2022-2023学年湖南省湘潭市高二下学期期末数学试题（解析版）

湘潭市2022年高二期末考试

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，集合，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】将集合化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为集合，

则

故选:A

2. 直线的倾斜角为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先根据直线方程求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】因为直线，

所以直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，则，

因为，

所以

故选：D.

3. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积．

【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为，

则，故．

所以．

故选：B．

4. 已知函数，则（）

A.  B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

故选：C

5. 定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得在上单调递减，再根据偶函数的性质得到在上的单调性，根据单调性与奇偶性判断即可.

【详解】解：因为对任意的，有，

所以在上单调递减，又为偶函数，

所以在上单调递增，则，

又，所以.

故选：A

6. 已知奇函数，则的值为（）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的性质求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【详解】对于函数，令，解得，所以函数的定义域为，

又函数为奇函数，则，即，

即

，

所以，即，

所以

.

故选：B

7. 已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，且椭圆C的离心率为，点P是椭圆C上的一点，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设是椭圆上的点，设，求出为定值，从而能求出的值，然后根据求解.

【详解】设代入椭圆方程，则

整理得：设，

又，,所以

而，所以，所以

故选：B

8. 已知双曲线的右焦点为，M是双曲线的左支上的一点，点，垂足为D，，且，则双曲线的离心率为（）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义得，，焦点三角形中由余弦定理可得进而由勾股定理里即可得，由齐次式即可求解.

【详解】设左焦点为,在直角中，，

设则，，故焦点三角形中，

，解得，由于，故舍去，只取

在直角中，，故，

化简得，进而，解得或（舍去），故，

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知i为虚数单位，复数，则（）

A. 的共轭复数为 B.

C. 为实数 D. 在复平面内对应的点在第一象限

【答案】BD

【解析】

【分析】根据共轭复数的定义可判断A，根据模长的计算公式可判断B，根据复数的加法以及乘法运算即可判断CD.

【详解】对于A,故A错误，

对于B，则，故，故B正确，

对于C，为虚数，故C错误，

对于D，，对应的点为，故在复平面内对应的点在第一象限，故D正确，

故选：BD

10. 下列求导运算正确的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A, ,故A错误，

对于B，，故B正确，

对于C，，故C正确，

对于D，，故D错误，

故选：BC

11. 已知等差数列，其前n项和为，则下列说法正确的是（）

A.  B.

C. 的最小值为6 D. 数列是公比为2的等比数列

【答案】AB

【解析】

【分析】对A,B选项由等差数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，从而得到，，对C选项，，利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条件，对D选项计算的值即可.

【详解】，即，解得，

，，故A,B正确，

，（当且仅当，即时，取“=”，但），

所以当时，，

当时，，∴的最小值为，故C错误，

∵，

∴是公比为4的等比数列，故D错误.

故选：AB.

12. 已知抛物线C：，点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点，则下列说法正确的是（）

A. 抛物线C的准线方程为

B. 若，则△PMF的面积为2

C. |的最大值为

D. △PMF的周长的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为，即可判断A，根据抛物线定义得到，故点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B，利用三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，计算即可判断C，三角形的周长，再结合抛物线定义即可求出的最小值，即得到周长最小值.

【详解】，，，准线方程为，故A正确；

根据抛物线定义得，，,

轴，当时，，

若点在第一象限时，此时,

故，的高为1，故，

若点在第四象限，此时，故，

的高为1，故，故B错误；

，,故C正确；

（连接，并延长交于抛物线于点，此时即为最大值的情况，

图对应如下）

过点作准线，垂足为点，

周长，

若周长最小，则长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，和最小，

此时,

故周长最小值为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______.

【答案】##

【解析】

【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解．

【详解】因为，

所以，

，

故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.

故答案为：.

14. 在中，，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】根据正弦定理可知，代入题中数据，可知，所以

故答案为：

15. 已知等比数列，其前项和为，，，则满足的所有的和为______.

【答案】

【解析】

【分析】首先求出公比，即可得到、，即可得到，再令，即可得到，从而求出的取值范围，再根据，即可求出的值.

【详解】在等比数列中，其前项和为，，，

所以，则，

所以，则，

所以，

令，即，即，所以，

因为，所以或，

所以满足的所有的和为.

故答案为：

16. 已知点，若直线上存在点使得成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】设，得，得在圆的内部，得圆心到直线的距离小于半径2，即可解决.

【详解】由题意得，，直线，

设，

所以,

所以，

化简得，

所以在圆的内部，

所以圆与直线相交，

所以圆心到直线的距离小于半径2，

所以，解得，

所以实数的取值范围是

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据公式法求解即可；

（2）由于，根据裂项相消求和即可解决.

【小问1详解】

由题知，等差数列的前项和为，

所以，即，

解得，

所以，

所以的通项公式为；

【小问2详解】

由（1）得，，

所以，

所以，

所以数列的前项和.

18. 中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段：，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求m的值并估计这60名学生成绩的中位数（中位数保留一位小数）；

（2）从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率.

【答案】（1），中位数约为

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则求出中位数；

（2）利用分层抽样各层抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可得，解得，

因为，，所以中位数位于之间，

设中位数为，则，解得，

即中位数约为.

【小问2详解】

解：由题意中抽取人，

中抽取人，中抽取人，

分别记作、、、、、，

从中选取人，则可能结果有、、、、、、、、

、、、、、、共个结果，

其中满足这人考核成绩来自同一分数段有、、、共个结果，

所以这人考核成绩来自同一分数段的概率.

19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）当线段的中点的纵坐标为3时，求直线的斜率．

【答案】（1）

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，当轴时，，两点的横坐标，代入抛物线计算可得，即可得到答案；

（2）设，，，由，两点都在上，得和，可得，由中点的纵坐标为3得，从而可求得直线的斜率．

【小问1详解】

由题意知，，当轴时，，两点的横坐标，

代入得，，则，解得，

所以抛物线的标准方程为；

【小问2详解】

根据题意得，直线的斜率存在，

设，，，

，两点都在上，则有，，

则，即，

又中点的纵坐标为3，则，，

则，

即直线的斜率．

20. 如图，在四棱锥中，底面，底面是正方形，与相交于点E，点F在线段上，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的垂直关系证明线线垂直，即可由线面垂直的判断求证，

（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则

故,由得,所以,

，，

由于因此，

进而,又平面,

故平面；

【小问2详解】

，

设平面的法向量，，，

则，取，得，

平面的法向量，

则，取，得，

设平面与平面的夹角，

则．

．

21. 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）根据，，以及，求解即可；

（2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解.

【小问1详解】

由题意得：，，，

解得：，，，

双曲线的标准方程为．

【小问2详解】

由题意可知，直线的斜率一定存在，

设直线的方程为，，，，，

联立方程组，消去整理得，

则，

原点到直线的距离为，

所以，

解得或，故或，

故直线方程为或

22. 已知椭圆过点，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点是圆上的一点，过点作圆的切线交椭圆于，两点，证明：以为直径的圆过原点．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；

（2）当直线的斜率不存在时，得到直线的方程，求出点的坐标，可证得；当直线的斜率存在时，设方程为，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与向量数量积运算的坐标表示，证明即可．

【小问1详解】

由题意知，解得，，

所以椭圆的标准方程是；

【小问2详解】

当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．

若直线的方程为，不妨设，，所以，所以；

若直线的方程为，不妨设，，所以，所以；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

又直线与圆相切，所以，即．

设，，

由，得，

所以，

，，

所以，所以．

综上，以为直径的圆过原点．