专题03  整式

1、定义

(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式

(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。[来源:学,科,网]

(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

2、整式的运算

(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

(2)整式的乘除运算

①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次幂都等于1。[来源:学.科.网Z.X.X.K]

⑧单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。[来源:Z#xx#k.Com]

注：以上公式及法则在分式和二次根式的运算中同样适用。

(3)添括号法则

同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：

如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。[来源:学_科_网]

3、因式分解[来源:Zxxk.Com]

定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)

因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。