59完全平方公式在几何图形中的应用（基础题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

59完全平方公式在几何图形中的应用（基础题）-2022-2023学年下学期七年级数学期中复习高频考点专题练习【苏科版-江苏省期中真题】

一、单选题

1．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则长方形的面积是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）图1，是一个长为、宽为（）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

3．（2022春·江苏苏州·七年级星海实验中学校考期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为100，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．（2022春·江苏镇江·七年级镇江市外国语学校校考期中）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边在同侧作正方形，若AB＝8，两正方形的面积和为48，则△AFC的面积是（  ）

A．8 B．6 C．4 D．2

5．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（    ）

A． B．

C． D．

6．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式，例如图甲可以用来解释．那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2022春·江苏泰州·七年级校联考期中）如图是正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类．现有A类卡片4张，B类卡片1张，C类卡片4张，则这9张卡片能拼成的正方形的边长为（　　）

A．a+2b B．2a+b C．2a+2b D．a+b

8．（2022春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．（2022秋·江苏泰州·七年级校考期中）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边长是（   ）

A．m+3 B．m+6

C．2m+3 D．2m+6

二、填空题

10．（2022春·江苏无锡·七年级校考期中）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a＋b＝7，ab＝10，则阴影部分的面积为____．

11．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）如图，点C是线段上的一点，分别以为边向两侧作正方形．设，两个正方形的面积和，则图中的面积为_____．

12．（2022春·江苏扬州·七年级统考期中）如图，正方形的边长为，其内有一长方形，此长方形的长为，宽为a．则图中阴影部分的面积为_______．

13．（2022春·江苏泰州·七年级统考期中）如图，用图1中2张B型纸片（长为a、宽为b的长方形）按图2所示的方法放置于1张A型纸片（边长为α的正方形）上，已知B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，则B型纸片的周长是_____________．

14．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图所示的大正方形，若图中每个小长方形的面积均为4，大正方形的面积为24，则的值为______．

15．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片1张，边长为的正方形卡片9张，边长分别为、的卡片6张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．

16．（2022秋·江苏盐城·八年级校考期中）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为____．

三、解答题

17．（2022秋·江苏无锡·七年级统考期中）如图是个直角三角形和个小正方形，直角三角形的三条边长分别是、、其中、是直角边．正方形的边长分别是、．

(1)将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：___________；方法二：___________；

(2)观察图，试写出、、、这四个代数式之间的等量关系；

(3)请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是，图②的大正方形面积是，求的值．

(4)利用你发现的结论，求的值．

18．（2022春·江苏淮安·七年级统考期中）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式：_____；

(2)解决问题：如果a+b=5，ab=3；求a2+b2的值；

(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求这个长方形的面积．

19．（2022春·江苏南京·七年级南师附中新城初中校考期中）许多代数恒等式可以借助图形的面积关系直观表达．如图①，根据图中面积关系可以得到：（2m＋n）（m＋n）＝2m2＋3mn＋n2．

(1)如图②，根据图中面积关系，写出一个关于m、n的等式         ；

(2)若，，求a＋b的值．

参考答案：

1．D

【分析】根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．

【详解】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：

，

故选D．

【点睛】本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．

2．C

【分析】根据图2中阴影部分的面积图2的大正方形的面积图2中四个长方形的面积的和进行求解即可．

【详解】解：图2中四个长方形的面积的和图1的长方形的面积，

图2的大正方形的面积，

图2中阴影部分的面积图2的大正方形的面积图2中四个长方形的面积的和

，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

3．D

【分析】利用图形，找到x＋y与x−y的值，根据完全平方公式运算即可．

【详解】解：∵，

∴，故选项A正确，不合题意；

∵，

∴，故选项B正确，不合题意；

∵①

②

∴得，故选项D错误，符合题意；

得，故选项C正确，不合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查的是完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键就是利用两个完全平方公式进行恒等变形．

4．C

【分析】设AC=x，BC=y，则x+y=8，x2+y2=48，根据完全平方公式求出xy=8，然后根据三角形的面积公式可求△AFC的面积．

【详解】解：设AC=x，BC=y，则x+y=8，x2+y2=48，

∴(x+y)2=82，

∴x2+2xy+y2=64，

∴2xy=16，

∴xy=8，

∴△AFC的面积=xy=4．

故选C．

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．

5．C

【分析】由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．

【详解】解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，

所以，

故选：C．

【点睛】此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．

6．D

【分析】根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积再加上右上角小正方形的面积列式整理即可得解．

【详解】解：空白部分的面积：（a-b）2，

还可以表示为：a2-2ab+b2，

所以，此等式是（a-b）2=a2-2ab+b2．

故选：D．

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是利用两种方法表示出空白部分的面积．

7．B

【分析】根据题意得到所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，则所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab，运用完全平方公式得到所求正方形的面积＝（2a+b）2，则所求正方形的边长为2a+b．

【详解】解：∵所求的正方形的面积等于4张正方形A类卡片、1张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，

∴所求正方形的面积＝4a2+b2+4ab＝（2a+b）2，

∴所求正方形的边长为2a+b．

故选：B．

【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意求出大正方形的面积是本题的关键．

8．C

【分析】设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．

【详解】解：设2为a，3为b，

则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，

4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，

6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，

∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）

∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，

故选C．

【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．

9．C

【分析】由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．

【详解】设拼成的矩形一边长为x，

则依题意得：（m+3）2－m2=3x，

解得，x=（6m+9）÷3=2m+3，

故选：C．

10．

【分析】由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出答案．

【详解】解：根据题意得：当a+b=7，ab=10时，

S阴影=a2-b（a-b）

=a2-ab+b2

=[（a+b）2-2ab]-ab

=（72-2×10）-×10

=

故答案为：．

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解题的关键．

11．4

【分析】设，由题意得：，再利用完全平方公式的变形求解即可得到答案．

【详解】解：设，

由题意得：，

∵，

∴，

∴，

∴的面积．

∴图中的面积为4．

故答案为：4．

【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，掌“”是解本题的关键．

12．

【分析】图中阴影部分的面积等于正方形的面积减去长方形的面积，再列式计算即可．

【详解】解：图中阴影部分的面积为

故答案为：

【点睛】本题考查的是多项式的乘法与图形面积之间的关系，掌握“利用完全平方公式进行简便运算”是解本题的关键．

13．12

【分析】根据图形分别表示出阴影部分面积以及B型纸片的面积，根据完全平方公式变形即可求解．

【详解】解：∵B型纸片的面积是7，阴影部分的面积是8，

∴，，

，

，

B型纸片的周长是，

故答案为：．

【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，利用完全平方公式变形求值是解题的关键．

14．8

【分析】根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去中间小正方形的面积，即可写出等式．

【详解】∵图中每个小长方形的面积均为4，大正方形的面积为24，

∴中间小正方形的面积为：

，

即的值为8．

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查问题推理能力，解答本题关键是根据图示找出大正方形，长方形，小正方形之间的关系．

15．a+3b

【分析】1张边长为a的正方形卡片的面积为a2，6张边长分别为a、b的矩形卡片的面积为6ab，9张边长为b的正方形卡片面积为9b2，则16张卡片拼成一个正方形的总面积=a2+6ab+9b2=（a+3b）2，则大正方形的边长为：a+3b．

【详解】解：由题可知，16张卡片总面积为a2+6ab+9b2，

∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，

∴新正方形边长为a+3b，

故答案为：a+3b．

【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用完全平方公式即可得出大正方形的边长．

16．27

【分析】根据题意得出a2+b2=15，（b-a）2=3，图2中大正方形的面积为：（a+b）2，然后利用完全平方公式的变形求出（a+b）2即可．

【详解】解：由题意可得在图1中：a2+b2=15，（b-a）2=3，

图2中大正方形的面积为：（a+b）2，

∵（b-a）2=3

a2-2ab+b2=3，

∴15-2ab=3

2ab=12，

∴（a+b）2=a2+2ab+b2=15+12=27，

故答案为：27．

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方式的形式是解题关键．

17．(1)，

(2)

(3)

(4)

【分析】（1）方法一：计算个正方形的面积个三角形的面积；方法二：大正方形的面积边长的平方；

（2）根据两种方法都是计算的大正方形的面积，得到面积相等；

（3）用（2）问中的等量关系变形即可得出答案；

（4）运用（2）问中的等量关系简便计算即可．

【详解】（1）解：方法一：4个完全一样的直角三角形的面积是，2个小正方形面积是，

∴围成大正方形的面积是：；

方法二：围成大正方形的边长是，

∴大正方形的面积是：，

故答案为：，．

（2）解：根据（1）中两种方法都是计算的大正方形的面积，且相等，

∴，

故答案为：．

（3）解：由题意得，，，

∴，

∵，

∴，

故答案为：．

（4）解：

，

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形面积，列代数式并求值，有理数的混合运算，根据面积相等得到等量关系是解题的关键．

18．(1)（a+b）2=a2+b2+2ab

(2)19

(3)长方形的面积为8

【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；

（2）根据完全平方公式变形即可求解；

（3）根据矩形的周长和面积公式以及完全平方公式即可得到结论．

【详解】（1）解：大图形的面积为（a+b）2；

小图形面积和为a2+2ab+b2．

∴写出一个我们熟悉的数学公式为：（a+b）2=a2+2ab+b2．

故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；

（2）解：∵a+b=5，ab=3，

∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；

（3）解：设8-x=a，x-2=b，

∴a+b=8-x+x-2=6，a2+b2=（8﹣x）2+（x﹣2）2=20，

∵（a+b）2=a2+2ab+b2，即62=20+2ab，

∴ab=8，

∴这个长方形的面积=（8-x）（x-2）=ab=8．

【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

19．(1)

(2)

【分析】（1）由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，可得等式．

（2）由（1）中等式，可得，将，代入，进而可得答案．

【详解】（1）解：由图②中大正方形的面积等于各个小长方形和小正方形的面积之和，

可得等式为．

故答案为：．

（2）解：，，

，

．

【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景、数形结合思想，熟练掌握完全平方公式并正确列方程组是解答本题的关键．