安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题及答案

这是一份安徽省A10联盟2023届高三最后一卷数学试题及答案，共15页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1号卷·A10联盟2023届高考最后一卷数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．设（为虚数单位），则（    ）A． B．1 C． D．3．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（    ）A． B． C． D．4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（    ）A． B． C． D5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的王成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（，），则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ）A． B． C． D．7．某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若高中恰好需要1名心理学教授，，，三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（    ）A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种8．已知实数，且，，，则（    ）A． B． C． D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知直线与曲线相切，则下列直线中可能与垂直的是（    ）A．  B．C．  D．10．已知，，点，分别在，上，则（    ）A．若的半径为1，则B．若，则与相交弦所在的直线为C．直线截所得的最短弦长为D．若的最小值为，则的最大值为11．如图，在正方体中，为棱上的动点（不含端点），下列选项正确的是（    ）A．当时，平面B．平面与平面的交线垂直于C．直线，与平面所成角相等D．点在平面内的射影在正方体的内部12．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为B．为图象的一条对称轴C．的最小值为1D．在上单调递增第Ⅱ卷（非选择题  共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．定义在上的函数满足，当时，，则__________．14．已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐标为__________．15．已知函数，，且，则的最小值为__________．16．已知抛物线和直线，点为直线上的动点（不在轴上），以点为圆心且过原点的圆与直线交于，两点，若直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的斜率分别为，，则__________．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．（1）求；（2）设，若恒成立，求的取值范围．18．（本小题满分12分）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中：内角，，的对边分别为，，，__________．（1）求角的大小； （2）设为边的中点，求的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，二面角为直二面角．（1）求证：；（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面的夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）纯电动汽车、混合电动汽车及燃料电池电动汽车均为新能源汽车，近几年某地区新能源汽车保有量呈快速增长的态势，下表为2018~2022年该地区新能源汽车及纯电动汽车的保有量（单位：万辆），其中2018~2022年对应的年份编号依次为：年份编号12345该地区新能源汽车保有量1.52.63.44.97.8该地区纯电动汽车保有量1.32.12.84.06.4（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归为程（，的值精确到0.1），并预测2023年该地区新能源汽车保有量能否超过10万辆；（2）从表中数据可以看出2018~2022年，该地区新能源汽车保有量中纯电动汽车保有量占比均超过80%，说明纯电动汽车一直是新能源汽车的主流产品．若甲、乙、丙3人从2018~2022年中各随机选取1个年份（可以重复选取），记取到满足的年份的个数为，求的分布列及数学期望．参考数据：1.2522.621.11.511.4其中，．参考公式：对一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．21．（本小题满分12分）已知双曲线（，）过和两点，点为的右顶点．（1）求的方程；（2）过点作斜率不为0的直线与交于点，，直线分别交直线，于，．试探究以为直径的圆是否经过定点，若过定点，请求出所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数，．（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）求证：对一切的，． 1号卷·A10联盟2023届高考最后一卷数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号12345678答案BCDABACD1．B  由题意得，，，又，则，故选B．2．C  ，，．故选C．3．D  由题意得，，．故选D．4．A  ，，．故选A．5．B  ，又，故．故选B．6．A  设圆雉的底面半径为，高为，则，，体积，则，故当时，单调递增，当时，单调递减，当时，取得最大值，此时，侧面展开图的圆心角．故选A．7．C  先从6名教授中任选1名教授到高中，有种不同的方法，再将其余5名教授分配到，，三所高中，可分两类：①，，三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有种方法；②，，三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有种不同的方法，不同的分配方案共有种．故选．8．D  由，，，可得，，．令，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，，，又，．故选D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）题号9101112答案ABACBCBCD9．AB  ，即直线的斜率，设与垂直的直线的斜率为，则，．故选AB．10．AC  由题意得，的圆心为，半径，．若的半径为1，则，解得，故A正确；若，则，两式相减，得与相交弦所在的直线为，故B错误；易得直线过定点，且点在内，则圆心与点的距离为，则直线被所截的最短弦长为，故C正确；若的最小值为，则与内含或外离，由点在内，得与内含，则，的最小值为，解得，的最大值为，故D错误．故选AC．11．BC  对于A，连接，，易知平面，而为中点时，平面与平面不重合，故A错误；对于B，延长，交于，连接交于，连接，则为平面与平面的交线，易知，而平面，，，故B正确；对于C，连接，则，由对称关系可知直线，与平面所成角相等，直线，与平面所成角也相等，故C正确；对于D，易知二面角为锐二面角，点在平面内的射影在正方体的外部，故D错误．故选BC．12．BCD  ，，是的周期，故A错误；，为图象的一条对称轴，故B正确；令，则有，则，在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得最小值1，故C正确；函数由和复合而成，当时，函数，，函数在上单调递减，且，函数在上单调递减，在上单调递增，故D正确．故选BCD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．由题意得，．14．；，，，，在上的投影向量为，其坐标为．15．由，得，化简整理得．令，则，令，解得．当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，，．16．如图，设直线，的方程分别为，，则，，，，，即．联立，消去得，，，同理可得，，，，．四、解答题（本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）（1）由题意得，，，…，数列是以为首项，公差的等差数列，，，，，…，，将所有上式累加可得，．又也满足上式，．（2）由（1）得，，则，恒成立，，恒成立，，即的取值范围是．18．（本小题满分12分）（1）选择条件①：由正弦定理得，即，，，即，又，，，即．选择条件②：由，得，则，即，化简得，，，，即．（2），，，，，当且仅当时取等号，的最大值为．19．（本小题满分12分）（1）在中，，，．，，，，则，．又二面角为直二面角，即平面平面，平面平面，平面，平面，平面，．（2）由（1）知平面，则是直线与平面所成角．，．分别取，的中点，，连接，，则．，，．又平面平面，平面平面，平面，，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，．设平面的法向量为，则，即．令，则，，，显然为平面的一个法向量，则，平面与平面的夹角的余弦值为．20．（本小题满分12分）（1）由得，设，，，，，．又点在上，，故，，则，即关于的回归方程为，当时，，预测2023年该地区新能源汽车保有量能超过10万辆．（2）的所有可能取值为0，1，2，3，易知2018~2022年中满足的年份有2个，则每人取到满足的年份的概率为，且有，，，，，的分布列为0123．21．（本小题满分12分）（1）由题意得，，解得，的方程为．（2）由（1）得，，设直线，联立，整理得，且，设，，则，，而直线，令，则，，同理可得．由对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，设该定点坐标为，则，，，解得，故以为直径的圆过定点．22．（本小题满分12分）（1）由知，，，记，，则，在上单调递增．当时，，对恒成立，在上单调递增，，符合题意；当时，，，，故存在，使得，从而，，单调递减，，不合题意．综上，的取值范围为．（2）当时，由（1）知，对一切恒成立，即对一切恒成立，令，，则，，，…，，，即，．以上各解答题如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分．