初中浙教版4.5 相似三角形的性质及应用同步达标检测题

这是一份初中浙教版4.5 相似三角形的性质及应用同步达标检测题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共9小题）
1. 如图所示，平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果 BE:BC=2:3，那么下列各式错误的是
A. BEEC=2B. ECAD=13C. EFAE=23D. BFDF=23

2. 如图所示，AD 是 △ABC 的高线，AB=15，AC=12，AD=10，则 △ABC 的外接圆直径 AE 长为
A. 20B. 18C. 16D. 103

3. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，过点 O 作 AB 的垂线与弦 AC 交于点 D，连接 BC，若 OD=3，⊙O 的半径为 4，则 CD 等于
A. 1.4B. 1.8C. 2.4D. 2.6

4. 如图所示，边长为 12 的正方形 ABCD 中，有一个小正方形 EFGH，其中点 E，F，G 分别在 AB，BC，FD 上．若 BF=3，则小正方形的边长为
A. 154B. 23C. 4D. 5

5. 如图所示，Rt△OAB 的顶点与坐标原点重合，∠AOB=90∘，AO=3BO，当点 A 在反比例函数 y=9x（x>0）的图象上移动时，点 B 坐标满足的函数表达式为
A. y=-1x（x<0）B. y=-3x（x<0）
C. y=-13x（x<0）D. y=-19x（x<0）

6. 如图所示，等腰直角三角形 ABC 的直角边长为 3，P 为斜边 BC 上一点，且 BP=1，D 为 AC 上一点．若 ∠APD=45∘，则 CD 的长为
A. 53B. 23-13C. 32-13D. 35

7. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径且 AB=43，C 是 OA 的中点，过点 C 作 CD⊥AB 交 ⊙O 于点 D，E 是 ⊙O 上一点，连接 DE，AE 交 DC 的延长线于点 F，则 AF⋅AE 的值为
A. 83B. 12C. 63D. 93

8. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=a，BC=ba>b，在 △ABC 内依次作 ∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，则 DE 等于
A. b2aB. ab2C. b3a2D. a3b2

9. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=18，BC=12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在 △ABC 内，顶点 D，G 分别在 AB，AC 上，AD=AG，DG=6，则点 F 到 BC 的距离为
A. 1B. 2C. 122-6D. 62-6

二、填空题（共6小题）
10. 如图所示，已知在 △ABC 中，AB=3，AC=2，D 是边 AB 上的一点，∠ACD=∠B，∠BAC 的平分线 AQ 分别与 CD，BC 交于点 P，Q，那么 APAQ 的值为 ．

11. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC=2BC，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，与 AC 交于点 D．若 AC=1 cm，则 CD= cm．

12. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 ∠AFE=∠B．若 AB=5，AD=8，AE=4，则 AF 的长为 ．

13. 将三角形纸片 △ABC 按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 Bʹ，折痕为 EF．已知 AB=AC=6，BC=8，若以点 Bʹ，F，C 为顶点的三角形与 △ABC 相似，则 BF 的长度是 ．

14. 如图所示，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 ∠ABC=∠AED．若 DE=4，AE=5，BC=8，则 AB 的长为 ．

15. 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果 BEBC=23，那么 BFFD= ．

三、解答题（共6小题）
16. 如图所示，MN 经过 △ABC 的顶点 A，MN∥BC，AM=AN，MC 交 AB 于点 D，NB 交 AC 于点 E，连接 DE．
（1）求证：DE∥BC．
（2）若 DE=1，BC=3，求 MN 的长．

17. 如图所示，已知在 △ABC 中，∠ACB=90∘，点 D 在边 BC 上，CE⊥AB，CF⊥AD，点 E，F 分别是垂足．
（1）求证：AC2=AF⋅AD．
（2）连接 EF，求证：AE⋅DB=AD⋅EF．

18. 如图所示，D 是 △ABC 的边 AB 上一点，DE∥BC，交 AC 于点 E，延长 DE 至点 F，使 EF=DE，连接 BF，交 AC 于点 G，连接 CF．
（1）求证：AEAC=EGCG．
（2）如果 CF2=FG⋅FB，求证：CG⋅CE=BC⋅DE．

19. 如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠BCD=90∘，对角线 AC，BD 交于点 E，且 AC⊥BD．
（1）求证：CD2=BC⋅AD．
（2）F 是 BC 边上一点，连接 AF 与 BD 交于点 G，如果 ∠BAF=∠DBF，求证：AG2AD2=BGBD．

20. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，Rt△BAP 中，∠BAP=90∘，已知 ∠CBO=∠ABP，BP 交 AC 于点 O，E 为 AC 上一点，且 AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当 AE=38AC，AB=10 时，求线段 BO 的长度．

21. 如图所示，已知线段 AB∥CD，AD 与 BC 交于点 K，E 是线段 AD 上一动点．
（1）若 BK=52KC，求 CDAB 的值．
（2）连接 BE，若 BE 平分 ∠ABC，则当 AE=12AD 时，猜想线段 AB，BC，CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当 AE=1nADn>2，而其余条件不变时，线段 AB，BC，CD 三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
答案
1. C
2. B
3. A
4. A
5. A
6. C
7. B
8. C
9. D
10. 23
11. 14
12. 25
13. 247 或 4
14. 10
15. 23
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ BC=AD，BC∥AD．
由 BC∥AD，可得 △BEF∼△DAF，
∴ BFDF=BEDA．
又 BEDA=BECB=23，
∴ BFDF=23．
16. （1） 因为 MN∥BC，
所以 AMBC=ADBD，ANBC=AECE．
因为 AM=AN，
所以 ADBD=AEEC．
所以 DE∥BC．
（2） 因为 DE∥BC，
所以 ADAB=DEBC=13．
所以 ADBD=12．
所以 AMBC=ADBD=12．
所以 AM=12BC=32．
所以 MN=2AM=3．
17. （1） ∵ ∠ACB=90∘，CF⊥AD，
∴ ∠ACD=∠AFC．
∵ ∠CAD=∠FAC，
∴ △ACD∼△AFC．
∴ ACAF=ADAC．
∴ AC2=AF⋅AD．
（2） ∵ CE⊥AB，CF⊥AD，
∴ ∠AEC=∠AFC=90∘，
∴ A，E，F，C 四点共圆．
∴ ∠AFE=∠ACE．
∵ ∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，
∴ ∠ACE=∠B．
∴ ∠AFE=∠B．
∵ ∠FAE=∠BAD，
∴ △AEF∼△ADB．
∴ AE:AD=EF:BD．
∴ AE⋅DB=AD⋅EF．
18. （1） ∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG．
∴ AEAC=DEBC，EFBC=EGCG．
∵ DE=EF，
∴ DEBC=EFBC．
∴ AEAC=EGCG．
（2） ∵ CF2=FG⋅FB，
∴ CFFG=FBCF．
∵ ∠CFG=∠BFC，
∴ △CFG∽△BFC．
∴ CGBC=FGFC，∠FCE=∠CBF．
∵ DF∥BC，
∴ ∠EFG=∠CBF，
∴ ∠FCE=∠EFG．
∵ ∠FEG=∠CEF，
∴ △EFG∽△ECF．
∴ EFEC=FGFC=DEEC．
∴ CGBC=DEEC，
即 CG⋅CE=BC⋅DE．
19. （1） ∵AD∥BC，∠BCD=90∘，
∴∠ADC=∠BCD=90∘．
∵AC⊥BD，
∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90∘．
∴∠ACD=∠CBD．
∴△ACD∽△DBC．
∴ADCD=CDBC，即 CD2=BC⋅AD．
（2） ∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBF．
∵∠BAF=∠DBF，
∴∠ADB=∠BAF．
∵∠ABG=∠DBA，
∴△ABG∽△DBA．
∴AGAD=ABBD．
∴AG2AD2=AB2BD2．
∵△ABG∽△DBA，
∴BGAB=ABBD．
∴AB2=BG⋅BD．
∴AG2AD2=AB2BD2=BG⋅BDBD2=BGBD．
20. （1） ∵ ∠C=90∘，∠BAP=90∘，
∴ ∠CBO+∠BOC=90∘，∠ABP+∠APB=90∘．
∵ ∠CBO=∠ABP，
∴ ∠BOC=∠APB．
∵ ∠BOC=∠AOP，
∴ ∠AOP=∠APB．
∴ AP=AO．
（2） 如图所示，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D．
∵ ∠CBO=∠ABP，
∴ CO=DO．
∵ AE=OC，
∴ AE=OD．
∵ ∠AOD+∠OAD=90∘，∠PAE+∠OAD=90∘，
∴ ∠AOD=∠PAE．
∴ △AOD≌△PAE．
∴ ∠AEP=∠ADO=90∘．
∴ PE⊥AO．
（3） 设 AE=OC=3k，则 AC=8k．
∴ OE=AC-AE-OC=2k．
∴ OA=OE+AE=5k．
∴ AP=AO=5k．
∵ ∠CBO=∠ABP，
∴ OD=OC=3k．
在 Rt△AOD 中，AD=AO2-OD2=5k2-3k2=4k．
∴ BD=AB-AD=10-4k．
∵ OD∥AP，
∴ ODAP=BDAB，即 3k5k=10-4k10，解得 k=1．
∵ AB=10，
∴ AD=4，BD=AB-AD=6，OD=3．
在 Rt△BDO 中，BO=BD2+OD2=35．
21. （1） ∵BK=52KC，
∴CKBK=25．
∵CD∥AB，
∴△KCD∽△KBA，
∴CDAB=CKBK=25．
（2） 当 BE 平分 ∠ABC，AE=12AD 时，AB=BC+CD．
证明：
取 BD 的中点 F，连接 EF 交 BC 于点 G．
∴EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴G 为 BC 的中点，∠GEB=∠EBA．
∵∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE．
∴EG=BG=12BC．
∵GF=12CD，EF=12AB，EF=EG+GF，
∴12AB=12BC+12CD．
∴AB=BC+CD．
当 AE=1nADn>2 时，BC+CD=n-1AB．