2022-2023学年广西玉林市陆川县实验中学高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年广西玉林市陆川县实验中学高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．直线y=x+1的倾斜角是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【详解】∵直线的斜率是，∴，∵，∴它的倾斜角为，故选B.

2．已知圆，则圆心坐标、圆的半径分别是（    ）

A．，3 B．，3 C．，3 D．，9

【答案】A

【分析】将圆的一般式化为标准式，写出圆心和半径.

【详解】变形为，

故圆心为，半径为3.

故选：A

3．若直线的方向向量为,平面的法向量为,则

A． B． C． D．与相交

【答案】C

【分析】由已知得，从而得到l⊥．

【详解】解：∵直线l的方向向量为，

平面的法向量为，

∴，∴，

∴．

故选C．

【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

4．已知，，则满足的的值是（    ）

A． B．0 C．或0 D．或0

【答案】C

【分析】直接由直线的一般方程平行的公式求解即可.

【详解】由可得，得或,

当时，，，符合题意；

当时，，，符合题意；

故满足的的值为0或．

故选：C.

5．一辆卡车宽为2.7m，要经过一个半径为4.5m得半圆形隧道（双车道，不得违章），则这辆卡车的平顶车篷蓬顶距离底面得高度应低于（       ）

A．4.5m B．1.4m C．3.0m D．3.6m

【答案】D

【分析】如图所示，半圆的方程为，由，可设

代入半圆的方程解得即可.

【详解】如图所示，半圆的方程为，，

设 代入半圆的方程得，解得，

因此这辆卡车的平顶车蓬距离地面的高度应小于m.

故选：D

6．过点A（3，）且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共焦点写出椭圆方程，代入点A求出椭圆方程.

【详解】解：由题意得：

该椭圆的焦点为，，即

要求椭圆经过点A（3，），将点代入

，即（舍去）或

故选：A

7．一束光线，从点出发，经轴反射到圆上的最短路径的长度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】作点关于轴对称点，连接交轴于点，交圆于点，根据三角形三边关系可确定为所求的最短距离，由可求得结果.

【详解】由圆的方程可得：圆心坐标，半径，

设点关于轴对称点为，则，

连接交轴于点，交圆于点，则为所求的最短距离，

证明如下：任取轴上一点，则（当且仅当三点共线时取等号），

，

即最短路径的长度为.

故选：A.

8．已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，由椭圆的定义可知，在中由余弦定理可得，从而可得，再利用计算即可.

【详解】解：设 为椭圆的左焦点，为椭圆的右焦点，，，

由椭圆的定义可知，

又因为，

在中由余弦定理可得：，

所以，

所以，

所以，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．已知椭圆：，则下列关于椭圆的结论正确的是（    ）

A．焦点坐标为， B．长轴长为

C．离心率为 D．直线与无交点

【答案】BC

【分析】由椭圆方程可求得，依次判断焦点、长轴长和离心率可知ABC正误；根据直线与椭圆位置关系的判断方法可知D错误.

【详解】由椭圆方程知：椭圆焦点在轴上，，，；

对于A，焦点坐标为，，A错误；

对于B，长轴长，B正确；

对于C，离心率，C正确；

对于D，由得：，则，

直线与交于两点，D错误.

故选：BC.

10．给出下列命题，其中不正确的为（     ）

A．若，则必有与重合，与重合，与为同一线段

B．若，则是钝角

C．若，，则在上的投影向量为

D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面

【答案】ABD

【分析】利用向量相等定义判断A,利用向量的数量积公式判断B，利用投影的定义判断C，利用向量共面定义判断D.

【详解】对于A,例如平行四边形中，，

但与不重合，与不重合，与不为同一线段，故A错误；

对于B，若，则是钝角或平角，故B错误；

对于C, ，

所以在的投影等于，

所以在上的投影向量为，故C正确；

对于D，例如在正方体中，

两两共面，但是三个向量不共面，故D错误.

故选:ABD.

11．下列说法错误的是（    ）

A．若直线与直线互相垂直，则

B．直线必过定点

C．直线在y轴上的截距为

D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AD

【分析】A.根据时也垂直判断；B.变为点斜式即可判断；C.令即可；D.截距都为0也符合条件.

【详解】解：对A：，解得或，A不正确；

对B：直线可变为，

因此直线必过定点，即B正确；

对C：直线在轴上的截距，令，得，所以直线在轴上的截距为，所以C正确．

对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；

故选：AD．

12．如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）

A．直线BC与平面所成的角等于 B．点到平面的距离为

C．异面直线和所成的角为. D．线段长度的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断.

【详解】解：由题意得：

正方体的棱长为2

对于选项A：连接，设交于O点

平面

即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确；

对于选项B：连接，设交于O点

平面

点到平面的距离为,故B正确；

对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥

故异面直线和所成的角即为和所成的角

又

为等边三角形

故C错误；

对于选项D：过作，过作，连接PQ

为异面直线之间的距离，这时距离最小；

设，为等腰直角三角形，则，

也为等腰直角三角形，则

为直角三角形

故

当时，取最小值，故，故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．椭圆的焦距为2，则__________．

【答案】3或5

【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种情况，分别进行计算即可得出结果．

【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以，

若焦点在轴上，则有，解得；

若焦点在轴上，则有，解得；

综上所述，或．

故答案为：3或5．

14．已知直线则与的距离___________.

【答案】##1.5

【分析】根据平行线距离公式直接计算即可.

【详解】因为，则与的距离，

故答案为：

15．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.

【答案】

【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可

【详解】根据题意，得，，

，

；

又

点到直线l的距离为．

故答案为：

16．已知动点P与平面上两定点，连线的斜率的积为定值－．则动点P的轨迹方程为________

【答案】

【分析】设出动点，据题意列出等式，化简得到轨迹方程，注意动点P不能与A、B两点重合，故.

【详解】设动点，则，，由题意得：，整理得：，又因为动点P不能与定点，重合 ，故，综上：动点P的轨迹方程为

故答案为：

四、解答题

17．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．

(1)求BC边上中线的方程；

(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求得线段BC的中点坐标，再结合点A的坐标，由直线的点斜式写出直线方程；

（2）分两类：①当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，代入点B（－3，4），求出k的值；②当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，代入点B（－3，4），求得m的值，得解.

【详解】（1）∵B（－3，4），C（1，2），

∴线段BC的中点D的坐标为（－1，3），

又BC边上的中线经过点A（4，0），

∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，

故BC边上中线的方程.

（2）当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，

代入点B（－3，4），则4＝－3k，解得k，

所以所求直线的方程为yx，即4x+3y＝0；

当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，

代入点B（－3，4），则，解得m，

所以所求直线的方程为1，即x+2y－5＝0，

综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y－5＝0．

18．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若圆与直线：交于，两点，_____________，求的值.从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：；条件②：.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析.

【分析】（Ⅰ）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.

（Ⅱ）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.

【详解】（Ⅰ）设圆心坐标为，半径为.

由圆的圆心在直线上，知：.

又∵圆与轴相切于点，

∴，，则.

∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.

（Ⅱ）如果选择条件①：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

如果选择条件②：，而，

∴圆心到直线的距离，则，解得或.

19．如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．

(1)设，，，用向量表示，并求出的长度；

(2)求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；

（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.

【详解】（1），

因为，同理可得，

所以

（2）因为，所以，

因为，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

20．已知空间中三点，，，设，.

（1）若，且，求向量；

（2）已知向量与互相垂直，求的值；

（3）求的面积.

【答案】（1）或；（2）；（3）

【分析】（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果．

（2）首先表示出的坐标，由向量与互相垂直，得到，即可求出的值．

（3）求出，， ， ，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出的面积．

【详解】解：（1）空间中三点，，，设，，

所以，

，

，

，且，设

，

，

，或．

（2），

且向量与互相垂直，

，解得．

的值是．

（3）因为，，

，，

，

，

．

【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

21．如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．

【详解】试题分析：（Ⅰ）先证，，再可证平面，进而可证平面；（Ⅱ）先建立空间直角坐标系，再算出平面和平面的法向量，进而可得平面与平面夹角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）在图1中，

因为，，是的中点，，所以

即在图2中，，

从而平面

又，所以平面．

（Ⅱ）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，

所以为二面角的平面角，所以．

如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

因为，

所以

得，．

设平面的法向量，平面的法向量，平面与平面夹角为，

则，得，取，

，得，取，

从而，

即平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】1、线面垂直；2、二面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应用．

22．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）依题意可得，从而得到，的坐标，再根据椭圆的定义求出，最后求出，即可得到椭圆方程；

（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据的面积得到方程，即可求出，从而求出圆的方程.

【详解】（1）解：由题意知，所以，，

所以，由椭圆定义知：，

则，，

故椭圆的方程为．

（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，

可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．

②当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，代入椭圆方程得，

成立，

设，，则，，

可得．

又圆的半径，

∴的面积为，

化简得，解得，

∴，

∴圆的方程为．