2022-2023学年陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．函数从到的平均变化率为（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据平均变化率的定义求解出从到的平均变化率.

【详解】因为平均变化率.

故选：B.

2．下列各式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则求解即可判断.

【详解】，∴A错误；

，∴B错误；

，∴C错误；

，∴D正确．

故选：D.

3．下列推理是归纳推理的是（    ）

A．A，B为定点，动点P满足，得P的轨迹为椭圆

B．由，，求出，，，猜想出数列的前n项和的表达式

C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

【答案】B

【分析】根据归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和特点，分析即可得到答案．

【详解】由题意，A中，由一般到特殊的推理形式，所以是演绎推理；

B中，由特殊到一般的推理形式，所以是归纳推理；

C中，由特殊到特殊的推理形式，所以是类比推理；

D中，由特殊到特殊的推理，所以是类比推理，

综上可知，归纳推理的只有B，故选B．

【点睛】本题主要考查了归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和推理形式，其中解答中熟记各种推理的定义和推理形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

4．已知某质点的运动方程为，其中的单位是m，的单位是s，则该质点在2s末的瞬时速度为（    ）

A．7m/s B．8m/s C．9m/s D．10m/s

【答案】A

【分析】利用导数的定义求出，即可求得该质点在2s末的瞬时速度.

【详解】，∴该质点在2s末时的瞬时速度为7m/s．

故选：A

5．如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出结果.

【详解】图中围成封闭图形（阴影部分）的面积.

故选：C.

6．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数定义可知，由导数的几何意义知切线斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得结果.

【详解】，

曲线在点处的切线的斜率，倾斜角为.

故选：C.

7．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对函数求导，将问题转化为在上恒成立，结合函数的单调性，计算即可得出结果.

【详解】由题意得，的定义域为，，

因为在上单调递增，

所以在上恒成立，

即，又函数在上单调递减，

所以.

故选：A

8．在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步应验证等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】数学归纳法第一步应验证n最小时，命题是否成立.

【详解】多边形的边数最少是3，即三角形，所以第一步应验证等于3.

故选：C.

【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤，考查学生对数学归纳法的理解，是一道容易题.

9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．函数在上是增函数

B．是函数的极小值点

C．

D．

【答案】D

【解析】由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C.

【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误；

函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；

由图可知，，故C错误；

函数在上单调递增，则，故D正确；

故选：D

10．函数的导函数为，则函数有（　　）

A．最小值 B．最小值

C．极大值 D．极大值

【答案】C

【分析】根据导函数求出函数的单调区间，根据极值的定义即可得出结果.

【详解】由，

令，解得，即函数的单调递增区间为；

令，解得或；

令，解得或，

即函数的单调递减区间为，，

所以函数的极大值.

故选：C

11．函数在定义域内的图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）

A．和 B．和

C．和 D．和和

【答案】A

【分析】，即函数单调递减，直接根据图像得到答案.

【详解】，即函数单调递减，根据图像知，.

故选：A

12．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.

【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，

当时，左边，

所以从到，等式左边需增添的项是.

故选：C.

二、填空题

13．已知函数，则的极小值点为______．

【答案】

【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值点.

【详解】，则.

当时，；当时，.

所以，函数的极小值点为.

故答案为：.

14．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．

【答案】

【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．

【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，

对于第二个不等式，，则有，

对于第三个不等式，，则有，

依此类推：

第个不等式为：，

故答案为．

【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．

15．若函数存在极值点，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】求导得到，有解得到，排除和得到答案.

【详解】，，则，

有极值点，则有解，则，

解得或，

当时，，函数单调递增，不满足；

当时，，函数单调递增，不满足；

综上所述：.

故答案为：

16．已知函数，若函数的递减区间是，则实数a的值是__________.

【答案】

【分析】由函数的递减区间是，得到，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

因为函数的递减区间是，可得，

即，是方程的两个实数根，

由根与系数的关系，可得，解得.

故答案为：.

三、解答题

17．（1）已知，证明；若，则中至少有一个小于；

（2）利用积分的几何意义求值（画出图）.

【答案】（1）证明见解析；（2），图像见解析

【分析】（1）假设中没有数小于，得到，得到矛盾，假设不成立，得到证明.

（2）画出图像，根据积分的几何意义，计算三角形面积得到答案.

【详解】（1）假设中没有数小于，即，，，

则，这与题设矛盾，故假设不成立，

即中至少有一个小于；

（2）设，则，，，

画出函数图像，则，，，，如图所示：

.

18．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）求函数的极值；(要列表).

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.

【分析】（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.

【详解】（1），，

设可得或.

①当时，或；

②当时，，

所以的单调增区间为，单调减区间为：.

（2）由（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表：

当时，有极大值，并且极大值为

当时，有极小值，并且极小值为.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.

19．已知函数的极大值为2.

（1）求a的值和的极小值；

（2）求在处的切线方程.

【答案】（1），极小值为；（2）.

【解析】（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出，即可得出极小值；

（2）根据（1）的结果，先得到，，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.

【详解】（1）由得，

令或，令，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

故在处取极大值，即.

则在处取得极小值；

（2）由（1）知，故，

由导数的几何意义可得，在处的切线斜率为.

故其切线方程为：，即.

【点睛】思路点睛：

导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：

（1）对函数求导；

（2）解导函数对应的不等式，得出单调区间；

（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.

20．如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设.

（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；

（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.

【答案】（1），；（2）当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.

【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.

（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.

【详解】长方体盒子长，宽，高.

（1）长方体盒子体积，

由得，故定义域为.

（2）由（1）可知长方体盒子体积

则，在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；

令，解得，故体积V在该区间单调递减；

∴在取得极大值也是最大值.此时.

故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.

【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.

21．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.

（1）求a，b的值

（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.

【答案】（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝

【分析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，

（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.

【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，

由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，

则，

解可得a，b＝-1，

（2）由（1），

易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，

又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），

所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.

【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题