2023届广西壮族自治区南宁市第三中学高三模拟数学（理）试题（一）含解析

2023届广西壮族自治区南宁市第三中学高三模拟数学（理）试题（一）

一、单选题

1．设集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求出集合，再利用并集的运算即可求解.

【详解】集合，

又因为集合，由交集的定义可得，

，

故选：C.

2． 是虚数单位，已知与互为共轭复数，则（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】计算出的代数形式，然后根据共轭复数概念求解即可.

【详解】，

与互为共轭复数，

，

.

故选：D.

3．已知向量， ，若，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，则，可求得，然后利用诱导公式求解即可.

【详解】因为，

所以，

即，则，

所以.

故选：B.

4．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是（    ）

A． B． C．16 D．8

【答案】B

【分析】根据斜二测画法规则求出，判断的形状，确定，由此求出原四边形的面积.

【详解】在正方形中可得，

由斜二测画法可知，，

且，，

所以四边形为平行四边形，

所以．

故选：B.

5．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（    ）不同的排列

A．36 B．54 C．60 D．72

【答案】B

【分析】利用特殊元素特殊位置优先考虑，结合分步乘法计数原理即可求解.

【详解】分三步完成：冠军有种可能，乙的名次有种可能，余下人有种可能，所以5人的名次排列有种不同情况.

故选：B.

6．已知实数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由均值定理即可求得的最小值.

【详解】，

当且仅当时等号成立，

所以的最小值为.

故选：A.

7．设x，y满足约束条件则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先作出可行域，把看作与连线的斜率，结合图形可求答案.

【详解】画出可行域如图，表示可行域内的点与连线的斜率，

由图知，直线的斜率最大，直线的斜率最小；

由可得；由可得；

所以的取值范围为．

故选：D.

8．设函数，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论．

【详解】解函数，

当时，由和在定义域上单调递减，

所以在上单调递减，

当时，单调递减，

又因为，

函数在上单调递减，

，，，

.

故选：D．

9．在锐角△中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由正弦边角关系、三角恒等变换及三角形内角性质可得，进而有，再把化为并确定的范围，应用余弦函数性质求范围即可.

【详解】由，则，

所以，

则，

所以或（舍），故，

综上，，且

所以，

，

由锐角△，则，可得，则，

所以，故.

故选：A

【点睛】关键点点睛：将条件由边化角求角的关系，即，再把目标式，由边化角得求范围.

10．设，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是（    ）

A．对任意正实数，

B．对任意正实数，

C．

D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性即可求解.

【详解】依题意，由图可得，

对任意正实数，，

因为，

所以，故A错误，B正确；

，故C错误；

因为，所以，故D错误；

故选：B.

11．已知四棱锥的底面是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出辅助线，求出平面外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的体积.

【详解】如图，在矩形中，连接对角线，记，则点为矩形的外接圆圆心，

取的中点，连接，记的外接圆圆心为，易知，且共线.

因为，平面，所以平面，

所以平面，平面，，，平面，

所以平面，所以，所以，易得，

所以由正弦定理得的外接圆半径为，即.

过作平面，且，连接，由平面，

可知，则四边形为矩形，所以，则平面.

根据球的性质，可得点为四棱锥的外接球的球心.

因为，所以四棱锥的外接球的体积为.

故选：B

12．已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.

【详解】如图，设，点共线，点共线，所在直线的斜率分别为，

点在双曲线上，即，有，因此，

点在椭圆上，即，有，直线的斜率，有，

即，于是，即直线与关于轴对称，

又椭圆也关于轴对称，且过焦点，则轴，令，由得，

显然，，

，

解得，所以双曲线的离心率.

故选：D

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；

齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；

特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、填空题

13．的二项式展开中，系数最大的项为______．

【答案】

【分析】根据二项式展开式中系数的性质即可求解.

【详解】由题意知：的二项式展开中，各项的系数和二项式系数相等，

因为展开式的通项为，所以时，系数最大，该项为，

故答案为：.

14．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若为该抛物线上一点，为圆上一点，则的最小值为__________.

【答案】/

【分析】利用直线的点斜式方程写出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.

【详解】由题可知直线的方程为，设，则

由,消去，整理得，，

所以，

所以，解得，

所以，而圆的圆心,

因为，

当且仅当点在同一条直线上取等号，且点位于点之间，如图所示：

又，

所以的最小值为.

故答案为：.

15．若过点有条直线与函数的图象相切，则当取最大值时，的取值范围为__________.

【答案】

【分析】设过点的直线与的图象的切点为，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，可得，则方程解的个数即为切线的条数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解.

【详解】设过点的直线与的图象的切点为，

因为，

所以切线的斜率为，

所以切线的方程为，

将代入得，

即，

设，则，

由，得或，

当或时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增，

所以，

又0，所以恒成立，

所以的图象大致如图所示，

由图可知，方程最多个解，

即过点的切线最多有条，

即的最大值为3，此时.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

16．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为_____________．

【答案】

【分析】令，问题化为与在上有两个交点，且互为反函数，则它们有交点的临界情况为与相切，设切点，利用导数几何意义求切点坐标，进而确定临界情况下值，即可得范围.

【详解】由题设，令，则与在上有两个交点，

则、交点都在上，它们互为反函数，

设、与相切，，，若切点为，

所以，可得，此时，

综上，、之间，在时有两个交点，在时有一个交点，在时无交点，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前项和为，且．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用数列的递推关系式求出数列的通项公式.

（2）利用错位相减法求出数列的和，根据不等式的性质可证明.

【详解】（1）当时，，解得；

当时，，两式相减得；

所以是，的等比数列，

故．

（2）证明：因为，

所以①

，②

①-②得

所以．因为，所以．

18．为了迎接4月23日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

(1)求a的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；

(2)若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

①若我市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）；

②若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列､均值．

附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，．

【答案】(1)；

(2)① ；②分布列见解析；期望为

【分析】（1）由频率分布直方图的性质求，根据样本频率分布直方图确定获奖人数，再求得从该样本中随机抽取的两名学生的竞赛成绩基本事件总数，与“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”情况数，利用古典概型计算概率即可；

（2）由样本频率分布直方图得，求解样本平均数的估计值，即可得正态分布的均值，按照正态分布的性质求解参赛学生中成绩超过79分的学生数；由样本估计总体可知随机变量服从二项分布，根据二项分布确定概率分布列与数学期望即可.

【详解】（1）由频率分布直方图性质可得：

所以，，

由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，

获二等奖的有人，获三等奖的有人，

共有30人获奖，70人没有获奖，

从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，

设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，

则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以，

即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为

（2）由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，

则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，

①因为，，

所以，

故参赛学生中成绩超过79分的学生数约为．

②由，得，

即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成绩在64分以上的概率为，

所以随机变量服从二项分布，

所以，，

，，

所以随机变量的分布列为：

.

19．如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．

(1)求点到平面的距离；

(2)在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．

【答案】(1)；

(2)存在点，为中点.

【分析】（1）连接，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，，再由得到，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；

（2），且，求出平面的法向量，利用空间向量法得到方程，解得的值，即可得解.

【详解】（1）连接，∵为正三角形，又为中点，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，∴，

因为分别为的中点，所以，

∴，

∴如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

∵，则，

设平面的法向量为，∵，

则，令，则

又，则点到平面的距离为；

（2）由（1）可知是平面的一个法向量，

由题可设，且，则，

∴，

设平面的法向量为，由于，

则，

令，则，

∴，整理得，解得或（舍），

故存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时为中点.

20．设函数.

(1)求在区间上的极值点个数；

(2)若为的极值点，则，求整数的最大值.

【答案】(1)1

(2)1

【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，分，两种情况讨论，分别说明函数的单调性，即求出函数的极值点数；

（2）依题意可得，则，令，则转化为，令，即为在上恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可得解.

【详解】（1）因为，所以，

令，则，

①当时，，单调递增，无极值点；

②当时，，单调递减，

，.

故存在唯一，使得.

当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，有极大值点；

综上在区间上有1个极值点.

（2）若为的极值点，则，，

所以，

令 ，，即，

记)，即；

①当时，故g(t)在上单调递增，，符合题意；

②当时，若，则，故在上单调递减.

由（1）知在区间上存在极值点，记为，则，

故，不符题意；

综上，整数的最大值为1.

【点睛】方法点睛，导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

21．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，点坐标为，且.

(1)求双曲线的方程；

(2)过点的动直线与的左､右两支分别交于两点，若点在线段上，满足，证明：在定直线上.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据离心率设，代入得到，得到答案.

（2）设，联立方程得到根与系数的关系，根据得到，代入数据整理得到，得到答案.

【详解】（1）设，因为双曲线的离心率为，

设，

所以，

所以，解得或（舍），

所以双曲线的方程为，

（2）设，当直线斜率不存在时不成立，设，

即，

由，可得，

由于点在双曲线内部，易得，所以.

设，根据题意，，又，可得，

整理得：，

即，化简得

又，消去，得，

所以点在定直线上.

【点睛】关键点睛：本题考查了求双曲线方程，定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；

(2)设、分别为曲线和直线上的任意一点，求的最小值.

【答案】(1)曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为

(2)

【分析】（1）在曲线的参数方程中消去参数，可得出曲线的普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线的普通方程；

（2）设是曲线上任一点，利用点到直线的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.

【详解】（1）解：由，消去，得或.

由，得，

将，代入，得.

故曲线的普通方程为或，直线的直角坐标方程为.

（2）解：设是曲线上任一点，

则点到直线的距离为，

所以当，即时，点到直线的距离最小，即取得最小值为.

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论，分别计算即可；

（2）利用绝对值三角不等式求出的最大值，再利用乘“1”法及基本不等式计算即可.

【详解】（1），

不等式等价于或或，

解得或或，

故不等式的解集为．

（2）因为，

当且仅当时等号成立，故，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.