2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省大连市滨城高中联盟高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．两点分布也叫分布，已知随机变量服从参数为的两点分布，则下列选项中不正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.

【详解】由参数为的两点分布知，故A、B正确；，C正确；

，D错误.

故选：D.

2．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用数学归纳法，分别给出和时的表达式，来确定增加的项数

【详解】解：时，可得：

时，可得：，

故增加了项.

故选：A

3．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

4．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）

A．14 B．12 C．6 D．3

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列的公比为，

若，则，与题意矛盾，

所以，

则，解得，

所以.

故选：D.

5．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）

A． B．

C． D．3

【答案】B

【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.

【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.

故选：B.

6．已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲．假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则此人恰是色盲的概率是（    ）

A．0.01245 B．0.05786 C．0.02865 D．0.03745

【答案】D

【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解.

【详解】用事件A，B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则，且A，B互斥，故

故选：D

7．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可

【详解】由已知条件和分期付款公式，可得

，

∴．

故选：C

8．已知数列的前项和为，数列中的每一项可取1或2，且取1和取2的概率均为，则能被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】法一、依题意可设为被3整除的概率，所以，构造新数列求得通项公式即可；

法二、按古典概型得出数列共有种情况，讨论能被3整除的4种情况计算即可.

【详解】被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1，余数为2，

设为被3整除的概率，

所以，则，

又，则，

所以，是以为首项，以为公比的等比数列，有，

即，所以.

法二：由古典概型可知，数列共有种情况，

能被3整除，有以下4种情况：

①中有10个1，1个2，有种情况；

②中有7个1，4个2，有种情况；

③中有4个1，7个2，有种情况；

④中有1个1，10个2，有种情况，

所以，被3整除的概率为

故选：C

二、多选题

9．下列命题正确的是（    ）

A．若随机变量，且，则

B．在一次随机试验中，彼此互斥的事件、、、发生的概率分别为、、、，则与是互斥事件，也是对立事件

C．一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，

D．由一组样本数据、、、得到回归直线方程，那么直线至少经过、、、中的一个点

【答案】BC

【分析】直接利用二项分布的期望与方差，互斥事件和对立事件的关系，排列组合，回归直线方程等相关知识对四个命题的真假判断.

【详解】对于A：由，且，可得，

所以，则，故A错误；

对于B：因为事件、、、彼此互斥，所以，

又，所以与是互斥事件，也是对立事件，故B正确；

对于C：依题意，表示“一共取出了个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.

所以，故C正确；

对于D：回归直线方程一定过样本中心点，但是不一定经过样本数据中的点，故D错误.

故选：BC.

10．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发，下列说法中合理的有（    ）

参考数据：若，则

，

，

A．若8:00出门，则开私家车不会迟到；

B．若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；

C．若8:06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大；

D．若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.

【答案】CD

【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断

【详解】解：对于A，由题意得，当满足时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，所以A错误；

对于B，若8:02出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足时，江先生开私家车不会迟到；

②江先生乘坐地铁，由题意得当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到，此时两种方式，江先生不迟到的概率相当，所以B错误；

对于C，若8:06出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足,此时江先生开私家车不会迟到；

②江先生乘坐地铁，由题意得，当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到，

此时两种方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，所以C正确；

对于D，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，由题意得，当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以D正确

故选：CD

11．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）

A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；

，C正确；

事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．

故选：ACD．

12．已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法正确的有（    ）

A．

B．，且为偶数时，

C．时，随着的增大而增大

D．时，随着的增大而减小

【答案】AC

【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D，根据组合数公式判断B.

【详解】因为，所以，且，

对于A：由二项分布可知，故正确；

对于B，由时，，则

所以，

，

所以，故B不正确，

对于C、D：，

当时，，且为正项且单调递增的数列，

故随着的增大而增大，故C正确，

当时，，且为摆动数列，故D不正确.

故选：AC

三、填空题

13．已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为__________.

【答案】/0.5

【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到及，求出答案.

【详解】由题意得，

因为成等比数列，设公比为，

则且，

解得，

故.

故答案为：

14．现将5名志愿者全部分派到三个居民小区参加普法知识宣传，要求每个小区至少分派1人，并且志愿者甲必须安排到A小区，则不同的安排方法种数为__________.

【答案】

【分析】分两种分组方式、讨论，各不同分组方式中讨论甲一人成组或与其它人成多人组安排到小区，再安排其它人，应用组合排列数即可求安排方法种数.

【详解】由题设，5名志愿者可有、两种分组方式，

对于分组方式，

若甲一人成组安排到小区，其它4人选出3人为一组，与剩余的一人成组安排到小区，

所以共有种；

若甲在3人组，4人选出2人与甲成3人组安排到小区，剩余两人每个人为一组安排到小区，

所以共有种；

对于分组方式，

若甲一人成组安排到小区，其它4人两两成组安排到小区，

所以种；

若甲在2人组，4人选出1人与甲成2人组安排到小区，从剩余3人选2人成组，与剩余的一人成组安排到小区，

所以种；

综上，共有种.

故答案为：

15．如图，在“杨辉三角”中，斜线的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：，记其前项和为，则的值为__________.

【答案】

【分析】依题意可得，根据组合数的性质计算可得.

【详解】依题意可得

.

故答案为：

16．已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则________．

【答案】

【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望，利用计算出答案.

【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2，

用隔板法可求得：事件总情况为种，

时，分两种情况：

①三个数中只有一个1，有种；

②三个数中有两个1，有种，

所以时，，

时，也分两种情况：

①三个数中只有一个2，有种；

②三个数中有两个2，有种，

所以是，，

所以，

，

故答案为：．

四、解答题

17．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式系数的和等于46；条件②：第4项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式的展开式中，已知__________.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)设，求的值；

(3)求的展开式中，按的升幂排列的前三项.

【答案】(1)、

(2)

(3)

【分析】（1）根据所选条件，应用组合数方程求得，由二项式的性质确定二项式系数最大的项即可；

（2）赋值法分别求出、，即可求目标式的值；

（3）利用二项式展开式通项写出常数项、含的项、含的项，即可得结果.

【详解】（1）选择①，因为，解得，

选择②，因为，解得，

展开式中二项式系数最大的项为和.

（2）由（1）知：令，则，

令，则，

所以.

（3）在的展开式中：常数项，

含的项，

含的项：，

所以，在的展开式中，按的升幂排列的前三项是：.

18．已知正项数列满足，前项和满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先根据求出数列的通项公式，再根据求解即可；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】（1）由可得，

即，

因为，所以，则，

，

所以，

又因为，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，

，

当时，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

，

又因为满足上式，所以.

19．社区是社会的基本单元，是连接城市､小区､家庭的重要桥梁.从百姓的衣食住行到政府的公共服务､社会治理，无不与社区的管理服务能力紧密相关.目前面临的问题是，粗放传统的社区管理服务已远远不能适应数字经济时代人民群众日益增长的生产生活需要.打造智慧共享､和睦共治的新型智慧社区，是提升社区居民的幸福感､提升城市管理水平､构建和谐宜居环境的必要途径.某社区为推进智慧社区建设，给居民提供了一款手机APP构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对使用该APP的满意度，物业对小区居民开展了为期5个月的调查活动，统计数据如下：

(1)请利用所给的数据求不满意的人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区8月份对这款APP不满意的人数；

(2)工作人员发现使用这款APP的居民的年龄近似服从正态分布，求的值；

(3)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人（其中女性人数占，女性中使用APP的人数为48人，男性中使用APP的人数占男性人数的），调查是否使用这款APP与性别的关系，请填写下表：

据此判断能否有的把握认为是否使用这款APP与性别有关.

参考公式：；

附：随机变量，则）；其中.

【答案】(1)，55人

(2)

(3)列联表见解析，有

【分析】（1）由表中数据计算，，得出回归直线方程，由方程进行估计；

（2）由原则结合对称性计算概率；

（3）填写列联表，进行独立性检验即可.

【详解】（1）由表中的数据可知，，

所以，故，

所以，所求的回归直线方程为，

令，则（人）

故预测该小区8月份对这款APP不满意的人数为55人.

（2）依题意得

.

（3）列联表如下：

，

又因为，而且查表可得，

由于，所以有的把握认为是否使用这款APP与性别有关.

20．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；

(3)若志愿活动共有卫生清洁员､交通文明监督员､科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

(3)

【分析】（1）根据条件概率公式可求出结果；

（2）根据超几何分布概率公式可求出结果；

（3）先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果.

【详解】（1）设“有女生参加活动”为事件A，”恰有一名女生参加活动“为事件.

则，

所以.

（2）依题意知服从超几何分布，且，

，

所以的分布列为：

.

（3）设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，

则的所有可能取值为，的所有可能取值为，

，，

，，

有名女生参加活动，则男生有名参加活动.

，

所以.

即两人工时之和的期望为13个工时.

21．已知数列的前项和为，，是与的等差中项.

(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；

(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围；

(3)设，且数列的前项和为，求证：.

【答案】(1)证明见解析，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，再根据，作差得到，即可得到，再由，即可得证，从而求出的通项公式；

（2）由（1）可知，即可得到，依题意可得，即可得到，再分为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取值范围，即可得解；

（3）首先证明，即可证明当时，，即可得证.

【详解】（1）证明：是与的等差中项，

①，

于是有②，

①②，即，

，

又，，，

，，

，即有，

又，，

是以为首项，为公比的等比数列，

所以，.

（2）由（1）可知，，

，，

所以，

是递增数列，，，

当是奇数时，，即恒成立，

数列单调递增，，

当是偶数时，，即恒成立

数列单调递减，，

综上，的取值范围是.

（3），，

即，

当时，

.

，，

当时，，综上所述，.

22．为提高学生身体素质，丰富课余生活，营造良好的运动氛围，某校举办了“无'羽'伦比”羽毛球比赛.甲､乙两名选手进行比赛，假设每局比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.

(1)若比赛为“三局两胜制”，求比赛仅需两局就结束的概率为多少？

(2)若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛的局数的数学期望是多少？

附：当时，（此式表示：当无限接近于正无穷大时，无限接近于0）.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三局两胜分类求概率即可；

（2）先求分布列，再根据错位相减法求解数学期望即可.

【详解】（1）“三局两胜制”，比赛仅需两局就结束的概率为.

（2）法一：一个人比另一个人多赢两局时比赛结束，则需要局比赛，且从第一局开始到第局每两局甲､乙必需各赢一局，最后两局由一个人取得胜利.所以设需要比赛的局数为可取

.

则

设①

则②

①-②：

所以，.

法二：设需要进行的比赛局数的数学期望为，两局结束比赛的概率为，两局还末结束比赛的概率为，

若两局还末结束比赛，说明前两局必定两人各赢一局，此时两局之后的比赛可以看成一个全新的比赛，其期望也为，所以总的期望为，

解得.