山西中考热点题归纳——相似三角形 试卷

这是一份山西中考热点题归纳——相似三角形 试卷，共25页。试卷主要包含了热点题型归纳等内容，欢迎下载使用。
山西中考热点题归纳——相似三角形
一、热点题型归纳
【题型一】 线段成比例问题及黄金分割
【题型二】 相似三角形的判定问题
【题型三】 相似三角形的性质问题
【题型四】 位似问题与位似的作图
【题型五】相似三角形综合题
【题型一】 线段成比例问题
【典例分析】
例1.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）

B. C. D.
【解析】根据黄金分割的定义，应用比例式列方程求解即可求解
【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm，肚脐至腿根的长为y cm，则，得．又其腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【提分秘籍】
1.对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即ad＝bc），我们就说这四条线段成比例．
其主要性质有：
（1）基本性质：如果 ，那么ad＝bc．（如果那么b²＝ac）
（2）合分比性质：如果那么
（3）等比性质：如果（），那么．
2.黄金分割有关的问题
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，黄金比．
用黄金分割解决实际问题时常用到黄金比，即较长线段：全线段＝．
3.成比例线段的证明或求值问题
要证明线段成比例或求两线段之比的问题，常用到的理论依据有两点：
（1）平行线分线段成比例的基本事实；
（2）相似三角形对应边成比例的性质．
【变式演练】
1.(2022·湖南衡阳·统考中考真题)
1．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（    ）（结果精确到．参考数据：，，）

A． B． C． D．
(2022·山西·统考中考真题)
2．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
3.（2020·湖南娄底·中考真题）若，则________．
4．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）

【题型二】 相似三角形的判定问题
【典例分析】
(2022·山东菏泽·统考中考真题)
5．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

【提分秘籍】
1.相似三角形的判定方法：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理．
（2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
2.判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
（1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
（2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
（3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
（4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
【变式演练】
6．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使．

7.如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：_____．

8.（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，在中，，于点，，，，则的长是（    ）

A． B． C． D．
【题型三】 相似三角形的性质问题
【典例分析】
9.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(    )

A． B． C． D．
【提分秘籍】
解与三角形相似有关的问题时常用到以下性质：
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
（3）相似三角形周长的比等于相似比，相似多边形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
【变式演练】
10.（2021·湖南湘西·统考中考真题）如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（ ）

A． B． C． D．

(2022·辽宁大连·统考中考真题)
11．如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S．

(1)求的长；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
12. 如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E，连接CF并延长，交AB于点D，过点F作FG∥BC，交AC于点G．设三角形EFG，四边形FBCG的面积分别为S1，S2，则S1：S2＝_____．

【题型四】 位似问题与位似的作图
【典例分析】
13. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（   ）

A． B．点C、点O、点C′三点在同一直线上
C． D．
【提分秘籍】
1.位似图形问题：如果两个平面图形不仅相似，而且对应顶点的连线或延长线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．
2.位似图形具有下列性质：
（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
（3）位似图形对应线段平行或在同一条直线上且成比例；
（4）位似图形的对应角相等．
3.似图形的画图问题：作位似图形就是将一个平面图形进行放大或缩小，其依据是位似图形的性质，即位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因此，作位似图形有两个要点：一是位似中心（位似中心位于对应点的连线所在的直线上）；二是相似比．
【变式演练】
(2022·广西·中考真题)
14．已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比（    ）
A．1 ：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1
(2022·山东威海·统考中考真题)
15．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(   )

A． （）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
【题型五】相似三角形综合题
【典例分析】
16.如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）已知，求O，E两点之间的距离．

【提分秘籍】
（1）与圆相关的综合问题：掌握圆的性质（1）垂径定理及推论（2）一等皆等定理（3）圆周角定理及推论是解题关键.
（2）切线的判定性质及辅助线作法.
（3）证明相似时注意利用圆周角定理寻找相等角.
【变式演练】
17.如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E．
（1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径的长．

18.如图，在半径为5cm的中，AB是的直径，CD是过上点C的直线，且于点D，AC平分，E是BC的中点，．
（1）求证：CD是的切线；
（2）求AD的长.

19.如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，且过点．点P、Q是抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当与相似时，求点Q的坐标．







1．B
【分析】设雕像的下部高为x m，由黄金分割的定义得求解即可．
【详解】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，
∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
雷锋雕像为2m，
∴  
∴，
即该雕像的下部设计高度约是1.24m，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
2. D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
3.【答案】
【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．
【详解】由可得，，
代入．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．
4.0.618
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，四边形EFGM是矩形，则EG＝MF＝y，由得x－y≈0.618x，求得y≈0.382x，进一步求得，即可得到答案．
【详解】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴，
∴EG≈0.618DE．
故答案为：0.618．

【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y≈0.382x是解题的关键．
5．见解析
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．
【详解】证明：∵
∴∠C=∠BEC，
∵∠BEC=∠AED，
∴∠AED=∠C，
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵，
∴∠D=∠ABC，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．
6．∠ADE=∠B（答案不唯一）．
【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．
【详解】解∶∵∠A=∠A，
∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似．
故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
7.【答案】△ADF∽△ECF
【详解】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴△ADF∽△ECF，
故答案为△ADF∽△ECF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键.
8.【答案】C
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
9.【答案】C
【分析】易证，根据相似三角形的性质可得= ,=，从而可得+=+=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值．
【详解】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴，
∴= ,=，
∴+=+==1.
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10.【答案】D
【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键．
11. (1)8
(2)

【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长；
（2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴=5，
∴AC=AD+DC=5+3=8；
（2）解：由（1）得AD=5，
∵AP=x，
∴PD=5-x，
∵过点P作的垂线，与相交于点Q，
∴，
∵，
∴即，
在和中
，
∴，
∴
∴
∵与重叠部分的面积为S
∴的面积为S
即，


∵点P不与点A，D，C重合，
∴，
即．
当在上运动时，如图，设交于点，

则


即


综上所述，
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系．
12. 【答案】．
【分析】由三角形的重心定理得出BF=2EF，得出BE=3EF，由平行线得出△EFG∽△EBC，∴得出，即可得出结果．
【详解】∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF，
∴BE＝3EF，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△EBC，
∴，（）2，
∴S1：S2；
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的重心定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握三角形的重心定理，证明三角形相似是解题的关键．
13.【答案】C
【分析】直接利用位似图形的性质进而分别分析得出答案．
【详解】∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，
∴，点C、点O、点C′三点在同一直线上，，
，
∴C选项错误，符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键．
14.答案：C
【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似比是1：3，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：C．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键．
15.答案：C
【分析】根据题意得出A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，确定与△AOB位似的三角形为△GOH，利用锐角三角函数找出相应规律得出OG=，再由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形，找规律问题，相似三角形的性质等，理解题意，找出相应边的比值规律是解题关键．
16.【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，
可得，即，即可证明是的切线；
（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵是的直径，
∴，则，
∵是斜边上的中线，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，即，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）连接OE，

∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的中位线，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定进而性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半，掌握知识点，结合现有条件灵活运用是解题关键．
17.【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长为4
【分析】（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABERt△CAE，利用对应边成比例即可求解．
【详解】（1）连接AE，OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AC是圆⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
在直角△AEC中，
∵D为AC的中点，
∴DE=DC=DA，
∴∠DEA=∠DAE，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE，
∵∠DAE+∠OAE=90°，
∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE 是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6=，
∴AE=，
∴∠B+∠EAB=90°，
∵∠CAE+∠EAB=90°，
∴∠B=∠CAE，
∴Rt△ABERt△CAE，
∴，即，
∴，
∴⊙O的半径OA=．
【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18.【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．
【详解】解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC，OE，

∵E是BC的中点， ，
∴，
∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
则，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．



【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接OC，由题意知∠DAC＝∠OAC＝∠OCA，据此得，根据AD⊥DC即可得证；
（2）连接BC，证△ADC∽△ACB即可得．
【详解】解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAO，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC，OE，

∵E是BC的中点， ，
∴，
∵AB是⊙O的直径，AD⊥DC，半径，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，，
又∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
则，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键．

19.【答案】(1)抛物线的表达式为：；(2)有最大值，当时，其最大值为；(3) 或或或．
【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾斜角，进而求解．
【详解】解：(1)函数的表达式为：，将点D坐标代入上式并解得：，
故抛物线的表达式为：…①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点，

将点P、D的坐标代入一次函数表达式：并解得，直线PD的表达式为：，则，
，
∵，故有最大值，当时，其最大值为；
(3)∵，∴，
∵，故与相似时，分为两种情况：
①当时，，，，
过点A作AH⊥BC与点H，

，解得：，
∴CH＝
则，
则直线OQ的表达式为：…②，
联立①②并解得：，
故点或；
②时，
，
则直线OQ的表达式为：…③，
联立①③并解得：，
故点或；
综上，点或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．