2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省庆阳市宁县第二中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．直线的纵截距为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据直线方程即得.

【详解】因为直线，

令，可得，

所以直线的纵截距为.

故选：A.

2．已知直线与直线平行，则实数a的值为（    ）

A． B． C．1 D．或1

【答案】D

【分析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合．

【详解】由，解得或，经过验证满足题意.

故选：D.

3．已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（　　）

A．外离 B．外切 C．相交 D．内切

【答案】C

【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．

【详解】圆：的圆心为，半径，

圆：，即，圆心，半径，

两圆的圆心距，显然，即，

所以圆与圆相交.

故选：C

4．五声音阶（汉族古代音律）是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽．若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为（    ）

A．12种 B．48种 C．72种 D．120种

【答案】C

【分析】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节即可得．

【详解】先排其它三个，然后在空档插入宫、羽两音节，方法数为.

故选：C．

5．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的顶点到渐近线的距离为（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】由题可得，，然后根据点到直线的距离公式即得.

【详解】因为的准线为，

所以双曲线的一个焦点为，即，

由题意可知，即，

所以，

所以，，

所以顶点到渐近线的距离为.

故选：D．

6．若圆上恰有一个点到直线的距离为1，则a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.

【详解】圆的圆心坐标为，半径为，

因为圆上恰有一个点到直线的距离为1，

所以圆心到直线的距离为3，

所以有.

故选：A.

7．已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数p，q总有，且，则（    ）

A．81 B．162 C．243 D．486

【答案】C

【分析】由题意条件能够求出，从而可求.

【详解】由题意可得，，，

所以，，

所以.

故选：C.

8．已知双曲线的左右焦点分别为，A为双曲线右支上一点，直线交y轴于点M，原点O到直线距离为，且﹐则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据定义结合条件，取的中点为，可得，进而可得，即得.

【详解】因为，，

所以，又，

所以，

取的中点为，连接，则，

因为为的中点，原点O到直线距离为，

所以，又，

所以，

所以，

所以，即.

故选：B.

二、多选题

9．在的二项展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．展开式中所有项的系数和为256 B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128

C．展开式中含x项的系数为 D．展开式中二项式系数的最大项为第四项

【答案】BC

【分析】令可判断选项A；所有奇数项的二项式系数和为可判断选项B；由展开式的通项可判断选项C； 利用展开式中二项式系数的性质可判断选项D.

【详解】对于A：令，可得展开式中所有项的系数和为，故A不正确；

对于B：展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故B正确；

对于C：的展开式的通项为，令得，所以展开式中含项的系数为，故C正确；

对于D：展开式中共有项，中间项即为第五项的二项式系数最大，故选项D不正确.

故选：BC.

10．已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】CD

【分析】对分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.

【详解】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为，

当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为，

当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和.

故选：CD.

11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ）

A．若任意选择三门课程，选法总数为

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为

【答案】ABD

【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．

【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误

对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法

若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法

由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误

对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确

对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，

只选物理不选历史，有种选法

选化学，不选物理，有种选法

物理与化学都选，不选历史，有种选法

故总数为种，故D错误

故选：ABD

12．已知椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,两曲线有公共焦点，P是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据椭圆与双曲线有相同的焦点可判断A，根据椭圆与双曲线的定义及余弦定理可判断B；由分析B中所得结论可判断C；利用“1”的变形及均值不等式即可判断D.

【详解】由题意可得，所以A错误；

可设是第一象限的点，，，

由题可得，，

解得，，又，

因为，在△中，由余弦定理可得，

化为，则，故B正确；

由，可得，即有，故C正确；

由，当且仅当，

取得等号，即有的最小值为，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题

13．_________．

【答案】0

【分析】根据排列数的定义计算．

【详解】.

故答案为：0.

14．已知点，若抛物线的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是_______．

【答案】

【分析】设，得，代入抛物线方程相减可得直线斜率，从而得到所求直线方程．

【详解】时，，在抛物线内部（含焦点的部分），

设，，

由，相减得，

∴，即，

直线方程为，即，

故答案为：．

15．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．

【答案】150

【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得.

【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，

一是分成3,1,1然后分配，共有种分配方法，

二是分成2,2,1然后分配，共有种分配方法，

所以共有种分配方法.

故答案为：150.

16．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为______

【答案】

【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；

【详解】解：由圆，得到圆心，半径

由题意可得：，，，

，

在中，由勾股定理可得：，

当最小时，最小，此时所求的面积也最小，

点是直线上的动点，

当时，有最小值，此时，

所求四边形的面积的最小值为；

故答案为：

四、解答题

17．已知圆，点，动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的倍．

(1)求点P的轨迹：

(2)过点的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．

【答案】(1)点P的轨迹为为圆心，以为半径的圆；

(2).

【分析】（1）设出，根据题意列出方程，化简即得由；

（2）根据圆的性质可知，然后根据直线垂直的斜率关系及点斜式即得.

【详解】（1）由圆，可知圆心为，半径为1，

设，，

则，

平方得：，

化简得：，

即，

所以点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆；

（2）由上可知点P的轨迹为为圆心，以为半径的圆，

由圆的性质可知，又，

所以，，

所以直线BC的方程为，即.

18．设数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据与的关系即得；

（2）根据等差数列的定义结合条件求出，然后利用分组求和法即得.

【详解】（1）因为，

所以，当时，，

当时，，

此时也满足上式，

所以；

（2）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以，即，

.

19．已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直．

(1)求直线的方程；

(2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理；

（2）由直线方程设，然后由可得．

【详解】（1）由得，即，

，∴，的方程为，即；

（2）设，由，解得或，

所以点坐标为或．

20．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．

(1)若﹐求直线l的方程：

(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．

【答案】(1)或；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；

（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得.

【详解】（1）由圆，可知圆心为，半径为2，

因为，直线，即，

所以，

解得或，

所以直线方程为或，

即或；

（2）由直线可知直线过定点，

又，可知，又直线，，

所以，

如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N，

所以，，

所以，即，

又，，

所以为定值，

若直线过圆心，则与重合，与重合，显然，

综上，为定值.

21．设是数列的前n项和，且．

(1)证明：数列是等差数列；

(2)求数列的前n项和；

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）首先根据与的关系得到，即可证明数列是等差数列；

（2）利用裂项相消法求解即可.

【详解】（1）因为，，

所以，

两边同除以得，

因为，所以，

因此数列是首项为，公差为的等差数列；

（2）由（1）知，即，

∴，

∴

.

22．已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程：

(3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程；

（2）利用点差法求直线方程；

（3）根据双曲线的定义可得，进而即得.

【详解】（1）由题可设双曲线方程为，

由双曲线的焦点为，，得，

又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则，

所以，

所以双曲线方程为；

（2）设，，则，

作差可得，

即，

又为的中点，即，，

代入得，

即直线的斜率，

直线的方程为，即，

此时由可得，

，故所求直线为.

（3）由题可知，即，

所以，当且仅当在线段上时等号成立，

又，，，

所以的最小值为.