2022-2023学年吉林省长春市十一高中高二下学期第一学程考试数学试题含解析

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2022-2023学年吉林省长春市十一高中高二下学期第一学程考试数学试题 一、单选题1．已知，，则（   ）A．  B．  C．  D． 【答案】C【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.【详解】因为，，所以.故选：C2．函数在点处的切线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的值，结合导数的几何意义可得出切线的倾斜角.【详解】因为，则，所以，，设函数在点处的切线的倾斜角为，则且，故.故选：D.3．已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用全概率公式可求得所求事件的概率.【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件，买到的灯泡是乙厂产品为事件，则，，记事件从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，所以，.故选：B.4．已知随机变量服从正态分布，则与的值分别为（    ）A．13  18 B．13   6 C．7   18 D．7    6【答案】C【分析】根据正态分布中的参数含义，结合均值和方差的性质即可求解.【详解】由随机变量服从正态分布可知,所以故选:C5．已知随机变量的分布列如下表所示，若，则（    ）123 A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据分布列的性质以及，列出方程，解得m,n，根据离散型随机变量的方差公式计算，即可得答案.【详解】由题意可得 ，由得： ，两式联立解得 ，故，故选:A6．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内．已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%．现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（    ）A．0.001 B．0.003 C．0.005 D．0.007【答案】A【分析】利用条件概率公式计算即可.【详解】设从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则 .故选：A.7．长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是，夏季来的概率是，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择两处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据古典概型分别求出冬季去了“一眼望三国”和夏季去了“一眼望三国”的概率，再结合全概率公式即可求解.【详解】设事件“冬季去吉林旅游”，事件“夏季去吉林旅游”，事件“去了一眼望三国”，则，，在冬季去了“一眼望三国”的概率，在夏季去了“一眼望三国”的概率，所以去了“一眼望三国”的概率，故选：C.8．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路､计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（    ）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根据二项分布求期望.【详解】由题意，，故，故选:C. 二、多选题9．已知关于变量x，y的4组数据如表所示：x681012ya1064根据表中数据计算得到x，y之间的线性回归方程为，x，y之间的相关系数为r（参考公式：），则（    ）A． B．变量x，y正相关 C． D．【答案】AC【分析】根据回归直线必过点解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知选项B错误；利用相关系数求出，所以选项C正确，选项D错误.【详解】回归直线必过点，，，解得，所以选项A正确；由回归方程和表格可知，变量x，y负相关，所以选项B错误；，所以选项C正确，选项D错误.故选：AC10．甲箱中有4个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）A．事件与事件（）相互独立B．C．D．【答案】BD【分析】根据题意，由条件概率公式以及乘法公式，全概率公式分别代入计算，即可得到结果.【详解】，，先发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，先发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，，先发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，，，B对，，，，C错，，A错，，D对．故选:BD.11．昆明市第三中学在课外活动中新增了攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积图，则（       ）                    参考公式及数据其中a0.100.050.0100.001xa2.7063.8416.63510.828 A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C．若参与调查的男、女生人数均为100，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关D．无论参与调查的男、女生人数为多少，依据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关【答案】AC【分析】AB选项，列出列联表判断；C选项，求得的值，由时判断；D选项，由和有关判断.【详解】由题意，设参加调查的男、女生人数均为m人，则关于对攀岩的喜好和性别的抽样数据的列联表如下：单位：人性别攀岩合计喜欢不喜欢男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，A正确，B错误；，当时，，所以当参与调查的男、女生人数均为100时，根据的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关，C正确，和有关，当时，，所以D错误．故选：AC12．假设某厂有两条包装食盐的生产线甲､乙，生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐质量服从正态分布（单位：），生产线乙正常情况下生产出来包装食盐质量为，随机变量服从正态密度函数，其中，则（    ）附：随机变量，则，A．正常情况下，从生产线甲任意抽取一包食盐，质量小于的概率为B．生产线乙的食盐质量C．曲线的峰值为D．生产线甲上的检测员某天随机抽取两包食盐，称得其质量均大于，于是判断出该生产线出现异常，则该判断是合理的.【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质计算判断AD；利用正态密度函数的意义、性质判断BC作答.【详解】对于A，设生产线甲正常情况下生产出来的包装食盐的质量为，则，其中，则，A正确；对于B，随机变量服从正态密度函数，有，因此生产线乙的食盐质量，B错误；对于C，因为，当且仅当时取等号，因此当时，，C正确；对于D，，说明生产线甲抽到质量大于的可能性很低，则随机抽取两包质量均大于，说明判断出该生产线出现异常是合理的，D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知的取值如下表：123432487288根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________.【答案】/【分析】利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答.【详解】关于的回归直线方程为，当时，，所以表中第2个记录数据的残差.故答案为：14．已知函数，则__________.【答案】/【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求解作答.【详解】函数，求导得：，所以.故答案为：15．一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的方差为__________.【答案】96【分析】这个学生选对选择题个数服从二项分布，再利用二项分布方差公式及方差的性质计算作答.【详解】这个学生在这一次测验中选对选择题的个数为随机变量，依题意，，因此，这个学生在这一次测验中的成绩为随机变量，显然，所以这个学生在这一次测验中的成绩的方差.故答案为：9616．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按人一组分组，然后将各组个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时的值为______．参考数据：，，，，，，，，．【答案】4【分析】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则.依次求出、、，则当最小时，检测次数最少，最后研究的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X，若混合为阴性，则；若混合为阳性，则.则，，，故当最小时，检测次数最少. 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.故当时，最小.故答案为：4 四、解答题17．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，白粽8个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列详见解析，数学期望为 【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案.（2）根据超几何分布的知识求得的分布列并求得数学期望.【详解】（1）依题意，既有豆沙粽又有白粽的概率为.（2）的可能取值为，则，，，所以的分布列如下：所以.18．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：其中令，.根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；参考数据和公式：，附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】(1)更适合；(2)，预测当观看人次为万人时的销售量约为件. 【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型；（2）令，则，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得、的值，进而可得出关于的回归方程，将代入回归方程可得出销售量.【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合.（2）解：令，则，因为，，所以，又因为，，所以，所以与的线性回归方程为，故关于的回归方程为.令，代入回归方程可得（千件）所以预测观看人次为万人时的销售量约为件.19．已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设＝，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“”计算判断求出通项公式作答 .（2）由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减法求和作答.【详解】（1）当时，，得，当时，由＝－，得，于是，即， 因此数列是以2为公比，3为首项的等比数列，所以.（2）由（1）得，则，，于是，两式相减得：，所以.20．某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机调查了100名学生一个月（30天）完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：天数[0，5]（5，10]（10，15]（15，20]（20，25]（25，30]人数4153331116(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布，其中μ近似为样本的平均数（每组数据取区间的中间值），且，若全校有3000名学生，求参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数（精确到1）；(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，天数在[0，15]的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时”活动超过15天的学生授予“运动达人”称号.请填写下面列联表：性别活动天数合计[0，15]（15，30]男生   女生   合计   并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有关联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.附：参考数据：；；.α0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)476人(2)答案见解析 【分析】（1）利用频数分布表，求得样本的平均数，从而写出X近似服从正态分布，利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数；（2）根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与获得“运动达人”称号是否有关联和它们之间如何相互影响.【详解】（1）由频数分布表知，则，，，，参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数约为476人.（2）由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为：，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有20名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：由频数分布表知，锻炼活动的天数在的人数为，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在（15，30]的学生中有30名男生，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在[0，15]的学生中有女生人数：列联表如下：性别活动天数合计男生203050女生321850合计5248100零假设为：学生性别与获得“运动达人”称号无关依据的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关；而且此推断犯错误的概率不大于，根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超过15天的频率分别为：和，可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的称号频率的倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可以认为男生获得“运动达人”的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.21．红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为.(1)求的分布列和数学期望；(2)若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率.【答案】(1)分布列见解析，数学期望为(2) 【分析】（1）分析骰子向上的面是1或6的各种情况，列出的可能取值及其对应概率即可作出分布列，再按照数学期望的方法计算即可.（2）由（1）知游戏小组一局游戏得分的概率，继而可得符合情况的概率.【详解】（1）由条件可知：当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为，向上的面不是1或6的概率为.∴，，，. ∴的分布列为03060的数学期望为.（2）由（1）可知，游戏小组一局游戏. 记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件.则.故答案为：22．已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，．①求证：为定值；②求证：直线恒过定点．【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）先求出抛物线的焦点坐标，进而得到，可得，从而求解；（2）①设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，结合可得，进而求证；②设直线方程为，，，联立方程组，结合韦达定理可得，，再结合即可得证.【详解】（1）易知直线与x轴交于，即焦点坐标为，所以，，则抛物线方程为．（2）①设直线方程为，，，联立方程组，得，所以，又，所以，即，则．②设直线方程为，，联立方程组，得，所以，，．整理得，，所以直线过定点．