2023届高考数学二轮复习专题五导数及其应用综合练习（A卷）含答案

2023届新高考数学高频考点专项练习：

专题五导数及其应用综合练习（A卷）

1.已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是(   )

A.  B.

C.  D.

2.函数在区间上的平均变化率是(   )

A. B. C. D.

3.函数的极值点的个数为(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

4.已知函数的图象在处的切线的斜率等于e，且，则(   )

A. B. C. D.

5.某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕(   )

A.6万斤 B.8万斤 C.3万斤 D.5万斤

6.已知函数（，e为自然对数的底数）的图象与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7.已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8.(多选)定义在区间上的函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是(   )

A.函数在区间上单调递增

B.函数在区间上单调递减

C.函数在处取得极大值

D.函数在处取得极小值

9.(多选)已知函数，则(   )

A.在上单调递增

B.有两个零点

C.曲线在点处切线的斜率为

D.是偶函数

10.(多选)已知函数，则(   )

A.当时，恒成立

B.当时，是的极值点

C.若有两个不同的零点，则a的取值范围是

D.当时，只有一个零点

11.曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________________.

12.已知函数的定义域为，则函数的值域是__________.

13.已知函数，若函数在区间上的图象恒在直线的下方，则实数a的取值范围是____________.

14.已知函数有2个不同零点(其中e是自然对数的底数)，则m的取值范围是___________.

15.已知函数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）若，当时，恒成立，求m的取值范围.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题得，则的最小值.，，函数在处的切线方程是，即，故选B.

2.答案：B

解析：，函数在区间上的平均变化率是，故选B.

3.答案：A

解析：由题意知，令，则，令，得，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，由此可知，所以函数不存在极值点，故选A.

4.答案：A

解析：由题意得，，由题意得，所以，所以.

解法一所以，，所以.

解法二，，所以，又，所以.

5.答案：A

解析：设销售的利润为，则，即，当时，，解得，故，则，可得函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，利润最大.

6.答案：B

解析：由条件知，方程，即在上有解.设，则.因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，所以方程在上有解等价于，所以a的取值范围为，故选B.

7.答案：D

解析：因为函数与的图象关于直线对称，，

所以，所以，则.

当时，，是上的增函数.

因为，所以，

函数在上有唯一零点，不符合题意；

当时，有唯一零点，不符合题意；

当时，令，得，在上，，函数是增函数；

在上，，函数是减函数，故在上有极大值为.

若无零点，则，解得，

故实数k的取值范围是，故选D.

8.答案：ABD

解析：根据导函数的图像可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极小值，没有极大值.所以选项A，B，D正确，选项C错误.

9.答案：AC

解析：由知函数的定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，D错误；，当时，恒成立，所以在上单调递增，故A正确；当时，，，当时，单调递增，且，所以只有一个零点0，故B错误；由知C正确，故选AC.

10.答案：BD

解析：当时，，易知，所以选项A错误；

当时，，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以是的极值点，选项B正确；函数有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不相等的实数根，易知，所以，即直线与函数的图象有两个不同的交点，

，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，又，，，，所以，选项C错误；当时，结合选项C可知，此时函数只有一个零点，选项D正确.故选BD.

11.答案：

解析：设切点为，对求导得，则曲线的切线的斜率为，解得.所以，则切点为，切线方程为，即.

12.答案：

解析：由题意，，则，易知在上是减函数，在上是增函数，，则的值域为.，令，则，的值域是.

13.答案：

解析：由题意知，对于任意，，即在上恒成立.设，，则的最大值小于0，.

①当时，，在上单调递减，，即，.

②当时，，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.

③当时，易知在上单调递减，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.

综上，实数a的取值范围是.

14.答案：

解析：设

则函数有2个不同零点，即函数与有2个不同交点.

当时，，

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，作出函数的大致图象如图所示，

根据图象可知，实数m的取值范围是.

15.答案：（1）

（2）

解析：（1）当时，，，

所以，，

故在处的切线方程为，即.

（2）令，，

.

若，则.当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

若，令，解得，.

当时，，则在，上单调递增，在上单调递减；

当时，，则在R上单调递增；

当时，，则在，上单调递增，在上单调递减.

由，得.

①若，在的最小值为，

而，

所以当时，恒成立.

②若，在单调递增，

而，所以当时，恒成立.

③若，则，

所以当时，不可能恒成立.

综上所述，m的取值范围为.