初中数学北师大版九年级上册6 利用相似三角形测高教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【情景引入】

活动1：展示3张高大建筑的照片，请学生观察并思考这些顶部不可到达的高大建筑，要如何测量它们的高度呢？

活动2：讲述测量故事，胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.提出问题:你知道他是怎么做到的吗？引入主题.

预设：利用相似三角形中的线段成比例计算.

观察图片，思考如何测量这些建筑物的高度.

阅读材料，了解可以利用三角形相似的知识测量建筑物的高.

从测量知名建筑物高度的问题入手，引发学生思考.

通过古人测量金字塔高度的故事讲述，提供学生的学习兴趣.

环节二 探究新知

【合作探究】

活动说明：明确探究活动的主题，测量校园中旗杆的高度，讲解活动方式，分发活动工具.组织学生先讨论实施方案后，实地测量，收集测量数据后总结.

活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆(或路灯)的高度；

活动方式：分组活动、全班交流研讨.

工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.

探究方法1：利用阳光下的影子

如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处.其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长.

思考1：根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.

预设：解：如图所示：

∵AB⊥ED，CD⊥ED，

∴∠ABE=∠CDB=90°.

∵AE∥CB，

∴∠AEB=∠CBD.

∴△AEB∽△CBD.

思考2：这种测量方法，需要测出哪些长度？如何求旗杆的高？

预设：同学的身高AB、同学的影长BE、旗杆的影长DB.（参看课件展示的数据）

教师活动：给出测量数据，让学生计算求取旗杆的高.

预设：解：∵△AEB∽△CBD.

∴

∴

解得CD=20 m.

探究方法2：利用标杆

如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆.观测者适当调整自己所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出标杆的高.脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离.然后测出标杆的高.

思考1：根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.

预设：

解：过点A做AN⊥CD，交EF于M.

则∠AME=∠ANC=90°，

又∵点A、E、C三点共线，

∴∠EAM=∠CAN.

∴△AME∽△ANC.

思考2：这种测量方法，需要测出哪些长度？如何求旗杆的高？

预设:同学的眼睛到地面距离AB、同学到标杆的距离BF、同学到旗杆的距离BD、标杆的高EF.

教师活动：给出测量数据，让学生计算求取旗杆的高.

预设：解：∵△AME∽△ANC.

∴

解得CN=18.5.

∴CD=1.5+18.5=20(m)

探究方法3：利用镜子反射

如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合.

思考1：测量所需的数据，根据所测的结果你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由.

    预设：解：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，

    则∠ABE=∠CDE=90°，

    又∵∠AEB=∠CED(光线的入射角等于反射角).

    ∴△ABE∽△CDE.

思考2：这种测量方法，需要测出哪些长度？如何求旗杆的高？

预设:同学的眼睛到地面的距离AB、同学到镜子中标记的距离BE、镜子到旗杆的距离DE.

教师活动：给出测量数据，让学生计算求取旗杆的高.

预设：解：∵△ABE∽△CDE.

∴

即

解得CD=20(m).

【想一想】你还有哪些测量旗杆高度的方法?

教师活动：引导学生多动脑筋，鼓励学生发言，提示学生方法很多.

预设：

在旗杆旁边立一个木棍，测量棍长和影长，再测量旗杆的影长，由            可求出旗杆长.

在旗杆前方地上放置测角仪，移动测角仪的位置，使得测角仪测量到的旗杆顶端到地面的直线与地面成45°，测量此时测角仪到旗杆的距离后加上测角仪的高度，即可求出旗杆的高度.

【读一读】

教师活动：让学生进行阅读思考，为后续提出的问题准备.

刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产.

《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行.刘徽在该书中精心编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的.其中第一个问题是测算海岛的高、远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著，也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.

跟随老师提供的方法，与小组同学一起讨论、设计方案.

思考利用阳光下的影子如何测量旗杆的高度.

利用学习的相似三角形的相关知识及测量得到的数据，计算旗杆的高度.

小组分工合作，尝试用“利用标杆”的方法测量旗杆的高度.

利用学习的相似三角形的相关知识及测量得到的数据，计算旗杆的高度.

小组分工合作，尝试用“利用镜子反射”的方法测量旗杆的高度.

思考如何利用镜子反射测量旗杆高度，并小组讨论证明.

利用学习的相似三角形的相关知识及测量得到的数据，计算旗杆的高度.

思考其他可以测量旗杆高度的方法并踊跃回答.

阅读学习古代测量高度的故事.

测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的最佳情境，同时，也可以很好地体现学生个性化的学习特征，实现学生之间的合作与交流.

直接运用三角形的相似知识,以及“太阳光是平行的”证明两个直角三角形相似.

    借助标杆工具测量旗杆高度是一种测量高度的常见方法，注意观察者的眼睛必须与标杆的顶端、旗杆的顶端，三点共线，标杆与地面要垂直.

    利用镜子反射测量旗杆高度，主要用到光线的“反射角等于入射角”的知识，这是物理中要学的内容，属于跨学科应用.

引导学生积极参与，在各人独立思考的基础上，充分交流，集思广益.

数学文化学习.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD=1000步，D，B，H成一线，DG=127步；从B处退行123步到F，人的眼睛贴着地面观察A点，A，C，F，三点成一线.试计算山峰的高度AH及HB的长(这里1步=6尺，1丈=10尺，结果用丈表示）.怎样利用相似三角形求得线段AH及HB的长呢？请你试一试！

教师分析： 先将步数与丈的单位统一成尺再进行计算，根据△AHF∽△CBF，得；由△AHG∽△EDG，得                   利用这两个比例式可以求得HB和AH，最后结果要化成丈．

展示完整解题过程：

解：如图，CB=ED=3丈=30尺，BD=1000步=6000尺，BF=123步=738尺，DG=127步=762尺.

∵AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF=∠CBF，

又∠AFH=∠CFB，∴△AFH∽△CFB .

∴

即

同理△AHG∽△EDG，得

即

∴由①②两式可以解得HB=184500尺=18450丈，AH=7530尺=735丈.           

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

通过解决例题让学生体会利用三角形相似测高的方法，同时综合运用之前学过的方程有关的知识，注意引导学生阅读、理解题意.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.高4m的旗杆在水平面上的影子长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，则该建筑物的高度为         m.   

2.如图，是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD.且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝12m.那么该古城墙CD的高度是(    )             

A．6m　 B．8m　　C．18m　 D．21m

3.小明为测量一棵树CD的高度，他在距树24m处立了一根高为2m的标杆EF，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m时，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上，已知小明眼睛到地面的距离为1.6m，求树的高度.

答案：

1.16

2.B

3.解：如图，由题意得：AB=1.6m，EF=2m，BD=27m，FD=24m.

过点A作AN ∥BD交CD于N、EF于M.

∵ ∠EMA=∠CNA，∠1=∠1，

∴△AEM∽△ACN.

∴

解得CN=3.6m，则CD=3.6+1.6=5.2m，即树高为5.2m.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第105页习题4.10第2、4题

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.