备战2023年高考数学常考题型分类讲义 第17讲 数列求和5种常考题型总结

高考二轮数学复习策略

第二轮复习的首要任务是把整个高中基础知识有机地结合在一起，构建出高中数学知识的结构图。下面，小编给大家带来高考数学二轮复习策略，效果是十分显著的哦！

1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。

2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。

3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。

4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。

5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。

6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。

第17讲 数列求和5种常考题型总结

【题型目录】

题型一：分组求和法

题型二：裂项相消法求和

题型三：错位相减法求和

题型四：先求和，再证不等式

题型五：先放缩，再求和

【典型例题】

【例1】已知数列的前n项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【例2】已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.

(1)求数列，的通项公式；

(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.

【例3】设是各项为正的等比数列的前n项的和，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)在数列的任意与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，求的值．

【题型专练】

1.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，．

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

2.已知数列的前项和为，且，请在①；②成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列是公比为2的等比数列，，求数列的前项和.

3．（2022·广东广州·一模）已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.

(1)求数列的通项公式：

(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.

4.已知等差数列满足，设.

(1)求的通项公式，并证明数列为等比数列；

(2)将插入中，插入中，插入中，，依此规律得到新数列，求该数列前20项的和.

题型二：裂项相消法求和

【例1】首项为4的等比数列的前n项和记为，其中成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求．

【例2】已知数列的首项为正数，其前项和满足．

(1)求实数的值，使得是等比数列；

(2)设，求数列的前项和．

【例3】数列的前n项和，.

(1)求；

(2)令，求数列的前n项和.

【例4】（湖北省二十一所重点中学2023届高三上学期第三次联考数学试题）已知等差数列的首项，记数列的前项和为，且数列为等差数列.

(1)证明：数列为常数列；

(2)设数列的前项和为，求的通项公式.

【例5】已知数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)，是数列的前项和，求．

【题型专练】

1．记为等比数列的前项和.已知，且成等差数列.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若，求.

2．已知正项数列的前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

3.已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

4.记为数列的前项和，已知，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知数列满足________，记为数列的前项和，证明：．

从①   ②两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.

5．已知数列前n项和为，且，记.

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，求.

题型三：错位相减法求和

【例1】已知数列满足，且，数列是各项均为正数的等比数列，为的前n项和，满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，记数列的前n项和为，求的取值范围.

【例2】已知各项均不为零的数列满足，且，，设.

(1)证明：为等比数列；

(2)求的前项和.

【例3】已知数列的首项.

(1)求；

(2)记，设数列的前项和为，求.

【例4】已知各项为正数的数列前n项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列前n项和为，求证：．

【例5】已知数列的前n项和满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前n项和．

【题型专练】

1．若公比为c的等比数列的首项且满足．

(1)求c的值；

(2)求数列的前n项和．

2．已知数列的前n项和为,,.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,数列的前n项和为,若存在且,使得成立,求实数的最小值.

3．已知数列前项和为，且满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

4.已知数列的前n项和为，且，.

(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；

(2)求数列的前n项和.

5.已知等差数列的前n项和为，，．正项等比数列中，，．

(1)求与的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

题型四：先求和，再证不等式

【例1】设为数列{}的前n项和，已知，且．

(1)证明：{}是等比数列；

(2)若成等差数列，记，证明＜．

【例2】已知数列的前项和为，___________，.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.

①；②；③

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，是数列的前项和，若对任意的，，求实数的取值范围.

【例3】等差数列中，前三项分别为，前项和为，且.

(1)求和的值；

(2)求=

(3)证明:

【例4】已知数列满足，.

(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，若存在，使，求的取值范围.

【题型专练】

1．已知数列满足：.

(1)求数列的通项公式；

(2)记为数列的前n项和，求证：.

2.已知数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前项和，证明：．

3．已知数列的首项，，.

(1)证明：为等比数列；

(2)证明：.

4．已知数列{}的前项和为，，

(1)求数列{}的通项公式；

(2)设，为数列的前项和.证明：

5.已知数列的前项和，其中.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，

（i）证明：数列为等差数列；

（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.

6．已知数列满足且，且.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前项和为，求证：.

题型五：先放缩，再求和

【例1】已知数列的前项和为， 当时，．

(1)求数列的通项公式;

(2)求证：．

【例2】已知数列单调递增且，前项和满足，数列满足，且，.

(1)求数列、的通项公式;

(2)若，求证：.

【例3】已知数列的前项和为，且满足，

(1)求和

(2)求证：．

【例4】已知数列的前n项和为，，，且．

(1)求；

(2)求证：．

【题型专练】

1.已知数列满足：，，.

(1)设，求数列的通项公式；

(2)设，，求证：.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列前n项积为，且．

(1)求证：数列为等差数列；

(2)设，求证：．

3.已知数列的前n项和为，.

(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；

(2)设，证明：.

4．已知数列满足，且,是的前项和.

(1)求；

(2)若为数列的前项和，求证：.