人教版七年级上册数学讲义练习 专题5.3 平行线的性质

新人教版初中数学学科教材分析

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的符号体系，独特的公式结构，形象的图像语言。它有三个显著的特点：高度抽象，逻辑严密，广泛应用。 

1．高度抽象性：数学的抽象，在对象上、程度上都不同于其它学科的抽象，数学是借助于抽象建立起来并借助于抽象发展的。

2．严密逻辑性： 数学具有严密的逻辑性，任何数学结论都必须经过逻辑推理的严格证明才能被承认。任何一门科学，都要应用逻辑工具，都有它严谨的一面。

3．广泛应用性：数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。 

第五章  相交线与平行线

5.3  平行线的性质

1．平行线的性质

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角__________．

符号语言为：如果a∥b，那么∠1=∠2，示意图如图：

（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角__________．

符号语言为：如果a∥b，那么∠2=∠4，示意图如图：

（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单说成：两直线平行，同旁内角__________．

符号语言为：如果a∥b，那么∠2+∠3=180°．示意图如图：

2．命题

（1）定义：判断一件事情的语句，叫做__________，如：对顶角相等．

（2）组成：命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，通常写成：“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．

（3）真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．

（4）假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题．

3．定理与证明

（1）定理：经过推理证实的真命题叫做__________，定理也可以作为继续推理的依据．

（2）证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做_________．

K知识参考答案：

一、平行线的性质

只有在“两条平行线被第三条直线所截”的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，这是平行线特有的性质．

【例1】如图所示，直线、、、的位置如图所示，若，，，则的度数为

A．           B．   

C．           D．

【答案】A

【解析】∵，

∴∥，

∵，∴，

∴=180°−=.

选A.

【例2】如图所示,已知直线a,b被直线c所截,且a∥b,∠1=65°,那么∠2等于

A．145°          B．65°   

C．55°          D．35°

【答案】B

【解析】∵直线a、b被直线l所截，且a∥b，∠1=65°，∴∠2=65°，故选B．

【例3】如图，已知AB∥CD∥EF，GH截三条直线，则与∠1互补的角有

A．4个    B．5个    C．6个    D．7个

【答案】C

【解析】如图，∠1+∠2=180°，∠2=∠3，∵AB∥CD∥EF，∴∠2=∠4=∠6，∠3=∠5=∠7，∴与∠1互补的角有：∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7，故选C．

二、命题

判断一个命题是假命题，只需举出一个反例（符合命题的题设，不满足命题的结论）即可，而说明一个命题是真命题需要从已知出发，经过一步步推理，最后得出正确结论．

【例4】下列语句：①三角形的内角和是180°；②作一个角等于一个已知角；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④延长线段AB到C，使BC=AB，其中是命题的有

A．①②    B．②③    C．①④    D．①③

【答案】D

【解析】①三角形的内角和是180°，是命题；②作一个角等于一个已知角，不是命题；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是命题；④延长线段AB到C，使BC=AB，不是命题，故选D．

【例5】下列语句中，假命题的是

A．一条直线有且只有一条垂线        B．不相等的两个角一定不是对顶角，

C．直角的补角必是直角         D．两直线平行，同旁内角互补

【答案】A

【解析】A、一条直线有且只有一条垂线是假命题；

B、不相等的两个角一定不是对顶角是真命题；

C、直角的补角必是直角是真命题；

D、两直线平行，同旁内角互补是真命题，

故选A．

【例6】下列命题中,是真命题的是

A．互补的角是邻补角         B．相等的角是对顶角

C．内错角相等          D．对顶角都相等

【答案】D

【解析】A、两直线平行时，同旁内角互补，此时这一对同旁内角不是邻补角，故本选项错误；

B、等腰三角形的两个底角相等，此时这两个底角不是对顶角，故本选项错误；

C、只有两直线平行时，内错角才相等，故本选项错误； 
D、对顶角都相等,故本选项正确． 

故选D.

三、定理与证明

证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等．

【例7】如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1=∠2．

【解析】已知：如图，AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF．求证：∠1=∠2．

证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴∠ABC=∠DCB，

又∵BE∥CF，

∴∠EBC=∠FCB，

∴∠ABC−∠EBC=∠DCB−∠FCB，

∴∠1=∠2．

四、平行线性质与判定的综合应用

平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；平行线的判定是以角的相等或互补为前提，推导出两直线平行，是从“数量关系”到“位置关系”．

【例8】如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠E，试猜想AB与CE之间有怎样的位置关系？并说明理由．

【解析】AB∥CE，理由如下：

∵∠1+∠2=180°，

∴DE∥BC（同旁内角互补，两直线平行），

∴∠ADF=∠B（两直线平行，同位角相等），

∵∠B=∠E，

∴∠ADF=∠E，

∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行）．

1．如图，若，则下列结论一定成立的是

A．        B．

C．      D．

2．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为

A．    B．    C．    D．

3．下列语句不是命题的是

A．明天有可能下雨         B．同位角相等

C．∠A是锐角           D．中国是世界上人口最多的国家

4．如图所示，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1＝∠F＝40°，且A，C，F三点共线，那么与∠FCD相等的角有

A．1个            B．2个   

C．3个            D．4个

5．如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有

A．3对         B．4对    

C．5对         D．6对

6．如图，AB∥CD，若∠2是∠1的4倍，则∠2的度数是

A．144°    B．135°    C．126°    D．108°

7．如图，AB∥CD，直线l分别交AB、CD于E，F，∠1=56°，则∠2的度数是________°．

8．如图，a∥b，AC分别交直线a、b于点B、C，，若，则__________度．

9．如图，AB∥CD，∠B=115°，∠C=45°，则∠BEC=__________．

10．分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式．

（1）两点确定一条直线；

（2）等角的补角相等；

（3）内错角相等．

11．如图，于，交于点，交于点，，，试判断和的位置关系，并说明理由．

12．如图，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是

A．     B．

C．     D．

13．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即AE∥CD），若∠A=120°，∠B=150°，则∠C的度数是__________．

14．如图，一条公路两次转弯后又回到原来的方向．若第一次转弯时∠B＝140°，则∠C的度数是______________.

15．如图，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2＝90°，∠B＝75°，求∠A的度数．

16．（2018·甘孜州）如图，已知DE∥BC，如果∠1=70°，那么∠B的度数为

A．70°          B．100°   

C．110°          D．120°

17．（2018·赤峰市）已知，直线EF分别交AB、CD于点G、H，∠EGB=25°，将一个60°角的直角三角尺如图放置（60°角的顶点与H重合），则∠PHG等于

A．30°          B．35°   

C．40°          D．45°

18．（2018·绵阳市）如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠2=44°，那么∠1的度数是

A．14°         B．15°   

C．16°         D．17°

19．（2018·海南）将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE=40°，那么∠BAF的大小为

A．10°           B．15°   

C．20°           D．25°

20．（2018·韶关市）如图，，则，，则的大小是

A．          B．   

C．          D．

21．（2018·泸州市）如图，直线a∥b，直线分别交a，b于点A，C，∠BAC的平分线交直线b于点D，若∠1=50°，则∠2的度数是

A．50°          B．70°   

C．80°          D．110°

22．（2018·枣庄市）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为

A．20°           B．30°   

C．45°           D．50°

23．（2018·齐齐哈尔市）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为

A．10°           B．15°   

C．18°           D．30°

24．（2018·南通市）如图，∠AOB=40°，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD⊥OA于点D，在∠POB的内部作CE∥OB，则∠DCE=___________度．

25．（2018·柳州市）如图，，若，则___________．

1．【答案】D

【解析】因为∠1=∠3，所以AD∥BC，所以∠1+∠2=180°，故选D．

2．【答案】C

【解析】如图，因为AD∥BC，所以∠1=∠3=65°，因为∠2+∠3+90°=180°，所以∠2=90°-∠3=90°-65°=25°，故选C．

3．【答案】A

【解析】A、明天有可能下雨，不是判断语句，故不是命题，符合题意；

B、同位角相等是命题，故不符合题意；

C、∠A是锐角是命题，故不符合题意；

D、中国是世界上人口最多的国家是命题，故不符合题意，

故选A．

5．【答案】C

【解析】∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，即∠ABE=∠DEB，所以图中相等的角共有5对，故选C．

6．【答案】A

【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=180°，∵∠2=∠3=4∠1，∴∠1+4∠1=180°，即∠1=36°，则∠2=

4∠1=144°，故选A．

7．【答案】124

【解析】∵∠1=56°，
∴∠3=180°−∠1=124°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=124°．
故答案为：124．

8．【答案】65

【解析】∵AC⊥DC，∴∠1+∠3=90°，∵∠1=25°，∴∠3=90°-∠1=90°-25°=65°，∵a∥b，∴∠2=∠1=65°，故答案为：65．学-科网

9．【答案】110°

【解析】如图，过点E作EF∥AB．因为AB∥CD，所以EF∥CD，所以∠B+∠BEF=180°，∠C=∠CEF.

因为∠B=115°，∠C=45°，所以∠BEF=180°-115°=65°，∠CEF=45°，所以∠BEC=∠BEF+∠CEF=65°+45°=

110°，故答案为：110°．

10．【解析】（1）如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线．

（2）如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等．

（3）如果两个角是内错角，那么这两个角相等．

11．【解析】如图，过点作．

∵，∴（两直线平行，同位角相等）．

∵（已知），∴（等量代换）．

∵（已知），∴（垂直的定义），

∴．

∵，∴，

∴（同旁内角互补，两直线平行），

∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．

14．【答案】140°

【解析】∵AB∥CD，∠B=140°，
∴∠C=∠B=140°．
故答案是：140°．

15．【答案】105°

【解析】∵∠1+∠2＝90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，

∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，

∵∠B＝75°，

∴∠A＝180°﹣75°＝105°．

16．【答案】C

【解析】如图，∵DE∥BC，

∴∠2+∠B=180°，

∵∠2=∠1=70°，

∴∠B=180°−70°=110°，

故选C.学-科网

17．【答案】B

【解析】∵AB∥CD，∴∠EHD=∠EGB=25°．

又∵∠PHD=60°，∴∠PHG=60°﹣25°=35°．

故选B．

18．【答案】C

【解析】如图，

∵∠ABC=60°，∠2=44°，

∴∠EBC=16°，

∵BE∥CD，

∴∠1=∠EBC=16°，

故选C．

20．【答案】B

【解析】∵∠DEC=100°，∠C=40°，

∴∠D=180°−∠DEC−∠C=40°，

又∵AB∥CD，

∴∠B=∠D=40°，

故选B．

21．【答案】C

【解析】因为a∥b，

所以∠1=∠BAD=50°，

因为AD是∠BAC的平分线，

所以∠BAC=2∠BAD=100°，

所以∠2=180°−∠BAC=180°−100°=80°.

故选C.

22．【答案】D

【解析】因为m∥n，所以∠2=∠1+30°，所以∠2=30°+20°=50°，故选D.

23．【答案】B

【解析】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，

∵AB∥CF，

∴∠ABD=∠EDF=45°，

∴∠DBC=45°﹣30°=15°．

故选：B.学科=网