2022乌苏一中高一下学期3月月考试题数学（平行班）含解析

鸟苏市第一中学2021-2022学年第二学期3月考试

高一数学（平行班试卷）

（卷面分值：150分  考试时间：120分仲）

注意事项：

1.本试卷共4页.答题前，请考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号等信息填写在答题卡上.

2.作答非选择题时需用0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置，作答选择需用2B铅笔将答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，在选涂其他答案，请保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损.

第I卷（选择题，共60分）

一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（    ）

A. {1，2，3，4} B. {1，2，3}

C. {2，3，4} D. {1，3，4}

【答案】A

【解析】

【分析】根据并集的定义求解即可.

【详解】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，根据并集的定义可知：
A∪B＝{1，2，3，4}，选项A正确，选项BCD错误.

故选：A.

2. 给出下列四个命题，其中正确命题有（    ）

A. 时间、距离都是向量

B. 两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同

C. 所有的单位向量都相等

D. 共线向量一定在同一直线上

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的基本概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对：时间和距离没有方向，不是向量，故错误；

对：两个有共同起点且相等的向量，其终点一定相同，故正确；

对：所有的单位向量，模长都相等，但方向不一定相同，故错误；

对：共线向量可以在同一直线上，也可以不在同一直线上，故错误.

故选：B.

3. 向量（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的加法的运算法则，准确化简，即可求解.

【详解】根据向量的运算法则，可得：

.

故选：C.

4. 设，是两个不共线的向量，则向量，与向量（λ∈R）共线，当且仅当λ的值为（　　）

A. 0 B. －1

C. －2 D. －

【答案】D

【解析】

【分析】由平面向量共线得到等量关系，得到方程组，求出当λ的值.

【详解】∵向量与共线，∴存在唯一实数u，使成立．即.

∴，解得：λ＝.

故选：D.

5. 已知，，与的夹角是120°，则等于（　　）

A. 3 B. －3

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用数量积的定义可求.

【详解】由数量积的定义，得.

故选：B.

6. 在边长为的正三角形中，的值为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】以、为邻边作菱形，则，计算出菱形的对角线的长度即可得出答案.

【详解】以、为邻边作菱形，则，

由图形可知，的长度等于等边的边上的高的倍，

即，因此，，故选：D.

【点睛】本题考查差向量模的计算，解题的关键就是作出图形，找出差向量，分析图形的形状，进而求出线段长度，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

7. 如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（   ）

A. 与  B. 与

C. 与 D. 与

【答案】D

【解析】

【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案.

【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，

都可作为平面向量的基底，

而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.

故选:D.

8. 已知四边形为平行四边形，其中，则顶点的坐标为

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，根据向量坐标运算求出，再根据，即可求出，的值．

【详解】设D的坐标为，

∵，

∴，，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴，,

∴，解得，，即的坐标为，

故选D.

【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，平行四边形的性质，属于基础题.

9. 用两条成角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具重，则每根绳子的拉力大小为（    ）N

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题画出示意图，结合图形，利用平行四边形法则，即可求得每根绳子的拉力，得到答案.

【详解】如图所示，可得，，且，

所以为等边三角形，

所以，即每根绳子的拉力大小为.

故选：A.

10. 已知两点，，则与向量同向的单位向量是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知条件求得的坐标，再求与其同向的单位向量即可.

【详解】因为，，故可得，又，

故与向量同向的单位向量是.

故选：.

二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.

11. 已知，，，满足，则实数k的值可能为（    ）

A.  B.  C. 58 D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据向量的线性表示，结合向量模的计算，可得结果.

【详解】由题可得：

，

，

.

故选：AB.

【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，属基础题.

12. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 在中，，

B. 在锐角中，不等式恒成立

C. 在中，若，则必是等腰直角三角形

D. 在中，若，，则必是等边三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误.

【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；

对于，在锐角中，，，

，，

，因此不等式恒成立，正确；

对于，在中，由，利用正弦定理可得：，

，

，，

或，

或，

是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误.

对于，由于，，由余弦定理可得：，

可得，解得，可得，故正确.

故选：.

【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

第II卷（非选择题90分）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 化简＝________.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量的线性运算化简求解即可.

【详解】原式

.

故答案为：

14. 已知，且，则向量在向量方向上的投影向量为________．

【答案】

【解析】

【分析】求出和即得解.

【详解】解：∵又，

∴，又，

所以向量在向量方向上的投影向量为.

故答案为：

15. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，，则B的大小为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据正弦定理求得，结合且，得到，即可求解.

【详解】在中，因为，，，

由正弦定理，可得，

又由且，所以，所以.

故答案为：.

16. 已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别为BC，CD的中点，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,利用向量的数量积的坐标表示求解.

【详解】如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1).

∵E，F分别为BC，CD的中点，

∴，F(1，1)，

.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. 设两点在河的对岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出的距离是，，，求A，B两点的距离.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到，在在中，利用正弦定理，即可求得的长度.

【详解】由题意，因为，，可得，

在中，根据正弦定理得

可得.

故答案为：.

18. 已知，.

（1）与夹角的余弦值；

（2）若与垂直，求k的值.

【答案】（1）；   

（2）0.

【解析】

【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可；

（2）求得与的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可.

【小问1详解】

因为，，故.

【小问2详解】

因，，故，，

又向量与垂直，则，解得.

19. 在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，判斯△的形状

【答案】等腰三角形或直角三角形.

【解析】

【分析】利用余弦定理将已知条件角化边，再根据所得条件求得边关系，即可判断三角形形状.

【详解】因为，则由余弦定理得：

，则，

即，，

∴，∴，

∴，∴或，

∴或

当时，，△为等腰三角形；

当时，△为直角三角形，

故△为等腰三角形或直角三角形.

20. 已知非零向量满足，且，求与的夹角.

【答案】

【解析】

分析】

根据题意，设与的夹角为，由，整理变形可得，由，由数量积的计算公式可得，结合，即可求解.

【详解】设与的夹角为，，

若，则，

展开可得：，

即，

又因为，所以，

因为，

所以.

【点睛】关键点点睛：将两边平方整理变形可得，结合，结合数量积的计算公式即可求解.

21. 在中，已知，.

（1）求的大小；

（2）求的值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】（1）根据题设条件和余弦定理，求得，即可求得的值；

（2）因为，由正弦定理得到，即可求解.

【详解】（1）在中，因为，，可得

由余弦定理可得，

因为，所以.

（2）因为，由正弦定理，可得，

可得.

22. 已知向量．

（1）若，求x的值；

（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

【答案】（1）（2）时，取到最大值3； 时，取到最小值.

【解析】

【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．

（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．

【详解】解：（1）∵向量．

由，

可得：，

即，

∵x∈[0，π]

∴．

（2）由

∵x∈[0，π]，

∴

∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；

当，即时．

【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．