2022-2023学年北京市人大附中朝阳分校东坝校区八年级（下）限时作业数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年北京市人大附中朝阳分校东坝校区八年级（下）限时作业数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在中，，，，则点到斜边的距离是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  最简二次根式的被开方数相同，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  我们知道：四边形具有不稳定性如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点、，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴的正半轴上的点处，则点的对应点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在二次根式，，，中，最简二次根式共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  如图，两点，分别在矩形的和边上，，，，且，点为的中点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D. 一切实数

7.  如图，为等边三角形，平分，，点为上动点，连接，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  估计的值在(    )

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

9.  如图，在中，，，是上一点，连接把沿翻折得到，且于点，连接，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，，点，分别为，上一点，且，连接交对角线于点，点，分别为，的中点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

11.  在平行四边形中，如果，那么的度数是______ ．

12.  要使代数式有意义，则的取值范围为______．

13.  如图，矩形纸片中，，为上一点，平分，，则的长为______ ．

14.  实数，在数轴上的位置如图所示，化简 ______ ．

15.  如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为，，，则的长为______ ．

16.  如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则周长为______．

17.  如图，于点，于点，点是中点，若，，，则的长是______．

18.  已知，且，则 ______ ．

19.  如图，正方形的边长为，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，交于点，连接，则的长为______ ．
 

20.  四个全等的直角三角形按图所示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形已知为较长直角边，，则正方形的面积为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共50.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
计算：
；
．

22.  本小题分

如图，在四边形中，，分别为，上的点，且，连接， ，若四边形是平行四边形．求证：四边形是平行四边形．

23.  本小题分
已知：如图，，求作：平行四边形作法：
在边上任取点，连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；
分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点，使点和点在的两旁；
连接，．
四边形即为所求．

根据题意，在图中补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：连接，
，，，
≌．
______．
______填推理的依据．
，
四边形为平行四边形______填推理的依据．

24.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

25.  本小题分
如图，在四边形中，，，，过点作，垂足为点，延长至点，使，连接，．
求证：四边形是矩形；
求的长．

26.  本小题分
如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作交的延长线于，连接交于点，连接．
求证：四边形是平行四边形；
若，，，求四边形的面积．

27.  本小题分
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点为点的“横负纵变点”例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______；
化简：；
已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，求点的坐标．

28.  本小题分
如图，为正方形的对角线上一点过作的垂线交于，连，取中点．

如图，连、，试证明；
如图，连接、，并延长交对角线于点，试探究线段、、之间的数量关系并证明；
如图，延长对角线至延长至，连，若，，且，则 ______ 直接写出结果

29.  本小题分
对于平面直角坐标系中的图形、，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“近距离”，记作．
在▱中，点，，，，如图．
直接写出点，▱ ______ ；
若点在轴正半轴上，点，▱，求点坐标；
已知点，，，，顺次连接点、、、，将得到的四边形记为图形包括边界．
当时，在图中画出图形，直接写出，▱的值；
若，▱，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
，
设点到斜边的距离是，
则：，即：，
；
点到斜边的距离是；
故选：．
利用勾股定理求出的长，等积法求出点到斜边的距离即可．
本题考查勾股定理，等积法求线段的长度．熟练掌握勾股定理，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查最简二次根式的知识点，关键是理解概念，比较简单．
最简二次根式是被开方数中不含开得尽方的因数或因式，被开方数相同，令被开方数相等，列方程求．
【解答】
解：最简二次根式的被开方数相同，
，
解得，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，，，
，
，
，，
，
故选：．
由题意得：，，，根据勾股定理得到，即可得到结果．
本题考查的是三角形的稳定性，涉及到正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
又，
，
又，
≌，
，
，
，
，
在中，，
点为的中点，，
，
故选：．
证明≌，得出，勾股定理得出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，
则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的性质得出的符号，进而得出答案．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简结果的符号是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：过作于，过作于，交于，如图：

为等边三角形，平分，
，
，
，
当最小时，最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度，
在中，
，
最小值为，
故选：．
过作于，过作于，交于，由为等边三角形，平分，可得，当最小时，最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长度，在中，有，故AE最小值为．
本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
即，
故选：．
先运用二次根式混合运算法则计算，得，再根据，得出，即可得出答案．
本题考查二次根式混合运算和估算无理数大小，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
，
解得：，
在中，
，
，
解得：，
由翻折可得，，
，
，
≌，
，，
设，
则，，
在中，
，
，
解得，
，，
设点到的距离为，
，
，
解得．
所以点到的距离为．
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出、的长度，根据等面积法可计算出的长度，再由翻折的性质可得≌，在中，可计算出的长度，即可得出的长，再由在中应用等面积法即可得出答案．
本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，如图：

正方形中，，，
，，，，，
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
，
故选：．
以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，根据正方形中，，，可得，，，，，即得直线解析式为，求出，，，由两点间距离公式可得答案．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点的坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质直接解答即可．
此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：矩形纸片，
，，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据勾股定理求出，再证明，根据勾股定理列出方程求解即可．
本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据题意得出，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题可得，，，
，，，




，
故答案为：．
依据数轴即可得到，，，即可化简．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
又，
，
，
解得，
故答案为：．
根据菱形的性质和勾股定理，可以求得的长，然后根据等面积法即可求得的长．
本题考查菱形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确等面积法，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
平分，，
，
，
，
周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，延长交于点，

点是的中点，
，
，，
，
，，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理可得．
故答案为：．
延长交于点，由“”可证≌，可得，，由勾股定理可求的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
原式．
故答案为．
先把已知条件两边平方，再利用完全平方公式计算出，由于，所以，利用倒数法，计算，则原式，然后化简二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，以为原点，垂直的直线为轴，平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，

正方形的边长为，，，
点，点，
为的中点，
点，
设直线解析式为，将点代入得：
，
解得，
直线解析式为，
令得，
点，
由两点间距离公式可求得：
．
故答案为：．
以为原点，垂直的直线为轴，平行的直线为轴，由已知可得点，点，又为的中点，得点，设直线解析式为，可得，从而得点，所以．
本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，求出点和点的坐标．
 

20.【答案】 

【解析】解：设，，则正方形的面积为：，
由题意可知，
，

，
正方形的面积为，
，
正方形的面积，
故答案为：．
设，，则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】利用二次根式的乘除法则运算即可得；
利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．
本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
即，
四边形是平行四边形． 

【解析】由平行四边形的性质得，，则，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证出是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，即为补全的图形；

证明：连接，
，，，
≌．
，
内错角相等，两直线平行．
，
四边形为平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
故答案为：；内错角相等，两直线平行；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 

【解析】根据作图过程即可补全图形；
根据平行四边形的判定方法即可完成证明．
本题考查了作图复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

24.【答案】解：

，
，，
，
原式． 

【解析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出，代入求解即可．
本题考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
同理，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是矩形；
过作于，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
． 

【解析】根据垂直的定义得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
过作于，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到于是得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，勾股定理的逆定理，证得≌是解题的关键．
 

26.【答案】证明：为中点，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形为平行四边形；
解：过点作于点，如图所示：

，，
，
，
，，
，
． 

【解析】根据“”证明≌，得出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明结论；
过点作于点，根据直角三角形中角作对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，再求出，最后根据平行四边形面积公式求出结果即可．
本题主要考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：，
点的“横负纵变点”为，
，
点的“横负纵变点”为．
故答案为：，；
原式

；
，
，
，
．




，
，
，

根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．
模仿例题解决问题即可．
首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可．
本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】 

【解析】证明：如图，四边形是正方形，
，，
；
，
；
点是中点，
，
，
；
同理，，
；

解：结论：，理由如下：
如图，作，交于点，连接、、，
，，，
≌，
，，
，
；
，，
，
，
；
，
，
；

解：如图，作点关于直线的对称点，连结、、、，
垂直平分，
，，
，
≌，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是正方形及得，点是的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，，可得，，则；
过点作，交于点，连接、、，先证明，，，再证明，通过等量代换证得结论；
作点关于直线的对称点，连结、、、，将转化为，再证明≌，这样又将转化为，可证明，根据勾股定理求出的长即为的长，即可解决问题．
此题属于四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的性质以及勾股定理、轴对称的特征等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，用好转化思想，此题难度较大，属于考试压轴题．
 

29.【答案】 

【解析】解：如图中，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，
，
点，▱，
故答案为：；

如图中，过点作于点，设交轴于点．
点，▱，
，
，
，
，
，
，
；

如图中，过点作于点，延长交于点．

，
，
，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，▱；
如图中，由题意点，值直线上运动，点，在直线上运动，

当点在的上方且到直线的距离为时，，此时，
当点在直线的下方，且到直线距离为时，，此时，
当点在的上方且到直线的距离为时，，此时，
当点在直线的下方，且到直线距离为时，，此时，
观察图象可知，满足条件的的值为：或．
如图中，过点作于点，求出的值，可得结论；
如图中，过点作于点，设交轴于点求出，可得结论；
如图中，过点作于点，延长交于点求出，的值，可得结论；
如图中，由题意点，值直线上运动，点，在直线上运动，求出四种特殊情形的值，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．