2023届高三寒假数学二轮微专题45讲 35.极点极线结构及非对称韦达定理

极点极线结构及非对称韦达定理

1.基础知识:极点极线

椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（a＞b＞0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.

从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:

（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?

（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?

（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？

如图，若点在曲线外，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，延长交于点,则直线即为点所对应的极线.

假设椭圆方程为

（1）焦点与准线：点与直线；（2）点与直线

2.非对称韦达定理

在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理、、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.

3.典例

（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

解析：由椭圆方程可得：， ，

，

，

椭圆方程为：

（2）证明：设，

则直线的方程为：，即：

联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：

，解得：或

将代入直线可得：

所以点的坐标为.

同理可得：点的坐标为

当时，

直线的方程为：，

整理可得：

整理得：

所以直线过定点．

当时，直线：，直线过点．

故直线CD过定点．

例2．已知椭圆：，，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．

解析：（1）由题意得，故椭圆为，又点在上，所以，得，，故椭圆的方程即为；

（2）由已知直线过，设的方程为，

联立两个方程得，消去得：，

得，设，，则，（*），因为，故，将（*）代入上式，可得：，∴直线与斜率之积为定值．