2021-2022学年上海市青浦高级中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市青浦高级中学高二上学期期末数学试题

一、填空题

1．等比数列中，且，则公比为______．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求出，再求出公比作答.

【详解】在等比数列中，因为，则，所以公比．

故答案为：

2．已知空间向量，，且与垂直，则等于 ___．

【答案】

【分析】根据向量垂直数量积等于列方程即可求解.

【详解】因为向量，，且与垂直，

所以，可得，

故答案为：.

3．圆锥底面半径为1cm，母线长为4cm，则其侧面展开图扇形的圆心角______．

【答案】

【分析】直接利用弧长公式即可求解.

【详解】因为圆锥底面半径为1cm，所以侧面展开图对应的扇形的弧长为，

所以圆锥侧面展开图的圆心角．

故答案为：

4．已知无穷等比数列的前项的和为，首项，公比为，且，则______.

【答案】##-0.5

【分析】根据无穷等比数列前n项和的极限可知且，可得，结合已知求即可.

【详解】无穷等比数列的前项和为，首项为，公比，且，

∴且，

，则.

故答案为：.

5．若用与球心的距离为的平面截球体所得的圆面半径为1，则球的表面积为______．

【答案】

【分析】计算半径为，再计算表面积得到答案.

【详解】球的半径，故球的表面积为．

故答案为：

6．甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，若对这三人进行一次100米跑检测，则三人都合格的概率是___________（结果用最简分数表示）.

【答案】110##0.1

【分析】利用独立事件的概率求解.

【详解】因为甲､乙､丙三人100米跑的成绩（互不影响）合格的概率分别为，

所以三人都合格的概率是，

故答案为：

7．在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为______．

【答案】

【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案.

【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线，

所以与所成角即为异面直线、所成角，

因为，且异面直线所成角的范围是，

所以异面直线、所成角的大小为,

故答案为：

8．如图的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次体育测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的平均数为18，乙组数据的中位数为16，则______．

【答案】2

【分析】根据茎叶图和题中所说的平均数和中位数计算未知量即可.

【详解】由茎叶图得甲组数据为：9，12，，24，27，

因为甲组数据的平均数为18，所以，

解得;

由茎叶图可知乙组数据为：9，15，，18，24，

乙组数据的中位数为16，所以，解得，

所以．

故答案为：2

9．已知公差不为的等差数列的前项和为，若，则的最小值为____________

【答案】

【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值.

【详解】取得最小值，则公差，或，

（1）当

，

，

所以的最小值为.

（2）当，不合题意.

综上所述：的最小值为.

故答案为：

10．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球．该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是，现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为______．

【答案】

【分析】利用圆柱的表面积求出球的表面积，然后求出球的半径，最后求出圆柱的底面半径和高，利用圆柱和球的体积差，求出水的体积即可.

【详解】设球的半径为，由题意得球的表面积为，

所以，所以圆柱的底面半径为2，高为4，

所以最多可以注入的水的体积为．

故答案为：

11．在棱长为的正方体中，点分别是线段（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是___________.

【答案】

【分析】由线面平行的性质定理知， ∽ ， ，

设，则 ， 到平面 的距离为 ，则 ,

所以，所以四面体 的体积为，

当 时，四面体 的体积取得最大值： ．

所以答案应填： ．

【解析】1、柱、锥、台体体积；2、点、线、面的位置关系．

【思路点睛】本题考查正方形中几何体的体积的求法，找出所求四面体的底面面积和高是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．由线面平行的性质定理知， ∽ ，设出，则 ， 到平面 的距离为 ，表示出四面体 的体积，通过二次函数的最值，求出四面体的体积的最大值．

12．已知数列和，其中是的小数点后的第n位数字，（例如，），若，且对任意的，均有，则满足的所有n的值为______．

【答案】或2024

【分析】计算得到为周期数列，考虑，，三种情况，代入数据计算得到答案.

【详解】当时，，当时，，

当时，，当时，，

当时，，当时，，

故为周期数列，，，

当时，，所以，

当时，，所以，

当时，，所以（舍去），

综上所述：或2024．

故答案为：或2024

二、单选题

13．用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ）

A．1 B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据数学归纳法求解即可.

【详解】表达式的左边是从开始加到结束，

所以验证成立时等式左边计算所得项是.

故选：D

14．某中学高三年级共有学生1600人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生12人，则该校高三年级共有女生（    ）

A．1260 B．1230 C．1120 D．1140

【答案】C

【分析】由男生所占抽取样本容量的比例求出男生的总人数，进而求出女生总人数.

【详解】由男生人数为，所以女生人数为.

故选：C．

15．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.

【详解】设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，

由条件可知：，

又由图形可知：，所以，

所以，所以是首项为，公比为的等比数列，

所以，所以，所以，

所以最小的正三角形的面积为：，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.

16．已知平面经过圆柱的旋转轴，点是在圆柱的侧面上，但不在平面上，则下列个命题中真命题的个数是（     ）

①总存在直线且与异面；    

②总存在直线且；

③总存在平面且；      

④总存在平面且.

A．l B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据空间位置关系可直接判断.

【详解】解：由已知得直线与平面可能平行，也可能相交，

所以一定存在直线，且与异面，故①正确；

一定存在直线，且，故②正确；

一定存在平面，且，故③正确；

当直线与平面相交时，不存在存在平面，且，故④错误；

所以4个命题中真命题的个数是3个.

故选：C

三、解答题

17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.

(1)求该圆锥的体积；

(2)求直线CD与平面PAB所成角的大小.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.

（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.

【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高，

所以圆锥的体积为.

（2）连接，由于是的中点，所以，

由于是弧的中点，所以，

根据圆锥的几何性质可知，

所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.

在中，，所以.

即直线CD与平面PAB所成角的大小为.

18．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为.

（1）求乙离子残留百分比直方图中的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.

【答案】(1) ，；(2) ，.

【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数.

【详解】(1)由题得，解得，由，解得.

(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为，

乙离子残留百分比的平均值为

【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.

19．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.

(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；

(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；

（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得.

【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元，

所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，

所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，

所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，

因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元，

所以.

（2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加，

所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，

所以从第七年起，第年的养护保险费用为，

所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，

所以当时，使用年后，养护保险费的年平均费用为.

经计算器计算得时，最小.

20．已知梯形中，，，，，分别是，上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面（如图）．

（1）当时，①证明：平面；②求二面角的余弦值；

（2）三棱锥的体积是否可能等于几何体体积的？并说明理由．

【答案】（1）①见解析，②；（2）当时，三棱锥的体积等于几何体体积的.

【分析】（1）①可证，从而得到平面.②如图，在平面中，过作且交于.在平面中，过作且交于，连接.可证为二面角的平面角，求出和的长度后可求二面角的余弦值.

（2）若存在，则，利用体积公式可得关于的方程，解方程后可得，故假设成立.

【详解】（1）①在直角梯形中，因为，故，

因为，故.

所以在折叠后的几何体中，有，

而，故平面.

②如图，在平面中，过作且交于.

在平面中，过作且交于，连接.

因为平面平面，平面平面，

平面，故平面，

因为平面，故，而，

故平面，又平面，故，

所以为二面角的平面角，

在平面中，因为，故，

又在直角梯形中，且，

故，故四边形为平行四边形，

故，

在直角三角形中，，因为三角形内角，

故，故，

故，因为三角形内角，故.

所以二面角的平面角的余弦值为.

（2）若三棱锥的体积等于几何体体积的，

则即.

由（1）的证明可知，平面，

同理可证平面，.

故，其中为直角梯形的面积.

而，

在直角梯形中，过作的垂线，与分别交于，

则，故，所以，

所以.

所以.

又，

故，所以，

解得，

故当时，三棱锥的体积等于几何体体积的.

【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算. 又三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计算.

21．设数列与满足：的各项均为正数，.

（1）设，若是无穷等比数列，求数列的通项公式；

（2）设.求证：不存在递减的数列，使得是无穷等比数列；

（3）当时，为公差不为0的等差数列且其前的和为0；若对任意满足条件的数列，其前项的和均不超过，求正整数的最大值.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）最大值为8.

【解析】（1）运用等比数列的中项性质，解方程可得公比，所求通项公式；

（2）运用反证法证明，结合数列的单调性和余弦函数的值域，可得矛盾，即可得证；

（3）运用等差数列的等差中项的性质和求和公式，解不等式可得所求最大值．

【详解】（1）解：，，公比为

由解得，

数列的通项公式为.

（2）证明：反证法，设存在

则，此时

公比

，考虑不等式

当时，即时，

有(其中表示不超过x的最大整数)，

这与的值域为矛盾

假设不成立，得证

（3）解：，

由等差数列性质

即，特别地，，

现考虑的最大值

为使取最大值，应有，

否则在中将替换为，且，

将得到一个更大的

由可知，特别地，；

于是

解得，所以的最大值为8.

【点睛】本题考查等比数列和等差数列的性质和通项公式、求和公式的运用，考查运算能力和推理能力，以及反证法的应用．