中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七（含答案）

中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七

1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2＋bx＋c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于M，N两点．

证明：当直线l绕点F旋转时，＋是定值，并求出该定值；

(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

2.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线AB相交于A(﹣1，0)，B(3，2)，与x轴交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA＋DB的最小值.

3.如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：

(1)求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段(点P在点Q上方)，求AQ＋QP＋PC的最小值；

(3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B．

(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

5.如图，经过点A(0，－4)的抛物线y=x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线y=x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB=∠ACB，求AM的长．

6.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC＝4，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若C(0，2)．

(1)请直接写出A、B的坐标；

(2)求经过A、B、C三点的抛物线表达式；

(3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

7.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(﹣3，0)两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在(1)中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形；求出点M的坐标．

(3)设(1)中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

8.已知抛物线y=﹣x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(﹣4，0)，B(1，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；

(4)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习七（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：(1)∵顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)，

∴B(2，﹣1)，

∴A(4，0)，

将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，

得到，解得，

∴y＝x2﹣x；

(2)①设F(2，m)，G(x，y)，

∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y＋2|，

∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4，

∵y＝x2﹣x，

∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4＝y2＋x2﹣4x＋4＝y2＋(x﹣2)2，

∴G到直线y＝﹣2的距离与点(2，0)和G点的距离相等，

∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；

∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，

∴(x﹣2)2＋(m﹣x2﹣x＋2)2＝(x2﹣x＋2)2，整理得，m(m﹣x2＋2x)＝0，

∵距离总相等，∴m＝0，

∴F(2，0)；

②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，

联立，整理得x2﹣(4＋4k)x＋8k＝0，

∴xM＋xN＝4＋4k，xMxN＝8k，

∴yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣4k2，

∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，

∴＋＝＋＝＝＝1，

∴＋＝1是定值；

(3)作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，

∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，

∴四边形PQBC周长＝BQ＋PQ＋PC＋BC＝B'Q＋PQ＋C'P＋CB＝C'B'＋CB，

∵点C(3，m)是该抛物线上的一点∴C(3，﹣)，

∵B(2，﹣1)，∴B'(﹣2，﹣1)，C'(3，)，

∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，

∴Q(0，﹣)，P(，0)．

2.解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，2)代入y＝ax2＋bx＋2，

得，解得，

∴抛物线的解析式为y＝-x2＋x＋2．

(2)存在．如图1，作AE⊥AB交y轴于点E，连结CE；作BF⊥x轴于点F，则F(3，0)．

当y＝0时，由-x2＋x＋2＝0，得x1＝1，x2＝4，

∴C(4，0)，

∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣(﹣1)＝4；

又∵BF＝2，

∴，

∵∠BFC＝∠AFB＝90°，

∴△BFC∽△AFB，

∴∠CBF＝∠BAF，

∴∠ABC＝∠CBF＋∠ABF＝∠BAF＋∠ABF＝90°，

∴BC∥AE，

∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，

∴△BCF≌△EAO(ASA)，

∴BC＝EA，

∴四边形ABCE是矩形；

∵OE＝FB＝2，

∴E(0，﹣2)．

(3)如图2，作FL⊥BC于点L，连结AL、CD.

由(2)得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，

∴CF＝CD，CB＝．

∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF(公共角)，

∴△FCL∽△BCF，

∴＝，∴＝，

∵∠DCL＝∠BCD(公共角)，

∴△DCL∽△BCD，

∴＝，

∴LD＝DB；

∵DA＋LD≥AL，

∴当DA＋LD＝AL，即点D落在线段AL上时，DA＋DB＝DA＋LD＝AL最小．

∵CL＝CF＝，∴BL＝，∴BL2＝()2＝，

又∵AB2＝22＋42＝20，

∴AL＝＝＝，DA＋DB的最小值为．

3.解：(1)根据表格可得出A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)，

设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)，

将C(0，3)代入，得：3＝a(0＋1)(0﹣3)，解得：a＝﹣1，

∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，

∴该抛物线解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，顶点坐标为M(1，4)；

(2)如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′(0，2)，连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，

∵A、B关于直线x＝1对称，

∴AQ′＝BQ′，

∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，

∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，

∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，

在Rt△BOC′中，BC′＝，

∴AQ′＋Q′P′＋P′C＝BQ′＋C′Q′＋Q′P′＝BC′＋Q′P′＝＋1，

此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′＋C′Q′的值最小，

∴AQ＋QP＋PC的最小值为＋1；

(3)线段EF的长为定值1.如图2，连接BE，

设D(t，﹣t2＋2t＋3)，且t＞3，

∵EF⊥x轴，

∴DF＝﹣(﹣t2＋2t＋3)＝t2﹣2t﹣3，

∵F(t，0)，

∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣(﹣1)＝t＋1，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠DAF＋∠BED＝180°，

∵∠BEF＋∠BED＝180°，

∴∠DAF＝∠BEF，

∵∠AFD＝∠EFB＝90°，

∴△AFD∽△EFB，

∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，

∴线段EF的长为定值1．

4.解：(1)依题意得：

，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A(1，0)，

∴把B(﹣3，0)、C(0，3)分别代入直线y=mx+n，

得，解之得：，

∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；

(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M(﹣1，2)，

即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1，2)；

(3)设P(﹣1，t)，

又∵B(﹣3，0)，C(0，3)，

∴BC2=18，PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2，PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10，

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；

②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；

综上所述P的坐标为(﹣1，﹣2)或(﹣1，4)或(﹣1，) 或(﹣1，)．

5.解：(1)将A(0，﹣4)、B(﹣2，0)代入抛物线y=x2+bx+c中，得：

解得：b=﹣1 c=﹣4  

∴抛物线的解析式：y=x2﹣x﹣4．

(2)由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=(x+m)2﹣(x+m)﹣4+7/2 ，

它的顶点坐标P：(1﹣m，﹣1)；

由(1)的抛物线解析式可得：C(4，0)；

那么直线AB：y=﹣2x﹣4；直线AC：y=x﹣4；

当点P在直线AB上时，﹣2(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=5 2 ；

当点P在直线AC上时，(1﹣m)﹣4=﹣1，解得：m=﹣2；

∴当点P在△ABC内时，﹣2＜m＜5/2 ；

又∵m＞0，

∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜5/2 ．

(3)由A(0，﹣4)、B(4，0)得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；

如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；

∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB；

如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，

∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；

易得：AB2=(﹣2)2+42=20，AN=OA﹣ON=4﹣2=2；

∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1﹣OA=10﹣4=6；

而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，

∴OM1=OM2=6，AM2=OM2﹣OA=6﹣4=2．

综上，AM的长为6或2．

6.解：(1)∵C(0，2)，

∴OC＝2，

在Rt△AOC中，OA＝2，

∴OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，

∴A(﹣2，0)，B(6，0)；

(2)设y＝a(x＋2)(x﹣6)，把C(0，2)代入得：

2＝a(0＋2)(0﹣6)，解得：a＝﹣，

∴y＝﹣(x＋2)(x﹣6)＝﹣x2＋x＋2，

∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2＋x＋2；

(3)在△BOC中，BC＝＝4，

∵y＝﹣x2＋x＋2＝﹣(x﹣2)2＋，

∴抛物线对称轴为直线x＝2，

设P(m，﹣m2＋m＋2)(m＞2)，E(2，n)，

①当△PDE≌△ACB时，如图1，

∵∠PDE＝∠ACB＝90°，

∴PD＝AC＝4，DE＝BC＝4，

∴m﹣2＝4，解得：m＝6，

∴P(6，0)，D(2，0)，

∴|n﹣0|＝4，解得：n＝±4，

∴E(2，4)或(2，﹣4)，

②当△PDE≌△BCA时，如图2，

∵∠PDE＝∠ACB＝90°，

∴PD＝BC＝4，DE＝AC＝4，

∴m﹣2＝4，解得：m＝4＋2，

∴P(4＋2，﹣)，D(2，﹣)，

∴|n﹣(﹣)|＝4，解得：n＝4﹣或﹣4﹣，

∴E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)；

综上所述，P(6，0)，E(2，4)或(2，﹣4)；

或P(4＋2，﹣)，E(2，4﹣)或(2，﹣4﹣)．

7.解：(1)将A(1，0)，B(﹣3，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c，

∴，解得，

∴y＝﹣x2﹣2x＋3；

(2)∵y＝﹣x2﹣2x＋3＝﹣(x＋1)2＋4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，则y＝3，

∴C(0，3)，

设M(﹣1，m)，

∵△MAC是以AM为底的等腰三角形，

∴CM＝CA，

∴1＋(m﹣3)2＝1＋9，解得m＝0或m＝6(舍)，

∴M(﹣1，0)；

(3)存在P点，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，理由如下：

由(2)知D(﹣1，4)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋b，

∴，解得，

∴y＝x＋3，

∴E(﹣1，2)，

设P(t，﹣t2﹣2t＋3)，Q(t，t＋3)(﹣3≤t≤0)，

①当DE为平行四边形的对角线时，

，

∴t＝﹣1，

∴P(﹣1，4)(舍)；

②当DP为平行四边形的对角线时，

4﹣t2﹣2t＋3＝2＋t＋3，解得t＝(舍)；

③当DQ为平行四边形的对角线时，

4＋t＋3＝2﹣t2﹣2t＋3，解得t＝﹣1(舍)或t＝﹣2，

∴P(﹣2，3)；

综上所述：P点坐标为(﹣2，3)．

8.解：(1)抛物线的解析式为y=﹣(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣x2﹣x＋2；

(2)存在．当x=0，y=﹣x2﹣x＋2=2，则C(0，2)，∴OC=2，

∵A(﹣4，0)，B(1，0)，

∴OA=4，OB=1，AB=5，

当∠PCB=90°时，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25

∴AC2＋BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，

∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为(﹣4，0)；

当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx＋n，

把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得

，解得，

∴直线AC的解析式为y=x＋2，

∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=x＋p，

把B(1，0)代入得＋p=0，解得p=﹣，

∴直线BP的解析式为y=x﹣，

解方程组得或，

此时P点坐标为(﹣5，﹣3)；

综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；

(3)存在点E，设点E坐标为(m，0)，F(n，﹣n2﹣n＋2)

①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标(﹣7，0)，

②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，

∴﹣n2﹣n＋2=﹣2，解得n=，

得到F2(，﹣2)，F3(，﹣2)，

根据中点坐标公式得到： =或=，

解得m=或，此时E2(，0)，E3(，0)，

③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4(﹣1，0)，

综上所述满足条件的点E为(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．