八年级下册5.3 正方形同步训练题

第5章　特殊平行四边形

5.3　正方形

第1课时　正方形的判定

基础过关全练

知识点1　正方形的定义

1.在平行四边形ABCD中,AB=BC,则下列条件中,能使四边形ABCD是正方形的是              (　　)

A.AC与BD互相平分　　　　

B.AB∥CD

C.AB=AD　　　　

D.AB⊥BC

2.在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=BC=CD,试补充一个条件:　　　　,使四边形ABCD是正方形. 

知识点2　正方形的判定

3.(2022浙江宁波慈溪期末)如图,关于平行四边形ABCD,下列叙述不正确的是              (　　)

A.当AB=BC时,它是菱形

B.当AC⊥BD时,它是菱形

C.当∠ABC=90°时,它是矩形

D.当AC=BD时,它是正方形

4.下列说法中不正确的是 (　　)

A.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.菱形的面积等于两条对角线的长度的乘积的一半

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

5.请给矩形ABCD添加一个条件,使它成为正方形,则此条件可以为　　　　. 

6.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:四边形CFDE是正方形.

能力提升全练

7.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了              (　　)

A.1次　　　　B.2次　　　　C.3次　　　　D.4次

8.在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,AC=BD,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,顺次连结E、F、G、H,则四边形EFGH是              (　　)

A.菱形　　　　  B.矩形　　　　C.正方形　　　　D.平行四边形

9.(2022浙江绍兴中考,8,)如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB=2,∠ABC=60°,E,F是对角线BD上的动点,且BE=DF,M,N分别是边AD,BC上的动点.下列四种说法:

①存在无数个平行四边形MENF;

②存在无数个矩形MENF;

③存在无数个菱形MENF;

④存在无数个正方形MENF.

其中正确的个数是 (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

10.如图,在平行四边形ABCD中,F是对角线的交点,E是边BC的中点,连结EF.

(1)求证:2EF=CD.

(2)当EF与BC满足什么关系时,四边形ABCD是正方形?并证明你的结论.

11.如图,AD是△ABC的中线,过点A、B分别作BC、AD的平行线,两平行线相交于点E.

(1)求证:AE=CD.

(2)当AB、AC满足什么条件时,

①四边形AEBD是矩形?请说明理由.

②四边形AEBD是菱形?请说明理由.

③四边形AEBD是正方形?请说明理由.

素养探究全练

12.【推理能力】已知:矩形ABCD中,点P、Q分别在AD、BC上,且AP=CQ,连结CP、DQ、AQ、BP,CP与DQ交于点M,BP与AQ交于点N.

(1)求证:四边形PMQN是平行四边形.

(2)如果AB=2,BC=5,问:AP、BQ的长为多少时,四边形PMQN是矩形?

(3)在(2)的条件下,四边形PMQN能否为菱形?正方形?

答案全解全析

基础过关全练

1.D　∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,

在平行四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形.

2.AB∥CD(答案不唯一)

解析　答案不唯一.补充条件为AB∥CD.

∵AB=CD,AB∥CD,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∵∠A=90°,AB=BC,

∴▱ABCD是正方形.

3.D　

4.D　对角线互相垂直的平行四边形是菱形,所以A说法正确;

对角线相等的平行四边形是矩形,所以B说法正确;

菱形的面积等于两条对角线的长度的乘积的一半,所以C说法正确;

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,所以D说法错误.故选D.

5.AB=BC(答案不唯一)

解析　答案不唯一.添加的条件可以是AB=BC.理由如下:

∵四边形ABCD是矩形,AB=BC,

∴四边形ABCD是正方形.

6.证明　∵∠ACB=90°,DE⊥BC,DF⊥AC,

∴∠ACB=∠DEC=∠DFC=90°,

∴四边形CFDE是矩形.

∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,

∴DE=DF.

∴四边形CFDE是正方形.

能力提升全练

7.B　如图,第一次沿对角线BD所在的直线EF对折,如果两侧的三角形重合,由对称性得DC=AD,AB=BC,∠A=∠C;第二次沿四边形对边中点所在直线MN对折,如果上下两个四边形重合,由对称性得AB=DC,∠A=∠D,∠B=∠C,可得DC=AD=AB=BC,∠A=∠D=∠B=∠C,所以四边形丝巾的形状是正方形,反之不是.故选B.

8.C　∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,

∴EH∥BD,FG∥BD,HG∥AC,EF∥AC,

EH=BD,FG=BD,HG=AC,EF=AC,

∵AC=BD,

∴EH=FG=HG=EF,

∴四边形EFGH是菱形,

∵HG∥AC,AC⊥BD,

∴HG⊥BD,

∵EH∥BD,

∴EH⊥HG,

∴四边形EFGH是正方形.

9.C　如图,连结AC交BD于点O,过点O作直线MN,交AD于点M,交BC于点N,

故选C.

10.解析　(1)证明:在平行四边形ABCD中,BF=FD,

E是边BC的中点,

∴EF是△BCD的中位线,

∴2EF=CD.

(2)当EF⊥BC,且BC=2EF时,四边形ABCD是正方形.

证明:∵EF⊥BC,E是BC的中点,

∴EF垂直平分BC,∴FB=FC,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴FB=FD,FA=FC,∴FB=FC=FD=FA,

∴四边形ABCD是矩形,

∵CD=2EF,BC=2EF,∴BC=CD,

∴四边形ABCD是正方形.

11.解析　(1)证明:∵AE∥BD,AD∥BE,

∴四边形AEBD是平行四边形,∴AE=BD,

∵AD是△ABC的中线,

∴BD=CD,∴AE=CD.

(2)①当AB=AC时,四边形AEBD是矩形.理由如下:

∵AB=AC,AD是△ABC的中线,

∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°,

∵四边形AEBD是平行四边形,

∴四边形AEBD是矩形.

②当AB⊥AC时,四边形AEBD是菱形.理由如下:

∵AB⊥AC,AD是△ABC的中线,∴BD=AD,

∵四边形AEBD是平行四边形,

∴四边形AEBD是菱形.

③当AB=AC,且AB⊥AC时,四边形AEBD是正方形.理由如下:

∵AB=AC,且AB⊥AC,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∵AD是△ABC的中线,

∴BD=AD,BD⊥AD,

∵四边形AEBD是平行四边形,

∴四边形AEBD是正方形.

素养探究全练

12.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,

∴AD∥BC,AD=BC,

∵AP=CQ,∴PD=BQ,

∴四边形AQCP和四边形BQDP是平行四边形,

∴AQ∥PC,BP∥DQ,

∴四边形PMQN是平行四边形.

(2)∵四边形ABCD是矩形,

∴∠BAP=∠CDP=90°,AD=BC=5,CD=AB=2,

若四边形PMQN是矩形,则∠BPC=90°,

设AP=x,则CQ=x,BQ=DP=5-x,

由勾股定理得BP2=AB2+AP2,CP2=CD2+DP2,BP2+CP2=BC2,

∴22+x2+22+(5-x)2=52,

解得x=1或x=4,

∴AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1.

∴当AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1时,四边形PMQN是矩形.

(3)当P为AD的中点,Q为BC的中点时,四边形PMQN为菱形.

∵P为AD的中点,Q为BC的中点,

∴AP=BQ=CQ=DP=.

连结PQ(图略),

易得四边形ABQP与四边形DPQC是矩形,

则PN=NQ,PM=MQ,

∵四边形PMQN为平行四边形,

∴四边形PMQN为菱形.

由(2)可知,AP=1,BQ=4或AP=4,BQ=1时,四边形PMQN是矩形,

∵既是矩形又是菱形的四边形是正方形,

∴四边形PMQN不可能为正方形.