江苏省扬州市宝应县联盟学校2022-2023学年九年级上学期10月作业数学试题(解析版)

九年级数学作业（20221009）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    若关于的一元二次方程有一个解为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列方程一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    已知的直径是，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是(    )

A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 无法确定

4.    已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个实数根，则该直角三角形外接圆的半径长为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    在比例尺是：的地图上，若某条道路长约为，则它的实际长度约为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    如图，小正方形的边长均为，则、、、四个选项中的三角形阴影部分与相似的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长交于点若，，则线段的长为(    )

1.  B.  C.  D.

8.    如图，是半圆的直径，，是半圆上任意两点，连结，，与相交于点，要使与相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.    已知三个数，，，要使其中一个数是其他两数的比例中项，则的取值是________．
10. 如图，四边形内接于，若它的一个外角，则的度数为______．
11. 在中，弦的长恰好等于半径，弦所对的圆心角为______ ．
12. 如图，四边形是的内接四边形，若，则______
13. 已知两个相似三角形的一对对应边长分别是和，且它们的周长相差，这两个三角形的周长为____________                
14. 如图，是的直径，点是上的一点，若，，于点，则的长为______．

         （第11题图）          （第12题图）            （第14题图）                                                                 

15. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
16. 如图，等边的边长为，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为          ．
17. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为          ．
18. 如图，是的中线，点在上，延长交于点若，则______ ．

 （第15题图）                               （第18题图）

三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分解方程：．
    
     
20. 本小题分如图，，是的切线，，为切点，是的直径，求的度数．

（第20题图）

21. 
    本小题分“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”这是九章算术中的问题，用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点，寸，寸，求直径的长．
    （第21题图）
22. 本小题分某校园有旗杆在阳光下某一时刻的影子长为高米的标杆在同一时刻的影子为其中，都与地面垂直通过测量获得数据，米．
    在图中画出旗杆的影子；
    求旗杆的高度．

（第22题图）

23.本小题分如图，是的直径，点，是上两点，且点是的中点，连接，，过点作，垂足为点．
求证：是的切线；
若，，求的长．

（第23题图）                       

24.本小题分年月日，第届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱。某商店经销一种吉祥物玩具，销售成本为每件元，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件；销售单价每涨元，月销售量就减少件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：

当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到元．

商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，则销售定价应为多少元？

25.本小题分如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在轴上，点在轴上，将边折叠，使点落在边的点处，已知折痕，且 
 判断与是否相似？请说明理由；

求直线与轴交点的坐标．

 

26.本小题分阅读下列材料：已知实数，满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
所以，因为，所以．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整休，并用新字母代替即换元，则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
已知实数、，满足，求的值；
已知的三边为、、为斜边，其中、满足，求外接圆的半径．

27.本小题分如图，的半径为，，，，是上的四个点，．
判断的形状：______；
试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
当点位于的什么位置时，四边形的面积最大？

求出最大面积．
 

28.   本小题分定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
     

理解：如图，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点，使四边形是以为“相似对角线”的四边形画出个即可；
如图，在四边形中，，，对角线平分．
求证：是四边形的“相似对角线”；
运用：如图，已知是四边形的“相似对角线”，连接，若的面积为，求的长。
 

九年级数学作业答案 （20221009）

【答案】

1.   2.   2.   3.   3.   4.   4.   5.   5.   6.   6.   7.  
7.  
8.   8.   9.   

9.

或或

10.

11.

12.

13.

，

14.

15.

且

16.

17.

18.

19.

解：，
，


，
，
，；
，
，
或，
，．

20.

解：、是的切线，
，
，
是的直径，是的切线，
，
，
，
，
．

21.

解：连接，如图所示，
设直径的长为，则半径，
为的直径，弦于，寸，

寸，
连接，则寸，
根据勾股定理得，
解得，
直径的长为寸．

22.

解：如图，线段即为所求；

，在同一时刻的阳光下，
，故．
，
∽，
，即，
米．
答：旗杆的高度为米．

23.

证明：如图，连接，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，即是的切线；
解：如图，连接，
是的直径，
，
，又，
∽，
，
解得，，
在中，．

24.

解：设当销售单价涨元时，月销售利润能够达到元．

解答：，，
当销售单价涨元或元时，月销售利润能够达到元．
由知：当时，能售出件，
故成本为：，不合题意舍去；
当时，能售出件，
故成本为：，符合题意；
销售定价应为：元
答：销售定价应定为元．

25.

解：与相似．
理由如下：
由折叠知，，
，
，
，
又，
∽；
，
设，则，
由勾股定理得，
，
由∽，得，
，
，
在中，，
，
解得，
，，点的坐标为，
点的坐标为，
设直线的解析式为，

解得：
，
，
令，得到，
则点的坐标为．

26.

解：设，则原方程可变为，
解得，
，
，
；
，
设，则原方程可变为，
即，
解得，，
，
，
，
，
外接圆的半径为．

27.

解：等边三角形；
，
证明：在上截取，如图，

又，
是等边三角形，
，，即．
又，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
；
当点为的中点时，四边形的面积最大．

理由如下，如图，过点作，垂足为．
过点作，垂足为．
，，
，
当点为的中点时，，为的直径，
此时四边形的面积最大．
又的半径为，
其内接正三角形的边长，
．

28.

解：由图知，，，，，
四边形是以为“相似对角线”的四边形，

当时，∽或∽，
或，
或
同理：当时，或，
如图中，，，，即为所求．

证明：如图中，

，平分，
，

，
，
，
∽，
是四边形的“相似对角线”；

如图，

是四边形的“相似对角线”，
与相似，
，
∽，
，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
．

【解析】

1~2. 【分析】
本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后解关于的方程即可．
【解答】
解：根据题意，将代入，得：，
解得，
故选：．

2~3. 【分析】
本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的准确定义是解决本题的关键；注意一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程即可．
【解答】
解：、是分式方程，不合题意；
B、含有个未知数，不合题意；
C、没有说明的取值，不合题意；
D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程，符合题意，
故选：．

3~4. 解：根据圆的定义：圆心到圆上任意一点的距离等于半径，
的直径是，
的半径是，
圆心到圆上任意一点的距离等于，
点到圆心的距离为，
点在圆内，
故选：．
根据圆的定义及点与圆的位置关系即可求解．
本题考查了点与圆的位置关系，本题的解题关键是圆的定义．

4~5. 解：，
，
解得，；
所以直角三角形的两条直角边为：、，
由勾股定理得：斜边长；
所以直角三角形的外接圆半径长为，
故选：．
直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，因此求出直角三角形的斜边长是解题的关键，通过解方程可求得直角三角形的两条直角边，进而由勾股定理求得斜边的长，由此得解．
此题主要考查了直角三角形外切圆半径的求法，涉及到一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用，难度不大．

5~6. 解：设这条道路的实际长度为，则：，
解得．
这条道路的实际长度为．
故选：．
根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
本题考查比例线段问题，解题的关键是能够根据比例尺的定义构建方程，注意单位的转换．

6~7. 解：已知给出的三角形的各边分别为、、、
只有选项A的各边为、、与它的各边对应成比例．
故选：．
应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，解题的关键是求出三角形的三边的长度．

7~8. 【分析】
本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得，且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
【解答】
解：，
，
，为中点，
，
，
又平分，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
，
故选B．

8~9. 解：如图，，
A、，
∽，故A选项正确；
B、，
，
，
∽，故B选项正确；
C、，
：：，
∽，故C选项正确；
D、，
：：，
但不是对应夹角，故D选项错误．
故选：．
由，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

9. 【分析】
本题考查了比例的基本性质，理解比例中项的概念是解题的关键．
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，列式求解即可．
【解答】
解：根据比例中项的概念，结合比例的基本性质，可得：
，得；
，得；
，得．
故答案为或或．

10. 解：四边形内接于，
，
，
．
故答案为：．
由四边形内接于，可得，又由邻补角的定义，可证得继而求得答案．
此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．

11. 解：如图，
，为等边三角形，
，
故答案为．
先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦所对的圆心角．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，以及等边三角形的判定和性质．

12. 解：，
，
．
故答案为．
先根据圆内接四边形的性质得到，然后根据圆周角定理求．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．

13. 【分析】
本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．
根据相似三角形的一对对应边的长，可得出相似比，再根据周长的比等于相似比，即可求出两个三角形的周长．
【解答】
解：三角形的对应边的比是：：，周长的比等于相似比，
可以设一个三角形的周长是，则另一个三角形的周长是，
周长相差，得到，解得：，
这两个三角形的周长分别为，．

14. 解：，
，
，
．
故答案为．
根据垂径定理求得，然后根据勾股定理求得即可．
题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．

15. 解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

16. 【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质等．
根据等边三角形的性质、三角形的外角性质，相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】
解：为等边三角形，
，
又，
，
，
，
解得．

17. 【分析】
本题考查的是一元二次方程的解有关知识，设，则，再结合的一元二次方程，有一根为得出即可解答
【解答】
解：对于一元二次方程，
设，
所以，
而关于的一元二次方程，有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．

18. 解：如图，是的中线，
点是的中点，
，
过点作交于，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
过点作交于，可得∽，所以，得到；再根据∽，得，所以，即．
本题考查了相似三角形的判定与性质，过点作，构造相似三角形是解题的关键．

19. 利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．

20. 本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟记切线的性质定理是解题的关键．根据切线性质得出，，求出的度数，得出，根据三角形的内角和定理求出即可．

21. 此题主要考查本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题解决本题的关键是理解题意，把文言文翻译成数学语言，然后画出几何图形，再利用数学知识来解决．根据垂径定理得到的长，在中，由勾股定理，代入数据即可求得．

22. 根点作交于点，线段即为所求；
利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，平行投影等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23. 连接，根据等弧所对的圆周角定理得到，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；
连接，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

24. 此题考查的是一元二次方程的应用，首先读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解决本题的关键．
销售单价每涨价元，月销售量就减少件．那么涨价元，月销售量就减少件．根据月销售利润每件利润数量即可列出方程，解方程即可；
根据中的两个值，计算月销售成本，注意取舍即可．

25. 本题主要考查了相似三角形的性质和判定，同时考查了勾股定理、待定系数法求得函数的解析式．
根据折叠知，根据同角的余角相等得到，再结合一对直角，即可证明两个三角形相似；
首先应求得点的坐标，根据折叠知，根据，设，则，再根据勾股定理表示出，即，所以，再根据中的两个相似三角形得到，从而在直角三角形中，根据勾股定理列方程计算．求得点，的坐标后，用待定系数法求得直线的解析式，再进一步求得与轴的交点的坐标．

26. 设，则原方程可变为，解方程即可得到结论；
设，则原方程可变为，列方程即可得到结论．
本题主要考查换元法解方程的方法和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

27. 【分析】
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明≌是关键．
利用圆周角定理可得，，而，所以，从而可判断的形状；
在上截取，则是等边三角形，然后证明≌，证明，即可证得；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点为的中点时，从而得出最大面积．
【解答】
解：是等边三角形．
证明如下：在中
与是所对的圆周角，与是所对的圆周角，
，，
又，
，
为等边三角形，
故答案为等边三角形；
见答案；
见答案．

28. 先求出，，，再分情况求出或，即可画出图形；
先判断出，即可得出结论；
先判断出∽，得出，再判断出，继而求出，即可得出结论．
本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．