2024届高三数学一轮复习基础夯实练57：椭圆

这是一份2024届高三数学一轮复习基础夯实练57：椭圆，共10页。试卷主要包含了已知椭圆C，椭圆C，已知B，0)是圆A等内容，欢迎下载使用。

A．2 B．4 C．6 D．8
2．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,3)，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(BA2,\s\up6(—→))＝－1，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)＋y2＝1
3．(2022·贵阳模拟)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上一点，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝eq \r(3)|PF2|，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3)－1,4) B.eq \f(\r(3)－1,2) C.eq \f(\r(3)＋1,4) D.eq \f(\r(3)＋1,3)
4．(2023·濮阳模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
5．(多选)(2022·重庆模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，θ＝eq \f(π,3)，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的长轴长等于4
B．椭圆的离心率为eq \f(\r(2),2)
C．椭圆的标准方程可以是eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2eq \r(3)
6．(多选)(2022·白山模拟)椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是( )
A．若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
B．椭圆C上存在点P，使得eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0
C．椭圆C的离心率为eq \f(1,2)
D．若P为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最大距离为3
7．(2022·天津模拟)已知B(－eq \r(3)，0)是圆A：(x－eq \r(3))2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D.则动点D的轨迹方程为________________．
8．(2023·平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,1)，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为____________；若P为椭圆C上一动点，M(3,3)，则|PM|－|PF|的最小值为________．
9．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，求椭圆C的标准方程．
10．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆的离心率的取值范围；
(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
11．(多选)(2023·长沙模拟)人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆
D．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
12．(2022·邯郸模拟)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为________．
13．(多选)(2023·青岛模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( )
A．△MF1F2的周长为6
B．△MF1F2的面积为eq \f(\r(15),2)
C．△MF1F2的内切圆的半径为eq \f(\r(15),9)
D．△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(32,11)
14. 甲、乙两名探险家在某山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲、乙两人分别站在洞内如图所示的A，B两点处，甲站在A处唱歌时，乙在与A处有一定距离的B处听得很清晰，原因在于甲、乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点．现已知椭圆C：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,36)＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为________．
参考答案
1．D 2.B 3.B 4.A
5．CD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq \f(π,3)得2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B不正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq \r(3)，D正确．]
6．ABD [由椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；
因为c>b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得eq \(PF1,\s\up6(—→))·eq \(PF2,\s\up6(—→))＝0，故B正确；
椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，故C错误；
因为P为椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当点P，Q的坐标为P(2,0)，
Q(－1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q的距离最大，|PQ|max＝2＋1＝3，故D正确．]
7.eq \f(x2,4)＋y2＝1 8.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1 1
9．解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF2的方程为x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为eq \f(\r(6),2)b，
即eq \f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq \f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq \r(3)b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝eq \f(1,2)或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，
即a＝2c，①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq \r(3)，
则eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin 60°＝eq \r(3)，
所以|PF1||PF2|＝4，
由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－,2|PF1||PF2|cs 60°＝2c2，))
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为
eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
10．(1)解 不妨设椭圆的方程为
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△F1PF2中，由余弦定理得，
cs 60°＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)
＝eq \f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，
即eq \f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
所以|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，
所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，
所以|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3).
又因为|PF1|·|PF2|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝a时，等号成立，
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以eq \f(c,a)≥eq \f(1,2)，
所以e≥eq \f(1,2).
又因为0所以所求椭圆的离心率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(2)证明 由(1)可知|PF1|·|PF2|＝eq \f(4b2,3)，
所以＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|sin 60°
＝eq \f(1,2)×eq \f(4b2,3)×eq \f(\r(3),2)
＝eq \f(\r(3)b2,3)，
所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．
11．ACD [根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，B不正确；
eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D正确．]
12.eq \r(15)
解析 由题意可得a＝3，b＝eq \r(5)，c＝eq \r(9－5)＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－2c＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以cs∠PF2F1＝eq \f(|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|2,2|PF2|·|F1F2|)
＝eq \f(16＋16－4,2×4×4)＝eq \f(7,8)，
所以sin∠PF2F1
＝eq \r(1－cs2∠PF2F1)＝eq \f(\r(15),8)，
故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)|PF2|·
|F1F2|·sin∠PF2F1＝eq \r(15).
13．AC [椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别是F1(－1,0)，F2(1,0)，
因为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，y0))为椭圆C上一点，
所以eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))2,4)＋eq \f(y\\al(2,0),3)＝1，
解得|y0|＝eq \f(\r(15),3)，
所以|MF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(15),3)))2)＝eq \f(8,3)，|MF2|＝4－eq \f(8,3)＝eq \f(4,3).
所以△MF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，A正确；
△MF1F2的面积为eq \f(1,2)×2c×|y0|＝c×|y0|＝1×eq \f(\r(15),3)＝eq \f(\r(15),3)，B错误；
设△MF1F2的内切圆的半径为r，则eq \f(1,2)×6×r＝eq \f(\r(15),3)，解得r＝eq \f(\r(15),9)，C正确；
cs∠F1MF2＝eq \f(\f(64,9)＋\f(16,9)－4,2×\f(8,3)×\f(4,3))＝eq \f(11,16)>0，∠F1MF2为锐角，
则sin∠F1MF2＝eq \r(1－cs2∠F1MF2)＝eq \f(3\r(15),16)，
所以△MF1F2的外接圆的直径为eq \f(|F1F2|,sin∠F1MF2)＝eq \f(2,\f(3\r(15),16))＝eq \f(32,3\r(15))＝eq \f(32\r(15),45)，D错误．]
14.eq \f(5\r(6),2)
解析 如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，
则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN
＝∠B1BM，
因为cs∠AMB＝－eq \f(1,4)，
故cs(π－∠AMB)＝cs 2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝eq \f(1,4)，
所以sin∠AMA1＝eq \f(\r(6),4)，
|OO1|＝eq \f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)
＝eq \f(1,2)(|AM|sin∠AMA1＋|BM|·sin∠BMB1)＝eq \f(1,2)×20×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(5\r(6),2).