高一下学期数学微专题25讲 03.三角形“四心”及应用

3.三角形“四心”与应用

一．重要结论

1.重心：三角形三条中线的交点，重心为

证明：是所在平面内一点，=0点G是△ABC的重心.

证明:作图如右，图中

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.

将代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略））

重心性质1．是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心.

证明：

∵G是△ABC的重心∴=0=0，

即，由此可得.（反之亦然（证略））

重心性质2. 如图，已知点G是的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且，，则.

证明：点G是的重心，知O，

得O，有.又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在，使得，

 有=，

得，于是得

2．外心：三角形三条中垂线的交点.外心

外心性质：如图，为的外心，证明：

1.；，同理可得等.

2.，同理可得等.

3.，同理可得等.

证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.

附：如图，直角三角形中，.          

3．内心.

三角形三条角平分线的交点.内心为

内心性质.是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足

，则P点的轨迹一定通过的（    ）

A.外心      B.内心      C.重心          D.垂心

解：因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，  又，则原式可化为，由菱形的基本性质知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.

4．垂心：三角形三条高线的交点.垂心为

垂心性质.点是△ABC所在平面内任一点，点是△ABC的垂心.由,

同理，.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））

二．典例分析

1．若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件，则O是△ABC的（     ）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

解析：且，，

化简得，设，又与分别为和方向上的单位向量，

平分，又共线，故平分，同理可得平分，平分，故O是△ABC的内心.故选：C.

2．在中，向量与满足，且，则为（       ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形

解析：∵，∴的角平分线垂直于，根据等腰三角形三线合一定理得到为等腰三角形，又∵，∴，则为等腰直角三角形，

故选：D.

3．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（       ）

A． B． C． D．1

解析：如图，连接AD并延长交BC与点M,

设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,因为，所以设，

因为AM与向量AD共线，设,,

所以，即，

,所以故选：A

4．已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（       ）

A． B．2 C． D．

解析：表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，

所以点在的平分线上，即为的角平分线，

在中，，，利用正弦定理知：

同理，在中，

，，

其中，分析可知当时，取得最小值，即

5．已知点是锐角的外心，，，，若，则（       ）

A．6 B．5 C．4 D．3

解析：

如图所示，过点分别作，，垂足分别为，；则，分别为，的中点，∴，

；又，∴，

∵，∴，，

化为①，②，联立①②解得，；

∴．故选：B

6．已知外接圆圆心为， G为所在平面内一点，且．若，则（       ）

A． B． C． D．

解析：取的中点，连接AD， 由，知为的重心，则G在AD上，所以，而，

所以，，，四点共线，所以，即，

不妨令，则，．

所以．

故选：C．

7．设H是的垂心，且，则______.

解析：是的垂心

由题设得.再由，得，.故.故答案为:

8．已知点为三角形所在平面内的一点，且满足，，则___．

解析：∵， ，∴，

两边同时平方可得，，∴，

∵，则

，故答案为．