成立，

则对，，恒成立，

令，则．

令，则，

当，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减，

，，

的取值范围为；

（3）当，时，由，得，

方程有两个不同的实数解，，

令，则，，

令，则，

当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，

，

，

又，（1），

，

，

只要证明，就能得到，即只要证明，

令，

则，

在上单调递减，则，

，

，

，

，

即，证毕．

【点睛】本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．