高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版）

这是一份高中数学高考考点34 平面向量的概念与线性运算（解析版），共16页。

【命题解读】
平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题
【基础知识回顾】
1. 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2. 向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当a＝0时，λa＝0；
当λ＝0时，λa＝0．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb．
3. 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa．
1、已知下列各式：①eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))；②eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OM,\s\up6(→))；③eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))；④eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(CD,\s\up6(→))，其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 由题知结果为零向量的是①④，故选B.
2、设a，b是非零向量，则a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】 B
【解析】 由a＝2b可知，a，b 方向相同，eq \f(a,|a|)，eq \f(b,|b|) 表示 a，b 方向上的单位向量，所以eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立；反之不成立．故选B.
3、已知eq \(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq \(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
【答案】A
【解析】 ∵M、P、Q三点共线，则eq \(MP,\s\up6(→))与eq \(PQ,\s\up6(→))共线，∴eq \(MP,\s\up6(→))＝λeq \(PQ,\s\up6(→))，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4＝2λ，,2＝λt，))解得t＝1. 故选A.
4、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形中，，，，分别是，的中点，与交于，设，，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】．
【解析】由题意可得，，故正确；
，故正确；
，故错误；
，故正确．
故选：．
5、（多选题）设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A．若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点
B．若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上
C．若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心
D．若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)
【答案】 ACD
【解析】 若eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，即有eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，
则点M在边CB的延长线上，故B错误；
若eq \(AM,\s\up6(→))＝－eq \(BM,\s\up6(→))－eq \(CM,\s\up6(→))，即eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→))＝0，
则点M是△ABC的重心，故C正确；
如图，eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq \f(1,2)，
可得2eq \(AM,\s\up6(→))＝2xeq \(AB,\s\up6(→))＋2yeq \(AC,\s\up6(→))，
设eq \(AN,\s\up6(→))＝2eq \(AM,\s\up6(→))，
则M为AN的中点，
则△MBC的面积是△ABC面积的eq \f(1,2)，故D正确．
故选ACD.
6、在△ABC中，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))，则∠BAC＝_____．
【答案】60°
【解析】 ∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))－\(AC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，得△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°.
考向一 平面向量的有关概念
例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A.②③ B.①② C.③④ D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，
eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))且eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))方向相同，因此eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→)).
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确.当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③.
变式1、．(多选)给出下列命题，不正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案】 ACD
【解析】 A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B正确，因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，所以|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|且eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(DC,\s\up6(→))，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
故选ACD.
变式2、给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
变式3、（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B.1
C．2 D．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
（1）与相等的向量有 ；
（2）与相等的向量有 ；
（3）与共线的向量有 ．
答案：（1），，；（2）；
（3）．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、(1)(2019·安徽合肥二模)在△ABC中，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，则eq \(AD,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
(2)(一题多解)(2020·广东一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16eq \(OA,\s\up7(―→))－12eq \(OB,\s\up7(―→))－3eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，则( )
A.eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \(OA,\s\up7(―→))＝－12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \(OA,\s\up7(―→))＝－12eq \(AB,\s\up7(―→))－3eq \(AC,\s\up7(―→))
【答案】(1)A (2)A
【解析】 (1)∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.故选A.
(2)法一：对于A.eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→))＝12(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＋3(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→)))＝12eq \(OB,\s\up7(―→))＋3eq \(OC,\s\up7(―→))－15eq \(OA,\s\up7(―→))，整理，可得16eq \(OA,\s\up7(―→))－12eq \(OB,\s\up7(―→))－3eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，这与题干中条件相符合，故选A.
法二：已知A，B，C三点不共线，且点O满足16eq \(OA,\s\up7(―→))－12eq \(OB,\s\up7(―→))－3eq \(OC,\s\up7(―→))＝0，所以16eq \(OA,\s\up7(―→))－12eq \(OB,\s\up7(―→))＝0，所以eq \(OA,\s\up7(―→))＝12eq \(AB,\s\up7(―→))＋3eq \(AC,\s\up7(―→))，故选A.
变式1、（山西平遥中学2019届期末）在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝c，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，若点D满足eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，则eq \(AD,\s\up7(―→))等于( )
A.eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B.eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b
C.eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
【答案】A
【解析】∵eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BD,\s\up7(―→))＝2eq \(DC,\s\up7(―→))＝2(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→)))，
∴3eq \(AD,\s\up7(―→))＝2eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c.
变式2、(2019·衡水中学五调)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq \(DF,\s\up6(→))＝( )
－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)) B .eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D .eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→))
【答案】D
【解析】eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)).
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))－eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))，
又eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))，∴eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AD,\s\up6(→)).故选D.
变式3、1．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
【答案】1．A 2．A
【解析】 1．作出示意图如图所示．
eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)).故选A.
2．因为DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，
所以E是AC的中点，
可得eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))
＝eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，故选A.
变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形中，下列计算错误的是
B．
C．D．
【答案】．．
【解析】根据向量加法的平行四边形法则和向量加法的几何意义，，正确；，错误；
，错误；，正确．
故选：．
变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，
；对
为的中线；
；对
；的、对
；错；
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示eq \(OM,\s\up6(→)).
【解析】 设eq \(OM,\s\up6(→))＝ma＋nb，则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)b.又∵A、M、D三点共线，
∴eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(AD,\s\up6(→))共线．∴存在实数t，使得eq \(AM,\s\up6(→))＝teq \(AD,\s\up6(→))，即(m－1)a＋nb＝t(－a＋eq \f(1,2)b)．
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋eq \f(1,2)tb.∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－1＝－t，,n＝\f(t,2)，))消去t得，m－1＝－2n，即m＋2n＝1①.又∵eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝ma＋nb－eq \f(1,4)a＝(m－eq \f(1,4))a＋nb，eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,4)a＝－eq \f(1,4)a＋b.又∵C、M、B三点共线，∴eq \(CM,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))共线．
∴存在实数t1，使得eq \(CM,\s\up6(→))＝t1eq \(CB,\s\up6(→))，∴(m－eq \f(1,4))a＋nb＝t1(－eq \f(1,4)a＋b)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)＝－\f(1,4)t1，,n＝t1，))消去t1得，4m＋n＝1②.由①②得m＝eq \f(1,7)，n＝eq \f(3,7)，∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,7)a＋eq \f(3,7)b.
变式1、(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅
C.{－1} D.{0，－1}
【答案】C
【解析】
方法一 若要x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0成立，eq \(BC,\s\up6(→))必须与x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))共线，由于eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，所以eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))的系数必须互为相反数，则x2＝－x，解得x＝0或x＝－1，而当x＝0时，eq \(BC,\s\up6(→))＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
方法二 ∵eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))，∴x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝0，即eq \(OC,\s\up6(→))＝－x2eq \(OA,\s\up6(→))－(x－1)eq \(OB,\s\up6(→))，∵A，B，C三点共线，
∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.当x＝0时，x2eq \(OA,\s\up6(→))＋xeq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝0，此时B，C两点重合，不合题意，舍去.故x＝－1.
变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是
A．B．
C． D．
【答案】．
【解析】如图，
，为的中点，
，正确；
，，
，错误；
设，且，，三点共线，
，解得，
，正确；
，错误．
故选：．
变式3、设两个非零向量a与b不共线．
(1)eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【解析】(1)证明：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，
∴eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(BD,\s\up7(―→))共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0.))∴k2－1＝0.∴k＝±1.
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、在△ABC中，点G满足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0.若存在点O，使得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))，且eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，则m－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
【答案】 D
【解析】 ∵ eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))，
可得eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(OB,\s\up6(→))，
∴m＝－eq \f(3,2)，n＝－eq \f(1,2)，m－n＝－1，故选D.
2、A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，eq \r(2)] D．(－1,0)
【答案】 B
【解析】 设eq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OD,\s\up6(→))，则m>1，
因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以meq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，
即eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(λ,m)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(μ,m)eq \(OB,\s\up6(→))，
又知A，B，D三点共线，所以eq \f(λ,m)＋eq \f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
3、【2018年高考全国I卷理数】在中，为边上的中线，为的中点，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以.
故选A.
4、.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形
【答案】 BC
【解析】 由向量的运算法则知eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))；eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，故A错，B对；
∵(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AC,\s\up6(→))2＝0，
∴eq \(AB,\s\up6(→))2＝eq \(AC,\s\up6(→))2，即AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，故C对；
∵eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，
∴角A为锐角，但三角形不一定是锐角三角形．
故选BC.
5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵，∴，
∴，
又F为AE的中点，∴，B对；
∴，C对；
∴，D错；
故选：ABC．
6、【江苏卷】在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
【答案】
【解析】∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
7、在四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq \f(1,|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,|\(BC,\s\up6(→))|)·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(\r(3),|\(BD,\s\up6(→))|)·eq \(BD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的面积为________.
【答案】 eq \r(3)
【解析】 由|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|，eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(3) \(BD,\s\up6(→)),|B\(D,\s\up6(→))|)可知四边形ABCD为菱形，则有|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(DC,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)\(BD,\s\up6(→)),|\(BD,\s\up6(→))|)))，即eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)＋\f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)))＝eq \r(3)，两边平方，
得1＋2eq \f(\(BA,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))|)·eq \f(\(BC,\s\up6(→)),|\(BC,\s\up6(→))|)＋1＝3，eq \f(\(BA,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)．
eq \f(|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|cs〈\(BA,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉,|\(BA,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，所以cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝60°．
S＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(BC,\s\up6(→))|sin 60°＝eq \r(2)×eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \r(3)
8、已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
【解析】 ∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)
＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，
要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，
即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))得λ＝－2μ．
故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．