2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区立达中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区立达中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区立达中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  数字“”中，数字“”出现的频率是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  在代数式，，，中，分式有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个4.  下列事件为必然事件的是(    )A. 购买两张彩票，一定中奖 B. 打开电视，正在播放新闻联播
C. 抛掷一枚硬币，正面向上 D. 三角形三个内角和为5.  下列等式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  下列说法正确的是(    )A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形7.  为迎接扬州“烟花三月”旅游节，市政府决定对城区公顷的绿化带进行一次全面的绿化改造，实际每天绿化改造的面积比原计划多公顷，结果提前天完成绿化改造任务．若设原计划每天绿化面积是公顷，根据题意下列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，在中，，，分别是，的中点，连接，过作的延长线于，若四边形的周长是，的长为，则的周长是．(    )A.
B.
C.
D. 9.  如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连
接，，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.  为了解某校七年级名学生的体重情况，从中随机抽取名学生的体重进行分析，这项调查中，样本是______ ．12.  若分式的值为零，则的值为______ ．13.  从某玉米种子中抽取批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数发芽种子粒数发芽频率根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为______精确到．14.  已知，则的值为______．15.  如图，在平行四边形中，平分，，则的度数为______．
16.  如图，正方形的边长是，点在上，点在上，，若则的长为______ ．
 17.  如图，将矩形对折，折痕为，点是边上一点，将沿折叠，使得点刚好落在上的点处，此时，若，则 ______ ．
 18.  如图，已知菱形的对角线，，边上有个不同的点，，，，过作于，于，，于，于，则的值为______ ．
 三、解答题（本大题共9小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：
；
．20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．21.  本小题分
为了控制学生的书面作业量，规范中小学生的作息时间，某中学随机抽查部分学生，调查他们每天作业时间，如图是根据调查数据绘制的统计图表的一部分． 组别每天作业时间小时人数人本次调查的学生数为______ 人；
在统计图表中， ______ ， ______
若该校共有名学生，如果每天作业时间在小时以内说明作业量比较适中，请你估计这所学校作业量适中的学生人数．
22.  本小题分
已知关于的分式方程．
当时，求方程的解．
若关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围．23.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
证明：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
24.  本小题分
某汽车网站对两款价格相同，续航里程相同的汽车做了一次评测，一款为燃油车，另一款为纯电新能源车，得到相关数据如下：续航里程一般指汽车油箱加满或电池满电时，跑到完全不能继续移动时所一共跑过的里程数 燃油车纯电新能源车油箱容积：升电池容量：千瓦时油价：元升电价：元千瓦时设两款车的续航里程均为千米，则燃油车的每千米行驶费用是______ 元，纯电新能源车的每千米行驶费用是______ 元；请用含的代数式表示
若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元．
请分别求出这两款车的每千米行驶费用；
若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为元和元问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用25.  本小题分
我们定义：形如不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，，．
再如为十字分式方程，可化为，．
应用上面的结论解答下列问题：
若为十字分式方程，则 ______ ， ______ ．
若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值．26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点在轴正半轴上，对角线交轴于点，边交轴于点动点从点出发，以个单位长度秒的速度沿折线向终点运动．

点的坐标为______ ；
设动点的运动时间为秒，连接、，的面积为，请用含的式子表示；
当点运动到线段上时，连接、，若，求的运动时间的值．27.  本小题分
已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．

如图，线段与线段的关系是______ ，并说明理由；已知直线与相交于点；
如图，于点，于点，求证：四边形是正方形；
如图，连接，若，，在旋转的过程中，线段长度的最小值是______ ．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意知，数字“”出现的频率是：．
故选：．
根据频率的计算公式：，进行计算即可．
本题主要考查了频数与频率，掌握频率的计算方法．
 2.【答案】 【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 3.【答案】 【解析】解：、是整式，
、是分式．
故选：．
根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式来判断．
本题主要考查了分式的定义，掌握分式的概念，注意它是一个数字而不是一个字母是解题关键．
 4.【答案】 【解析】解：、购买两张彩票，一定中奖，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视，正在播放新闻联播，是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D、三角形三个内角和为，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 5.【答案】 【解析】解：、，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、当时，无意义，故D不符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 6.【答案】 【解析】解：、平行四边形的对角线互相平分，故选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直平分，故选项C不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项D符合题意；
故选：．
由菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：若设原计划每天绿化面积是公顷，实际的工作时间为：，原计划的工作时间为：方程应该为：故选B．
关键描述语是：“提前天完成绿化改造任务”等量关系为：原计划的工作时间实际的工作时间．
列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．本题主要用到的等量关系为：工作时间工作总量工作效率．
 8.【答案】 【解析】解：、分别是、的中点，
是的中位线，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
在中，是的中点，
，
，
，
的周长，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质和含角的直角三角形，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段与已知线段的长度联系起来求解的．由直角三角形的性质得到，然后根据旋转的性质和等腰三角形的判定得到．
【解答】
解：在中，，，，
，则．
由旋转的性质知，，，
是的中垂线，
．
由旋转的性质知，．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：如图，连接，

在矩形中，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
，
是的垂直平分线，
，
，
连接，则，
，，
．
的最小值为．
故选：．
连接，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，则，根据勾股定理可得结果．
本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
 11.【答案】被抽取的名学生体重情况 【解析】解：这项调查中，样本是被抽取的名学生体重情况，
故答案为：被抽取的名学生体重情况．
根据样本的定义即可求解：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．
本题考查了样本的定义，理解样本的定义是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：由题意知，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
故答案为：．
由题意知，，然后解分式方程即可．
本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算．
 13.【答案】 【解析】解：种子粒数粒时，种子发芽的频率趋近于，
估计种子发芽的概率为，精确到，即为．
故本题答案为：．
本题考查的是用频率估计概率，批次种子粒数从粒大量的增加到粒时，种子发芽的频率趋近于，所以估计种子发芽的概率为，精确到，即为．
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：，
，




，
故答案为：．
根据已知可得，然后代入式子进行进行计算即可解答．
本题考查了分式的值，根据已知得出，是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形对边平行、对角相等得出，，从而知，再利用角平分线的性质可得答案．
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：
边：平行四边形的对边相等．
角：平行四边形的对角相等．
对角线：平行四边形的对角线互相平分．
 16.【答案】 【解析】解：如图所示，过点作于点，交于点，

则，
，
四边形是正方形，
，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
设，则，
正方形的边长为，
，
，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
故答案为：．
过点作于点，交于点，则，根据正方形的性质得，，即可得四边形是矩形，得，根据，得，则，，根据得，即可得，根据角角边可证明≌，可得，根据，得，则，设，则，根据正方形的边长为得，根据得，即可得，
在中，根据勾股定理得即可得．
本题考查了了正方形的性质，掌握矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：如图，连接，过点作于，则四边形为矩形，
，
由折叠可知≌，为矩形的对称轴，
，，，，，
，
为等边三角形，
，
，，
在中，，
令长为，则，
，
解得，
，
，，
，
在中，
，
，
，
故答案为：．
由折叠可得出为等边三角形，再分别，中根据直角三角形的性质求出，的长，最后根据求解即可．
本题考查了折叠问题，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及矩形的性质，解题关键是根据折叠的性质得出为等边三角形．
 18.【答案】 【解析】解：如图所示，设，交于点，

，四边形是菱形，
三角形是等边三角形，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
故答案为：．
先根据菱形和勾股定理计算出，再根据勾股定理得到，，从而得到，最终得到答案．
本题考查菱形、等边三角形和直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．
 19.【答案】解：


；




． 【解析】分母不变，分子直接作差，然后约分即可；
先用平方差公式、完全平方公式进行因式分解，然后进行除法运算即可．
本题考查了分式的减法，分式的除法运算，完全平方公式，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的运算．
 20.【答案】解：


．
当时，原式． 【解析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
 21.【答案】     【解析】解：本次调查的学生数为人，
故答案为：；
人，
人，
．
故答案为：，；
人，
答：该校名学生中每天作业时间在小时以内的大约有人．
从两个统计图中可知，“组”的人数是人，占调查人数的，根据“频率”即可求出调查人数；
根据“组”所占的百分比可求出“组”频数，再根据各组频数之和等于求出的值；用乘所占百分比可得的值；
求出样本中“每天作业时间在小时以内”的人数所占的百分比，估计总体中“每天作业时间在小时以内”所占的百分比，进而计算相应的人数．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握据“频率”是正确解答的关键．
 22.【答案】解：当时，
，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
，
，
，
，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，且，
即：且
即：且 【解析】将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
 23.【答案】证明：是的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌；
，
是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
平行四边形是菱形；
解：是的中点，
的面积的面积的面积，
四边形是菱形，
菱形的面积的面积的面积． 【解析】由证明≌，得，证得四边形为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得，可证得结论；
根据条件可证得，再由三角形面积公式可求得答案．
本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 24.【答案】  【解析】解：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元．
故答案为：，；
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
元，元，
答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低．
根据表中的信息，可以表示出燃油车和纯电新能源车的每千米行驶费用；
根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
设每年行驶里程为千米时，由年费用年行驶费用年其它费用，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：正确列出代数式；找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 25.【答案】   【解析】解：方程是十字分式方程，可化为，
，，
故答案为：；；
十字分式方程的两个解分别为，，
，，


，
原式；
方程是十字分式方程，
可化为，
，
，
，，
，，
即，，
代入得，，
的值为．
将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
先根据十字分式方程的定义求出，，再化简得，最后代入计算求解即可；
先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，掌握十字分式方程的定义是解题关键．
 26.【答案】 【解析】解：，
、，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
；
故答案为：；
连接，
如图中，当时，

，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
直线的解析式为，
，
，
，
．
如图中，当时，

四边形是菱形，
，
，，
≌，
，
，
，
综上所述，；
，，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的运动时间的值为秒．
由点坐标可得、，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为，据此即可求解；
分两种情形：如图中，当时，如图中，当时，连分别求解即可；
设，推出，求得，推出，得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
本题查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握分类讨论思想成为解答本题的关键．
 27.【答案】垂直且相等  【解析】解：垂直且相等，
理由如下：四边形是正方形，
，．
，，
，
，
在和中，
，
≌；
，，
设直线与、相交于点、，

，
，即，
，；
即线段与线段的关系是垂直且相等，
故答案为：垂直且相等；
证明：由知，

，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，
矩形是正方形；
解：作交于点，作于点，

，，，
≌，
，
，，
最大时，最小，的最大值．
的最小值的最小值．
由可知，是等腰直角三角形，
的最小值．
故答案为：．
根据证明≌，推出，，据此即可求解；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作交于点，作于点，证明是等腰直角三角形，求出的最小值，可得结论．
本题考查四边形的综合应用，掌握正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．