2024届高三数学一轮复习基础夯实练18： 导数的概念及其意义、导数的运算

基础夯实练18  导数的概念及其意义、导数的运算

1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为(　　)

A．y＝3x＋3  B．y＝3x＋1

C．y＝－3x－1   D．y＝－3x－3

2．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于(　　)

A．2  B．1  C．0  D．－1

3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

4．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)

A．－2  B．2  C．－e  D．e

5．已知函数f(x)＝aln x，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋的最小值为(　　)

A．2  B．2e  C．e2  D.

6．(多选)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是(　　)

A．g(x)＝x·2x

B．g(x)＝－ex－2x

C．g(x)＝ln x

D．g(x)＝sin x＋2cos x

7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝        .

8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝________.

9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.

(1)求f′(e)及f(e)的值；

(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．

10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．

(1)若x1＝－1，求a；

(2)求a的取值范围．

11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　)

A．－1  B．－2  C．1  D．2

12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型分式，比如：当x→0时，的极限即为型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ＝ ＝ ＝ex＝e0＝1，则 ＝        .

13．已知a，b为正实数，直线y＝x－与曲线y＝ln相切，则的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B.

C．[1，＋∞)   D．(0,1)

14．设ai(i＝0,1,2，…，2 022)是常数，对于∀x∈R，都有x2 022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2 022·(x－1)(x－2)…(x－2 022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2 020！a2 021－2 021！a2 022＝________.

参考答案

1．A　2.A　3.C　4.B　5.B

6．ABC　[对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，

由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，

解得x＝，

∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；

对于B，g′(x)＝－ex－2，

由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，

∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；

对于C，g′(x)＝，

根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，

∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；

对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，

由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，

得3sin x＝－cos x，

∴tan x＝－，

根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，

∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．]

7．ln x(答案不唯一)　8.12

9．解　(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，

∴f′(x)＝2f′(e)＋，

f′(e)＝2f′(e)＋，

∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，

∴f(e)＝－＋ln e＝－1.

(2)∵f(x)＝－＋ln x，

f′(x)＝－＋，

∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，

f′(e2)＝－＋，

∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，

即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.

10．解　(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，

所以切点坐标为(－1,0)．

由f(x)＝x3－x，

得f′(x)＝3x2－1，

所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，

所以切线方程为y＝2(x＋1)，

即y＝2x＋2.

将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，

得x2－2x＋a－2＝0.

由切线与曲线y＝g(x)也相切，

得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，

解得a＝3.

(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x－1，

又f(x1)＝x－x1，所以切线方程为

y－(x－x1)＝(3x－1)(x－x1)，

即y＝(3x－1)x－2x.

将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a，

得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0.

由切线与曲线y＝g(x)也相切，得

Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0，

整理，得4a＝9x－8x－6x＋1.

令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.

则h′(x)＝36x3－24x2－12x

＝12x(3x＋1)(x－1)．

由h′(x)＝0，得x＝－，0,1，

当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，

由表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝，

当x＝1时，h(x)取得极小值

h(1)＝－4，

易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，

当x→＋∞时，h(x)→＋∞，

所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，

所以由4a∈[－4，＋∞)，

得a∈[－1，＋∞)，

故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．

11．B　[已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，

即y＝x－x1＋，

曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，

即y＝x－1＋ln x2，

由题意得

解得x2＝，

－x1＝－1＋ln x2

＝－1＋＝－1－x1，

则＝，

又x2＝，

所以x2＝，

所以x2－1＝－1＝，

所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.]

12.

解析　 ＝ ＝ ＝＝ln 1＋＝.

13．D　[函数y＝ln的导函数为y′＝，令y′＝＝1，解得x＝1－，所以切点为，

代入y＝x－，得a＋b＝2，

因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，

则＝，

令g(a)＝，a∈(0,2)，则g′(a)＝>0，

则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，

所以∈(0,1)．]

14．2 021

解析　因为x2 022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2 022(x－1)(x－2)…(x－2 022)，

则令x＝1，可得a0＝1.

对x2 022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2 022(x－1)(x－2)…(x－2 022)两边求导可得

2 022x2 021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2 022[(x－1)(x－2)…(x－2 022)]′，

令fn(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，

则fn′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，

所以fn′(1)＝(1－2)×…×(1－n)

＝(－1)n－1(n－1)！，

所以2 022×12 021＝a1＋a2×(－1)1×1＋a3×(－1)2×2！＋…＋a2 022×(－1)2 0212 021！，

故2 022＝a1－a2＋2！a3－…－2 021！a2 022，

所以－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2 020！a2 021－2 021！a2 022＝2 022－1＝2 021.