2023年数学中考冲刺二轮复习专题二次函数专题

中考冲刺二轮复习专题   二次函数专题

专题简介：

中考数学中，二次函数是必考内容，除了选择题和填空题以外，二次函数还经常作为压轴题出现。二次函数对于大多数学生是难点，分值大约在20多分。经常考的知识点有，函数的图象和性质、解析式的确定，以及二次函数的综合问题，比如二次函数的最值，存在性问题，与圆，三角函数值，相似等结合问题。函数的学习对于初中生来说是一大难点，学习中要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言和图形语言的灵活转换，但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，他们看问题往往是局部的，静止的、割裂的，不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要辨证的思想，运动变化的观点才能理解的学习任务。

专题分类：

【考点1  二次函数的图象和性质】

例1  二次函数（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c=0;②4a+2b+c>0;

③4a-2b+c>0;④2a+b=0，其中正确的结论是    .

例2  已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

变式  已知抛物线（a≠0）的一部分如图所示，图象经过点（-1,0），其对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是          .

①abc<0；②；③y的最大值为a+b+c；④4a+2b+c<0；⑤9a+3b+c=0；⑥>；⑦8a+c<0；⑧若抛物线经过点（-3，n），则关于一元二次方程+bx+c-n=0的两根分别为-3和5.

【考点2  函数解析式的确定以及平移】

例1  如图，将二次函数+x+的图象沿对称轴向下平移得到一个新的函数图象，其中点A为抛物线与y轴的交点，点B为抛物线的顶点，平移后的对应点分别为，，若弧AB扫过的面积为3（图中的阴影部分），则新图像的函数表达式为         .

例2  如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，绕其抛物线顶点D旋转180°得到的新抛物线与y轴交于点E，连接BD，BE，DE，则=      .

例3  如图，抛物线=-+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点E，抛物线关于y轴对称得到的抛物线，新抛物线与x轴交于C，D两点，连接CE，BE，若∠BEC=90°，则此时新抛物线的解析式为          .

例4  如图，抛物线-2x+1与y轴交于点A，M，N为抛物线对称轴上的两个动点（N在M上方），MN=，P（2,0），连接AN，MP，当AN+MN+MP取得最小值时，将抛物线沿对称轴向上平移后的新抛物线经过点M，则新抛物线的函数解析式为        .

【考点3  最值问题以及存在性问题】

例1  抛物线交轴于两点，交轴于点，对称轴为直线，已知：，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在对称轴是否存在一个点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在对称轴上是否存在点E,使最大，求E点坐标；

（4）在对称轴上是否存在点F,使AF+CF的值最大，求F点坐标；

（5）当y<0时，x的取值范围是     

（6）在x轴下方的抛物线是否存在点N使四边形ACNB的面积最大，求点N的坐标；

（7）在BC下方抛物线上是否存在点Q使△BCQ的面积最大，求Q点坐标；

（8）在BC下方的抛物线上是否存在点G，过点G作GM平行y轴，与BC交于点M，当GM最长时，求M点坐标；

（9）在对称轴上是否存在点H，是△ACH为等腰三角形，求H点坐标；

（10）在对称轴上是否存在点K，使△ACK为直角三角形，求K点坐标；

(11)          若顶点坐标D，那么点D的坐标是    ；则是     三角形，S点在坐标轴上，且S、A、C为顶点的三角形与相似，求S点坐标；

(12)          在抛物线是有一点R，在X轴有一点T，使A、C、R、T围成的四边形为平行四边形，求R与T点的坐标.

变式1.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线从经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．

（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时,的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

【考点4二次函数中的相似和全等问题】

例1  如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线x+1与直线AC交于点B（4,3）.

（1）已知点P是x轴上一点（点P不与点O重合），连接CP，若∆AOC与∆ACP相似，求点P的坐标；

（2）已知点Q（m，0）是x轴上一点，连接BQ，若以点A，B，Q为顶点的三角形与∆AOC相似，求点Q的坐标；

（3）已知点E（0，n）为y轴正半轴上一点，点D（0，-1），若以点B，C，E为顶点的三角形与∆ACD相似，求点E的坐标；

（4）若点F是抛物线上一点，过点F作FG⊥y轴于点G，点J是y轴上的一点，要使以F，G，J为定点的三角形与∆OAC全等，求点F的坐标；

（5）若点S为第一象限内抛物线上一点，过点S作ST⊥x轴于点T，点Z是x轴上一点，要使以S，T，Z为顶点的三角形与∆AOC全等，求点Z的坐标；

（6）已知L为AO的中点，连接OB，点R为平面直角坐标系内一点，是否存在点R，使得以L，O，R为顶点的三角形与∆COB全等？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

变式  如图，抛物线=+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB,PC，当=0.6时，求点P的坐标；

（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与∆OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点5  二次函数的实际应用问题】

例1  某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.

(1) 当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？

(2) 当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？

（3） 若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；

（4）在变式2的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？

例2  如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10m）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为24m，设AB的长为x m，矩形绿化带的面积为ym2．

（1）求y关于自变量x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；

（2）求围成矩形绿化带ABCD面积y的最大值；

（3）若要求矩形绿化带ABCD的面积不少于45m2，请直接写出AB长的取值范围．

变式 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，利用描点作图的方式画出

（x>0）和（x>0）的图象，通过观察发现：

（1）函数（x>0）最低点坐标为（,1）；

（2）函数（x>0）最低点坐标为（2,4）；

【类比推理】请你在上述研究的基础上，继续探索函数的图象性质.

函数自变量x的取值范围是x>0，下表是y与x的几组对应值：

①根据上表得m=    ，n=      ；

②如图1，坐标系已经描出（x>0）的部分点，请根据表格数据讲图象补充完整，结合图象，猜想：当x=    时，y有最小值，y的最小值是         ；

【解决问题】如图2，某校园艺设计划利用已有的一堵长为10米的墙，用篱笆围一个面积为18㎡的矩形园子，则所用篱笆最小长度为多少米？

【考点6  二次函数中的比较大小以及含参数问题】

例1  在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 （a>0）

（1）抛物线的对称轴为 x＝      ；   抛物线与 y 轴的交点坐标为   ;

（2）若抛物线的顶点恰好在 x 轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；

（3）若 A（m-1，），B（m，），C（m+2，）为抛物线上三点，且总有 ＞＞，结合图象，求 m 的取值范围.

例2  已知抛物线 y a bx(a 0) 经过点 A(3，3) . 点 M ( ， ) ， N ( ， ) 为抛物线上两个不同的点，且满足 ，

   2 .

（1）用含 a 的代数式表示 b；

（2）当 时，求抛物线的对称轴及 a 的值；

（3）当  时，求 a 的取值范围

【考点7  双区间问题】

例1  在平面直角坐标系xoy中，抛物线（a>0）与 y 轴交于点 A．

（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）当 0≤x≤5时，y 的最小值是-2，求当0≤x≤5时，y 的最大值； （3）抛物线上的两点 P（ ，），Q（ ,），若对于都有 y1≠y2，直接写出t的取值范围.

例2  在平面直角坐标系 xoy中，点P（ ，），Q（ ,）为抛物线 (a<0)上的两点．

（1）当 h=1 时，求抛物线的对称轴；

（2）若对于，都有，求 h 的取值范围.

【考点8  公共点问题】

例1  在平面直角坐标系 xOy 中，点A是抛物线 的顶点，

（1）求点 A 的坐标；

（2）若射线 OA 与 x 轴所成的锐角为 45°，求m的值；

（3）若点 P（0，1）向右平移 4 个单位得到点 Q，若抛物线与线段 PQ 只有一个公共点， 直接写出 m 的取值范围.

例2  在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 (a 0)与 y 轴交 于点 A，过点 A 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 B.

（1）直接写出抛物线的对称轴；

（2）若 AB=4，求抛物线所对应的函数解析式；

（3）已知点 Pa 4,1，Q0,a 1，如果抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.

变式1.在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 的图象与 x 轴交 于点 A(3,0) ，与 y 轴交于点 B，将其图象在点 A，B 之间的部分（含 A, B 两点）记为 F.

（1）求点 B 的坐标及该函数的表达式；

（2）若二次函数 的图象与 F 只有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.

变式2.已知二次函数 ，在 x 0 和 x 2 时的函数值相等.

（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数 y kx 6 的图象与二次函数的图象都经过点 A(3，m) ，求 m 和 k 的值；

（3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B，C （点 B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点 B，C 间的部分（含点 B 和点C ）向左平移 n(n 0) 个单位后得到的图象记为G ，同时 将（2）中得到的直线 y kx 6向上平移 n 个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时， n 的取值范围.

【考点9  整点问题】

例1  在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 a 0与 y 轴交于点 A．

（1）求点 A 和抛物线顶点的坐标（用含 a 的式子表示）；

（2）直线 y ax 3a 与抛物线a 0围成的区域（不包括边界）记作G，横、纵坐标都为整数的点叫做整点.

①当 a 1时，结合函数图象，求区域G中整点的个数；

②当区域G中恰有6个整点时，直接写出a的取值范围.

例2.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 (a 0) 的顶点 A 在 x 轴上，与 y 轴交于点 B.

（1）用含 a 的代数式表示 b；

（2）若∠BAO=45º,求a的值；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点 A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.