2023年江西省萍乡市安源中学中考模拟数学试题（含答案）

2023年初中学业水平考试模拟测试卷

数学

（满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.2的筫术平方根是（   ）

A.2 B. C. D.

2.据了解，“十四五”时期规划建设风光基地总装机约0.2吉瓦.已知1吉瓦兆瓦，1兆瓦千瓦，则0.2吉瓦用科学记数法可表示为（   ）

A.兆瓦 B.千瓦 C.兆瓦 D.千瓦

3.如图是由三个大小不同的正方体拼成的几何体，其主视图、左视图、俯视图的面积分别为，，，则，，的大小关系是（   ）

A. B. C. D.

4.为了弘扬中华民族传统文化，九年级（1）班12月份开展诵读经典名著活动.全班27名学生该月阅读经典名著数量的条形统计图如图所示，但被撕了一块儿.已知该月阅读经典名著数量的中位数是4本，则下列哪一选项中的人数是无法确定的？（    ）

A.3本以下 B.4本以下 C.5本以下 D.6本以下

5.有一种印度式乘法，如图（1）表示，其中12是沿左上到右下的方向，画两组线段依次表示被乘数从高位到低位的数字；31是沿左下到右上的方向，画两组线段依次表示乘数从高位到低位的数字；372是由从左往右数每一竖列上结点的个数连在一起得到的（若每一竖列上结点的个数大于10，则需往左进位），图（2）表示的算式为（    ）

A.  B.

C.  D.

6.马鸣和杨豪进行折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距离（单位：）与跑步时间（单位：）的对应关系如图所示.下列叙述正确的是（    ）

A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点

B.杨豪在跑最后的过程中，与马鸣相遇2次

C.马鸣跑全程的平均速度大于杨檺跑全程的平均速度

D.马鸣前跑过的路程大于杨豪前跑过的路程

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.______.

8.若多项式可因式分解为，则______.

9.一个多边形的内角和为1260°，这个多边形的边数是______.

10.若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为______.

11.如图，在平面直角坐标系中，，，，边的中点在轴上，将沿轴向右平移得到.若经过点，则点的坐标为______.

12.如图，是等边三角形，，是边上的高，点是射线上的动点，连接，交直线于点，当是等腰三角形时，的长为______.

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（本题共2小题，每小题3分）

（1）化简：.

（2）如图，四边形中，，平分，交于点.求证：四边形是菱形.

14.解不等式组：并在数轴上画出该不等式组的解集.

15.如图，点是中斜边的中点，以，为边作平行四边形.请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图.（保留作图痕迹，不写作法）

（1）在图（1）中，以为边作一个平行四边形（不含矩形）；

（2）在图（2）中，以为边作一个矩形.

16.某公司年终联欢会上有一个“答对有奖”游戏环节，规则如下：这一环节参与者最多可回答20道题，每答一题，主持人会立刻公布答题结果，参与者在答题过程中可以随时停止，不再回答剩余题目.若答对10道题，可获三等奖；若答对16道题，可获二等奖；若20道题全部答对，可获一等奖.小莉在参加这一游戏时，前16道题一共答对了14道，假设剩下的4道题小莉都不会，只能靠猜，而且每道题猜对与猜错的可能性相同.

（1）若小莉再回答2道题就停止答题，求她获得二等奖的概率；

（2）由于小莉已不可能获得一等奖，因此她决定能获得二等奖就不再回答剩余的题目，求小莉在回答完第19题后不再回答第20题的概率.

17.如图，正方形的顶点，在轴上，点，正方形的中心为点.点，，，分别在，，，边上，且四边形是正方形.已知反比例函数（）的图象经过点，.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求点的坐标.

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.“双减”政策下达之后，某市义务教育阶段学恔积极响应教育部号召，提供课后延时服务，并“因地制宜，各具特色”.某地教育局为了解该地中学课后延时服务的开展情况，从甲、乙两所中学中各随机抽取100名学生的家长进行问卷调查（每名学生对应一份问卷），将学生家长对延时服务的评分（单位：分）分为5组（.；.；.；.；.），并对数据进行整理、分析.部分信息如下.

b.乙中学延时服务得分情况频数分布表如上表（不完整）.

c.将乙中学在组的得分按从小到大的顺序排列，前10个数据如下：81，81，81，82，82，83，83，83，83，83，.

d.甲、乙两中学延时服务得分的中位数、众数如下表.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）______，______；

（2）已知乙中学共有3000名学生，若对延时服务的评分在80分以上（含80分）表示认为学校延时服务合格，请你估计乙中学有多少名学生的家长认为该校延时服务合格；

（3）小朋说：“乙中学的课后延时服务开展得比甲中学好.”你同意小明的说法吗？请写出一条理由.

19.如图（1）是的直径，且，点是半圆的中点，点是上一动点，将沿直线折叠交于点，连接，.

（1）求证：；

（2）当点与点重合时，如图（2），求的长.

20.某公司推出一款5G手机，每部手机的成本价为2500元，经试销发现，这款手机的日销售量（部）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，与的几组对应值如下表：

（1）求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）.

（2）请根据以上信息填空：

①表格中，______；

②当______时，日销售利润（元）最大，最大利闰是______元.

（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价）

（3）该公司决定从每天的销售利润中捐赠1000元给希望工程，为了保证捐赠后每天剩余的利润不低于20000元，求的取值范围.

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，.

（1）若支架，

①求的度数；

②求与水平底座之间的距离.（结果精确到）

（2）若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度.

（参考数据：，，，）

22.问题发现

（1）小明在解决问题：“如图（1），中，，为的中点，于点.求证：.”时，由为的中点联想到构造三角形的中位线.如图（2），取的中点，连接，，则是的中位线，则且，从而可得.要证，只需证即可.请你帮助小明完成证明过程.

深入探究

（2）如图（3），中，，，为的中点，平分，交的延长线于点，求的长.

拓展应用

（3）如图（4），中，，，将绕点逆时针旋转（）得到，连接，为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围.

六、（本大题共12分）

23.我们约定为二次函数（）的“相关数”.

特例感知

“相关数”为的二次函数的解析式为；

“相关数”为的二次函数的解析式为；

“相关数”为的二次函数的解析式为.

（1）下列结论正确的是______（填序号）.

①抛物线，，都经过点；

②抛物线，，与直线都有两个交点；

③抛物线，，有两个交点.

形成概念

把满足“相关数”为（为正整数）的抛物线称为“一簇抛物线”，分别记为，，，…，.抛物线与轴的交点为，.

探究问题

（2）①“一簇抛物线”，，，…，都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为______.

②抛物线的顶点为，是否存在正整数，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

③当时，抛物线与轴的左交点为，与直线的一个交点为，且点不在轴上.判断和是否相等，并说明理由.

试题答案解析

1-6 CDACBB

7.  8. 1  9. 9  10. 6  11.  12.，或

1.C  【解析】2的算术平方根是，故选C.

1.平方根：如果（），那么这个数就叫做的平方根，记作.

2.算术平方根：如果（，），那么这个非负数就叫做的算术平方根，记作.

2. D

3. A  【解析】设三个正方体的一个面的面积分别为，，（），则，，，，故选A.

4. C  【解析】阅读经典名著3本以下的人数为.中位数为4本，该班共有27人，将阅读经典名著的数量按从小到大的顺序排列后，第14个数据为4本，结合统计图可知阅读经典名著4本以下的人数为.阅读经典名著6本以下的人数为.阅读经典名著5本以下的人数无法确定，故选C.

5. B  本题以印度式乘法为背景，考查了考生理解、分析、解决问题的能力，核心素养主要表现为抽象能力、应用意识.

6. B  【解析】根据图象可以看出，两人同时出发，但杨豪先到达终点，故A错误.根据图象可知，杨豪第一次回到出发点后，马鸣还没回到，当杨豪再一次出发时（最后），从图象上可以看出，两人的对应图象上共有2个交点，即有2次相遇，故B正确.由题意可知两人跑步的总路程一样，但马鸣用的时间多，所以马鸣跑全程的平均速度比杨豪跑全程的平均速度小，故C错误.根据题意可知两人进行的是折返跑，第时，两人是在跑完后往回跑，且杨豪图象上对应的点在马鸣图象上对应的点的下方，因为纵轴表示的是两人距起跑线的距离，所以前，杨豪跑的路程大于马鸣跑的路程，故D错误.故选B.

7.-1

8. 1  【解析】，，，.

9. 9  【解析】设这个多边形的边数为，则，.

10. 6  【解析】方法一：，.令，则（点拨：换元法）.方程（）有一个根为，方程有一根为，有一根为，即.

方法二：关于的一元二次方程（）有一个根为，抛物线与轴的一个交点的横坐标为5（点拨：数形结合法）.，，方程的根为抛物线与轴的交点的横坐标.抛物线可由抛物线向右平移一个单位长度得到，抛物线与轴的一个交点的横坐标为.即方程必有一根为6.

11.  【解析】由平移知，点是的中点，点是的中点.又，，，，易知，，，，.又，（点拨：中点坐标公式）.由可知向右平移了3个单位长度，（点平移的坐标特征：“左减右加，上加下减”）.

12.，或  【解析】是等边三角形，，，，，.若是等腰三角形，则可分三种情况进行讨论（易错点）.①当时，如图（1），则，，为等边三角形，，为的中点，（点拨：等边三角形“三线合一”）.，.②当时，如图（2），则.过点作于点，，，，.，，，.③当时，如图（3），则，，.过点作交的延长线于点，则，，.，，，.

综上，当是等腰三角形时，的长为，或.

13.【参考答案及评分标准】

（1）原式  （1分）

  （2分）

.  （3分）

（2）证明：，，

四边形是平行四边形.  （1分）

平分，.

，，

，

四边形是菱形（点拨：有一组邻边相等的平行四边形是荾形）.  （3分）

14.【参考答案及评分标准】由，得，  （1分）

由，得.  （2分）

故原不等式组的解集为.  （4分）

该不等式组的解集在数轴上的表示如图所示.

 （6分）

15.【参考答案及评分标准】（1）如图（1），即为所求（点拨：直角三角形料边的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质）.（答案不唯一）  （3分）

（2）如图（2），矩形即为所求（点拨：三角形的三条中线相交于一点，中位线的性质）.（答案不唯一）  （6分）

16.【参考答案及评分标准】（1）根据题意画树状图如下：

由树状图可知，再回答2道题，共有4种等可能的结果，其中2道题都答对的结果有1种，故小莉再回答2道题，获得二等奖的概率是.  （3分）

（2）小莉在回答完第19题后不再回答第20题，说明她答对了第17，18题中的一道及第19题.根据题意画树状图如下：

由树状图可知，共有8种等可能的结果，其中小莉在回答完第19题后恰好获得二等奖的结果有2种，故所求概率.  （6分）

17.【参考答案及评分标准】（1），，

点为正方形的中心，

点到，的距离为4，

，

反比例函数的解析式为（）.  （3分）

（2）易知，，

.

由正方形的性质可知，，

，.

，，

点的横坐标为6.

设，将代入，

得，，

，，.

18.【参考答案及评分标准】（1）10  82.5

解法提示：甲中学延时服务的得分中在组的占，

.

将乙中学延时服务的得分按从小到大的顺序排列后，中间的两个数是82，83，

故中位数是，即.

（2）（名）.

答：估计乙中学有1650名学生的家长认为该校延时服务合格.  （6分）

（3）同意.  （7分）

理由：乙中学延时服务得分的中位数、众数均比甲中学高.（理由不唯一，合理即可）  （8分）

19.【参考答案及评分标准】（1）证明：如图，作点关于的对称点，连接，，，.由折叠的性质可知，.

又，，

，，

.  （4分）

（2）由（1）知.

又，是等边三角形，

.

所对圆心角为60°，

的长为.  （8分）.

20.【参考答案及评分标准】（1）设关于的函数解析式为，

将，分别代入，

得，解得

故.  （2分）

（2）①20  （3分）

②3000  25000  （5分）

解法提示：，

故当时，最大，最大值为25000.

（3）令，得，

解得或3200.

又函数的图象开口向下，

故当捐赠后每天剩余的利润不低于20000元时，的取值范围为.  （8分）

21.【参考答案及评分标准】（1）①如图（1），过点作，

交的延长线于点，交于点.

，.

，，

.

，.

，，

，

.  （2分）

②，，.

如图（1），过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形，

，.

，

.  （3分）

，

  （4分）

，，，

.  （5分）

答：与水平底座之间的距离约为.  （6分）

（2）由（1）②可知当时，与水平底座之间的距离约为，

若使与水平底座之间的距离为，则需将支架绕点逆时针旋转.

设需要将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点为，如图（2）.

，

旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了（关键点）.（7分）

过点作，垂足为，过点作于点.

结合（1）②可知.

，

，

，  （8分）

将支架绕点逆时针旋转10.5°，与水平底座之间的距离为.  （9分）

22.【参考答案及评分标准】（1）证明：取的中点，连接，.

是的中点，是的中位线，

且，

，.

，.

，为的中点，

（点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

.

，，

.

，

.  （3分）

（2）方法一：如图（1），取的中点，连接，.

，，.

平分，，

，.

为的中点，为的中点，且，

，，三点共线，

.  （6分）

方法二：如图（2），延长，交于点.

，平分，，.

，.

为的中点，，

.  （6分）

（3）  （9分）

解法提示：如图（3），易知点在以为圆心，为半径的圆上运动.取的中点，连接，.

，，

，.

由旋转的性质可得.

为的中点，为的中点，.

在中，（点拨：三角形三边之间的关系），

.

当在上时，最小，为；当在的延长线上时，最大，为，

.

23.【素养落地】  本题以二次函数的新定义为背景，考查二次函数的图象与性质及考生的阅读理解能力，核心素养主要表现为抽象能力、推理能力、运算能力.

【参考答素及评分标准】（1）①②③  （3分）

解法提示：

方法一（代数法）：①当时，，故①正确.

②令，解得或；

令，解得或；

令，解得或.故②正确.

③当时，，解得或；

当时，，解得或；

当时，，解得或.

故抛物线，，相交，且交点为点和点，故③正确.

方法二（数形结合法）：利用描点法画出二次函数，，的大致图象，如图所示，由图可知①②③中的结论均正确.

（2）①和  （5分）

解法提示：抛物线的“相关数”为，

抛物线的解析式为，

，

令，

化简得，解得，，

当时，；当时，，

这两个定点的坐标分别为和.

②存在.

抛物线与轴有两个不同的交点，

，即，

.

令，则，解得，，

.

由抛物线的顶点坐标公式可得

（点拨：拋物线的顶点坐标为，

过点作轴于点，则.

由抛物线的对称性易得.

为直角三角形，，

，即（点拨：等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半），

当时，，则，

解得，（舍去）.

当时，，则，解得（舍去），.

或5.  （8分）

③相等.

理由：当，由②易得的坐标为，

，.

令，解得或，

，，

，.