2023年中考数学模拟测试试卷（四）（含答案）

这是一份2023年中考数学模拟测试试卷（四）（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学模拟测试试卷（四）
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2022的相反数的倒数是（　　）
A. -2022 B. 2022 C. D.
2. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ）
A. 24 B. 20 C. 10 D. 5
3. 如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，该几何体的左视图是（　　）

A B C D
4. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. 2a3b÷b=2a3 C.（2a2）4=8a8 D.（-a-b）2=a2-b2
5. 如图，输入数值1922，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）
A. 1840 B. 1922 C. 1949 D. 2022
是
否
输入
-1840
>1000
+50
×（-1）
+100
输出
A
B
C
O

第5题图 第6题图
6. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=，∠ACB=60º，连接OA，OB，则的长是（ ）
A. B. C. D. π
7. 甲、乙、丙、丁4名同学参加跳远测试各10次，他们的平均成绩及其方差如下表：
测试者
甲
乙
丙
丁
平均成绩（单位：m）
6.2
6.0
5.8
6.2
方 差
0.32
0.58
0.12
0.25
若从其中选出1名成绩好且发挥稳定的同学参加学校运动会，则应选（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. 7 9. 如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A. 5 B. C. 6 D.

第9题图 第10题图
10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间.下列结论：①>0；②﹣2 其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：x3+2x2+x= ____________.
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB.若将△ABO绕点B顺时针旋转得到△A'BO'，则点的坐标为____________.

第12题图 第14题图 第16题图
13. 计算：____________.
14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则S△DAC∶S△ABD=____________.
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2-9），且实数m，n满足m-n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为____________.
16. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A，D，PD的延长线与BC的延长线交于点E.已知AB=2，则图中阴影部分的面积为____________.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （6分）计算：.
18. （8分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知识竞赛活动.某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其等级对应的分值分别为100分，90分，80分，70分，将这两个班学生的最后成绩及等级分析整理，绘制成如下统计图：

第18题图 第19题图
（1）这次预赛中，二班成绩在B等级及以上的人数是多少？
（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A等级的4人中有男生、女生各2人，二班成绩A等级的都是女生.要求从这两个班A等级的学生中随机抽取2人参加学校比赛，用列表或画树状图法求抽到的2人中至少有1人是男生的概率.
19. （8分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图，测得斜坡BE的坡度i=1∶4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30º，在E处测得树CD顶部D的仰角为60º，求树CD的高度.（结果保留根号）
20. （8分）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌洗衣液高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的.销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶.
（1）求甲、乙两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
21. （8分）如图，点A（a，2）在反比例函数的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数的图象于点B，已知AC=2BC.
（1）求直线的解析式；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若D为反比例函数图象上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD的中点时，求的面积.

第21题图 第22题图
22. （10分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为F，连接CF，设∠ABE=α.
（1）求∠BCF的度数（用含α的式子表示）；
（2）过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG，判断DG与CF的位置关系，并说明理由.
23. （10分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E为BC的中点，AE⊥DE于点E，O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE的长为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG.
（1）求证：△ECD∽△ABE；
（2）求证：⊙O与AD相切；
（3）若BC=6，AB=3，求⊙O的半径和阴影部分的面积.

① ②
第23题图 第24题图
24. （12分）如图①，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OA=OC=4OB，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若动点P在过A，B，C三点的抛物线上，是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，作ED⊥AC于点D，当0
参考答案
2022年中考模拟试卷（四）
一、1. C　2. B　3. C　4. B　5. D　6. C　7. D　8. C　9. A　10. B
二、11. x（x+1）2　12.（7，4）　13. 1 　14. 1∶2 15. 　 16. 5-π
三、17. 解：原式=2-1+3-4×1=0.
18. 解：（1）因为两个班参加比赛的人数相同，由条形统计图知一班参赛人数为20人，所以二班参赛人数为20人，由扇形统计图知B等级及以上的人数为20×10%+20×35%=9（人）.
（2）一班成绩的平均数为（分）.
二班成绩为100分的人数是20（人），成绩为90分的人数是20（人），成绩为80分的人数是20（人），成绩为70分的人数是20（人）.将二班学生的成绩按从小到大顺序排列，处于最中间位置的分数是80分，80分，所以二班成绩的中位数为80分.
（3）设一班成绩为A等级的4人分别用男1，男2，女1，女2表示，由（2）知二班成绩为A等级有2人，分别用女3，女4表示，列表如下：

男1
男2
女1
女2
女3
女4
男1

（男2，男1）
（女1，男1）
（女2，男1）
（女3，男1）
（女4，男1）
男2
（男1，男2）

（女1，男2）
（女2，男2）
（女3，男2）
（女4，男2）
女1
（男1，女1）
（男2，女1）

（女2，女1）
（女3，女1）
（女4，女1）
女2
（男1，女2）
（男2，女2）
（女1，女2）

（女3，女2）
（女4，女2）
女3
（男1，女3）
（男2，女3）
（女1，女3）
（女2，女3）

（女4，女3）
女4
（男1，女4）
（男2，女4）
（女1，女4）
（女2，女4）
（女3，女4）

由上表，知共有30种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中随机抽取2人至少有1个男生的结果有18种，所以P（随机抽取2人至少有1个男生）=.
19. 解：过点B作BF⊥CD于点F，设DF=x米.
在Rt△DBF中，tan∠DBF=，则BF=（米.
因为，AE=8米，所以AB=2米.由题意，易得四边形ABFC是矩形，所以CF=AB=2米.
在Rt△DCE中，DC=DF+CF=（2+x）米，tan∠DEC=，所以EC=米.
因为BF-CE=AE，所以，解得.所以CD=+1+2= 米.
答：树CD的高度是米.
20. 解：（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元/瓶，则乙品牌洗衣液的进价为（x-6）元/瓶.
根据题意，得，解得x=30.
经检验，x=30是所列分式方程的解.
则x-6=24.
答：甲品牌洗衣液的进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液的进价为24元/瓶.
（2）设购进甲品牌洗衣液瓶，利润为y元，则购进乙品牌洗衣液（120-m）瓶.
根据题意，得30m+24（120-m）≤3120，解得m≤40.
由题意，得y=（36-30）m+（28-24）（120-m）=2m+480.
因为2>0，所以y随m的增大而增大.所以当m=40时，y取得最大值，y最大值=2×40+480=560（元）.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时，两种洗衣液售完后所获利润最大，最大利润是560元.
21. 解：（1）因为点A（a，2）在反比例函数的图象上，所以2a=4，解得a=2.所以A（2，2）.
所以AC=2.
设直线AO的解析式为y=mx.将A（2，2）代入，得2m=2，解得m=1.所以直线AO的解析式为y=x.
（2）因为AB∥x轴，AC=2BC=2 ，所以BC=1.所以B（-1，2）.所以k=-2.所以反比例函数的解析式为
（3）设点D的坐标为.因为A（2，2），E为AD的中点，所以xE=（2+n）=0，则n=-2.
所以D（-2，1），E.所以OE=.所以S△OAD=S△ODE+S△OAE=OE•=××（2+2）=3.
22. 解：（1）连接BF.
因为点A关于直线BE的对称点为F，所以BE是AF的垂直平分线.所以BE⊥AF，AB=FB.所以∠ABE=∠FBE.
因为∠ABE=α，所以∠ABF=2α.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB=CB，∠ABC=90º.所以∠FBC=90º-2α，AB=CB=FB.
所以∠BCF=∠BFC==45º+α.
（2）CF∥DG.理由：连接AC.
由（1）知，∠ABE=∠FBE=α，∠BFC=∠BCF=45º+α，BE⊥AF，所以∠BAF=∠AFB=90º-α.所以∠AFC=∠AFB+∠BFC=90º-α+45º+α=135º.所以∠CFG=180º-∠AFC=45º.
因为CG⊥AG，所以∠FGC=90º.所以∠FCG=180º-∠FGC-∠CFG=45º.所以△CFG是等腰直角三角形.
所以.
因为四边形ABCD是正方形，所以∠ADC=90º，AD=CD，∠ACD=45º.所以△ADC是等腰直角三角形.
所以.因为∠FCG=∠ACD，所以∠DCG=∠ACF.又，所以△DGC∽△AFC.
所以∠DGC=∠AFC=135º.所以∠DGA=∠DGC-∠AGC=135º-90º=45º.所以∠DGA=∠CFG=45º.所以CF∥DG.
23.（1）证明：因为∠ABE=∠C=90°，AE⊥DE，所以∠DEC+∠AEB=90°，∠EAB+∠AEB=90°.所以∠DEC=∠EAB.
所以△ECD∽△ABE.
（2）证明：过点O作OM⊥AD，垂足为M，延长DE，AB交于点N.
因为∠ABE=∠C=90°，所以CDBN，∠NBE=∠C=90°.所以∠CDE=∠N.
因为E为BC的中点，所以CE=BE.所以△DCE≌△NBE.所以DE=NE.
因为AE⊥DN，所以AD=AN.所以∠DAE=∠NAE.
因为AG是⊙O的切线，所以OG⊥AB.
因为∠AMO=∠AGO=90°，所以OM=OG.所以OM是⊙O的半径.所以⊙O与AD相切.
（3）解：连接OF.设⊙O的半径为r.因为BC=6，所以BE=3.在Rt△ABE中，因为AB=，所以tan∠EAB=.所以∠EAB=30°.所以∠AEB=60°.
因为OG⊥AB，所以∠OGA=90°.所以∠AOG=60°.所以AO=2OG，即AO=2r.
因为AE=AO+OE=3r=6，所以r=2.
因为∠OEF=60°，OE=OF，所以△OEF是等边三角形.所以∠EOF=60°，EF=OF=2.所以BF=3-2=1.
所以∠FOG=180°-∠AOG-∠EOF=60°.
在Rt△AOG中，AG=OG=，所以BG=AB-AG=.
所以S阴=S梯形OFBG-S扇形OFG==.

第23题图
24. 解：（1）因为点B的坐标为（1，0），所以OB=1.
因为OA=OC=4OB，所以OA=OC=4OB=4.所以C（0，4），A（﹣4，0）.
因为C（0，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，所以c=4.
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4.将A（﹣4，0），B（1，0）代入，得解得
所以抛物线的解析式为y=﹣x2﹣3x+4.
（2）存在.
当C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足为M，如图①所示.
因为∠ACP1=90°，所以∠MCP1+∠ACO=90°.因为∠ACO+∠OAC=90°，所以∠MCP1=∠OAC.
因为OA=OC，所以∠MCP1=∠OAC=45°.所以∠MCP1=∠MP1C.所以MC=MP1.
设点P1（m，﹣m2﹣3m+4），则﹣m+4=﹣m2﹣3m+4，解得m1=0（舍去），m2=﹣2.
当m=﹣2时，﹣m2﹣3m+4=6，即P1（﹣2，6）；
当A为直角顶点时，过点A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，交y轴于点F，作P2N⊥y轴于点N，如图②所示.
所以P2N∥x轴.
因为∠CAO=45°，所以∠FP2N=∠FAO=45°.所以∠P2FN=∠AFO=45°.所以P2N=NF，OF=OA.
设P2（n，﹣n2﹣3n+4），则n+4=﹣（﹣n2﹣3n+4），解得n1=﹣4（舍去），n2=2.
当n=2时，﹣n2﹣3n+4=﹣6，即P2（2，﹣6）.
综上可得，所有符合条件的点P的坐标是（2，﹣6），（﹣2，6）.

① ②
第24题图
（3）过点E作y轴的平行线交AC于点Q.
由A（﹣4，0），C（0，4），可得直线AC的解析式为y=x+4.
设点E的坐标为（x，﹣x2﹣3x+4），其中﹣4 因为E是直线AC上方抛物线上的一个动点，所以EQ=（﹣x2﹣3x+4）﹣（x+4）=﹣x2﹣4x.
所以EQ=﹣（x+2）2+4，即当x=﹣2时，点E的坐标为（﹣2，6），此时EQ的最大值为4.
又因为∠CAO=∠OCA=45°，EQ∥y轴，所以∠EQD=∠OCA=45°.所以△EQD是等腰直角三角形.所以EQ=ED.
又因为0 因为当x=﹣2时，EQ有最大值为4，此时ED=，所以x≠﹣2.
所以当0