广东省汕头市金山中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

广东省汕头市金山中学 级高一第二学期期中考试

数学科试卷

命题人：欧钟湖 审核人：张海兵

一. 选择题: 共 小题, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1. 已知 为实数, 且 ( 为虚数单位), 则

A.           B.           C.           D.

2. 已知集合 , 则

A.           B.           C.          D.

3. 已知函数 在区间 上单调递增, 则实数 的取值范围是

A.          B.           C.          D.

4. 在 中, , 则 的值等于

A.          B.           C.           D.

5. 已知空间中不过同一点的三条直线 . 则 “ 共面” 是 “ 两两相交” 的 (   )

A. 充分不必要条件          B. 必要不充分条件          C. 充分必要条件          D. 既不充分也不必要条件

6. 为了测量河对岸两点 间的距离, 现在沿岸相距 的两点 处分别测得 , 则 , 间的距离为 (    )

A.           B.           C.           D.

7. 设 , 则

的大小关系是

A.           B.           C.           D.

8. 如图, 在 中, 分别是 的中点, 是线段 上两个动点, 且

, 则 的最小值为

A.           B.           C.           D.

二. 多选题:共 小题, 共 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的

得 分, 部分选对的得 分, 有选错的得 分.

9. 在复平面内, 下列说法正确的是 )

A. 若复数 ( 为虚数单位), 则

B. 若复数 满足 , 则

C. 若复数 , 则 为纯虚数的充要条件是

D. 若复数 满足 , 则复数 对应点的集合是以原点 为圆心, 以1为半径的圆

10. 等腰直角三角形直角边长为 , 现将该三角形绕其某一边旋转一周, 则所形成的几何体的表面

积可以为(    )

A.           B.           C.           D.

11. 的内角 的对边分别为 , 则下列说法正确的是    )

A. 若 , 则

B. 若 , 则 是针角三角形

C. 若 , 则符合条件的 有两个

D. 若 , 则角 的大小为

12. 关于函数 , 下列说法正确的有

A. 函数 是周期为 的周期函数

B.

C. 不等式 的解集是

D. 若存在实数 满足 , 则 的取值范围是

三. 填空题: 共 小题, 共 分.

13. 已知向量 , 若 与 共线, 则实数                     .

14. 已知三棱雉 所有顶点均在球 的球面上, 且 两两垂直, ,

则球 的体积为                    .

15. 已知圆台的上底半径为 , 下底半径为 , 圆台的高为 , 则圆台的侧面积为                    .

16. 已知锐角 的内角 所对的边分别为 , 若 , 则 的取值范围

为                    .

四. 解答题: 共 小题, 题 分, 其它每题 , 共 分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17. 在(1) , (2) 这两个条件中任选一个,

补充在下列问题中, 并解答.

已知 的角 对边分别为 , 而且                    .

(1)求 ;

(2)求三角形 面积的最大值.

18. 如图, 在正三棱柱 中, , 点 为 的中点.

(1)求证: 平面 .

(2) 求三棱雉 的体积.

19. 已知函数 .

(1) 求函数 的单调减区间;

(2)将函数 的图象向左平移 个单位, 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍,

纵坐标不变, 得到函数 的图象, 求 在 上的值域.

20. 已知函数 .

(1)若 对任意的 恒成立, 求实数 的取值范围;

(2)若 在 上单调递减, 求实数 的取值范围;

(3) 解不等式 .

21. 随着二胎开放, 儿童数量渐增, 某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园, 如图所示: 在直径为 的半圆 空地上, 设置扇形区域OMB作为大人休息区, 规划两个三角形区域做成小喷泉区( 区域)和沙坑滑梯区( 区域), 其中 为直径 延长线上一点, 且 为半圆周上一动点, 以 为边作等边 .

(1) 若等边 的边长为 , 试写出 关于 的函数关系式;

(2)问 为多少时, 儿童游玩区 的面积最大? 这个最大面积为多少?

22. 已知二次函数

(1)若函数在区间 上存在零点, 求实数 的取值范围;

(2) 问: 是否存在常数 , 当 时, 的值域为区间 , 且 的长度为 . (注:

区间 的长度为 )

2021级高一第二学期期中考试参考答案

BCCA   BBDB  AD  AB  ABD   BCD

1         

8.如图，在中，，分别是，的中点，，是线段上两个动点，且，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

解：由，，三点共线，，，三点共线可得，
存在实数，，，，使得
，，
，，
由，，，共线，，，
，
可得，，
所以，即，
点，是线段上两个动点，，，
那么，
当且仅当时取等号，则的最小值为．

故选：．

12.关于函数，下列说法正确的有

A. 函数是周期为的周期函数          B.
C. 不等式的解集是
D. 若存在实数满足，则的取值范围是

解：函数，
作出图象如图所示，

根据的图象可知，函数不是周期函数，故选项A错误；
，故选项B正确；
当时，若，则，即，解得或，
当时，若，则，即，解得，
结合的图象可得，不等式的解集是，故选项C正确；
设存在实数满足，
则函数与的图象有三个不同的交点，
其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，
故的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
当时，的值为，当时，的值为，
故的取值范围为，故选项D正确．    故选：．

16.已知锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为          ．

解：由题意可得，，且由余弦定理可得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为，
又因为为锐角三角形，所以，即
结合可得，解得，
所以
设，，
根据对勾函数的性质可得，当，有最大值，
综上所述，的取值范围为  ，

故答案为  ．

17.在，这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知的角，，对边分别为，，，，而且________．

求；求三角形面积的最大值．

解：选因为，
所以，
因为，
所以，
即，
又因为，所以，
所以，
；
选，中，角，，的对边分别是，，，
，
由正弦定理得，
即，
，
由，
；
由知，，
在三角形中，由余弦定理得
即≥，当且仅当=时等号成立．
 

面积的最大值为．

18.如图，在正三棱柱中，，，点为的中点．

求证：平面．

求三棱锥的体积．

证明：连接交于点，连接，
三棱柱中，侧面是平行四边形，
是中点，
是中点，
，
又平面，平面，
平面D.
是等边三角形，边长为，
，
．
，
则三棱锥的体积．

19.已知函数．

求函数的单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

解：函数
，
当，
解得：，
因此，函数的单调减区间为；
将函数的图象向左平移个单位，
得的图象，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
，
，
故的值域为．

20.已知函数，．

若对任意的恒成立，求实数的取值范围；

若在上单调递减，求实数的取值范围；

解不等式．

解：因为对任意的恒成立，

则判别式，即

所以．

因为函数的图象为开口向上的抛物线，

其对称轴为直线，

因为在上单调递减，所以，

所以

由得：，

由得或2

当时，不等式的解集是

当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是．

综上，当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是；

当时，不等式的解集是

21.随着二胎开放，儿童数量渐增，某市决定充分利用城市空间修建口袋儿童乐园，如图所示：在直径为的半圆空地上，设置扇形区域作为大人休息区，规划两个三角形区域做成小喷泉区区域和沙坑滑梯区区域，其中为直径延长线上一点，且，为半圆周上一动点，以为边作等边．
若等边的边长为，，试写出关于的函数关系式；
问为多少时，儿童游玩区的面积最大？这个最大面积为多少？

解：在中，，，，，
所以，
则，；
因为，
，
所以，
因为，
所以，
故当，即时，取得最大值为．
所以当为时，儿童游玩区的面积最大为．

22.已知二次函数：
若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为．

解：二次函数的对称轴是，
函数在区间上单调递减，
要使函数在区间上存在零点，须满足，
即，
解得，
所以使函数在区间上存在零点的实数的取值范围是．
当时，即时，的值域为：，
即，
，
，，
经检验不合题意，舍去，故，
当时，即时，的值域为：，
即，
，
，舍去，
当时，的值域为：，
即，
，
，或，
经检验或满足题意，
所以存在或或，的值域为区间，且的长度为