2023乌兰浩特四中高二上学期期中考试数学试题含解析

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2022～2023学年度上学期高二年级期中考试题数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求出解集.【详解】解得：或.故选：C2. 在等差数列中，，则的公差为（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义，列出方程，解之即可.【详解】设的公差为，则，解得．故选：B．3. 图中阴影部分所表示的区域满足的不等式是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出直线方程，然后将点代入方程，即可求出对应不等式.【详解】图中直线对应的方程是，由于直线是虚线，故排除A，C选项．当，时，，所以点在不等式所对应的区域，所以阴影部分所表示的区域满足的不等式是．故选：B．4. 已知命题：若，则；命题：若，则.则下列是真命题的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算性质及三角函数的值的特点，结合复合命题真假的判断即可求解.【详解】若，则，所以，故命题为真命题；为假命题；当时，，但，故命题为假命题，所以为真命题；为假命题；为假命题；为假命题.故选：C.5. 若，则恒成立的不等式是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用作差法可确定AB正误，利用反例可知CD错误.【详解】对于AB，，，，，，即，A正确，B错误；对于CD，当，时，满足，此时，CD错误.故选：A.6. 已知原命题：“若x＜－2，则”，则逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，判断真命题个数.【详解】原命题“若，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；原命题的逆命题为：“若，则”，由得或，所以逆命题为假命题；又因为原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，所以否命题为假命题；综上，逆命题，否命题，逆否命题中，真命题个数为1个.故选：B.7. 若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据三个“二次”的关系得到和2是方程的两个根，然后利用韦达定理求，，代入不等式中解不等式即可.【详解】因为不等式解集为，所以和2是方程的两个根，则，，即，，不等式即为，解得.故选：A.8. 已知为等差数列前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ）A. 7 B. 9 C. 16 D. 18【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．【详解】因为等差数列中，，，所以，，即，，所以，，所以，，由为等差数列，得时，；时，，所以当时，取得最大值．故选：B．9. 已知x＞1，则的最小值为（    ）A. 8 B. 6 C. 12 D. 10【答案】D【解析】【分析】对变形后，利用基本不等式求出最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为10.故选：D10. 已知直线，则“”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用必要不充分条件判断.【详解】由，所以，即，解得或，所以充分性不成立，当时，，所以，故必要性成立，所以“”是“”必要不充分条件，故选：B.11. 已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由等差和等比数列的性质可将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.【详解】由等差数列和等比数列性质知：，，（当且仅当时取等号），即的最小值为.故选：B.12. 给出下列四个命题：①“若，则a＞b”的逆命题；②“，使得”的否定；③已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，“函数为偶函数”的充要条件是“”；④在中，“”是“”的充分不必要条件．其中为真命题的是（    ）A. ②④ B. ①④ C. ③④ D. ②③【答案】C【解析】【分析】①先得到“若，则”的逆命题，再举出反例，得到①错误；②举出例子得到“，使得”为真命题，从而得到该命题的否定是假命题；③求出，得到为偶函数时，反过来也成立，③正确；④根据求出，得到④正确.【详解】“若，则”的逆命题是“若，则”，当时，，故①错误；当时，满足，故“，使得”为真命题，则“，使得”否定为假命题，故②错误；，若为偶函数，则，即时，反过来，当时，，为偶函数，故“函数为偶函数”的充要条件是“”，③正确；在中，，则，所以，但，比如，故在中， “”是“”的充分不必要条件，④正确.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知等比数列中，，，则        .【答案】【解析】【详解】试题分析：由等比数列的性质知,等比数列中所有奇数项的符号,所有偶数项的符号各自相同.则 .故本题应填. 14. 已知命题p：，，则为______．【答案】，【解析】【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】为，.故答案为：，.15. 若实数，满足，则的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】先作出不等式组表示的平面区域，再通过数形结合分析得解.【详解】画出不等式组表示的平面区域，表示斜率为纵截距为的直线系，平移直线， 由图可见当直线过点时，直线在轴上的截距最大，由，解得，所以且时，取得最大值.故答案为：516 ______．【答案】##【解析】【分析】根据等差数列求和公式将原式整理为，然后，利用裂项相消的方法求和即可.【详解】，原式.故答案为：.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设集合，集合．（1）已知p：，若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据，得到不等式组，求出实数m的取值范围；（2）根据题意得到是的真子集，并得到，得到方程组，求出实数m的取值范围.【小问1详解】由题意得，故，解得：，故实数m的取值范围是；【小问2详解】由题意得：，由“”是“”的必要不充分条件，得到是的真子集，因为，所以，故或，解得：，故实数m的取值范围是.18. 已知是等差数列的前项和，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）    （2）12【解析】【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.【小问1详解】设数列的公差为，因为，所以.解得.所以.【小问2详解】，所以.令，得，解得：（舍去）.因为，所以的最小值是12.19. 已知．（1）求关于x的不等式的解集；（2）若不等式对任意恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）因式分解，解一元二次不等式；（2）满足二次函数的函数值恒为正值，即求出参数的范围.【小问1详解】要求，即，即，，所以解集为.【小问2详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，所以，即.20. 已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.【小问1详解】当为真命题时，在上有解，所以，当时取，有最大值3，所以，所以实数m的取值范围为；【小问2详解】当为真命题时，当时，，定义域为，满足题意；当时，要使定义域为R，则，解得，综上可知：的取值范围是.因为为真命题且为假命题，所以一真一假，当真假时，，解得，当假真时，，此时，综上，的取值范围是.21. 小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调研发现，一些电子产品的维修配件的市场需求量较大，小王决定生产这些电子产品的维修配件.已知生产这些配件每年投入的固定成本是万元，每生产万件，需另投入成本万元，维修配件出厂价元/件.（1）若生产这些配件的平均利润为元，求的表达式，并求的最大值；（2）某销售商从小王的工厂以元/件进货后又以元/件销售，，其中为最高限价，为销售乐观系数.当时，销售商所购进的配件当年能全部售完.若，，成等比数列，问该销售商所购进的配件当年是否能全部售完？（参考数据：）【答案】（1），最大值为元    （2）该销售商所购进的配件当年能全部售完【解析】【分析】（1）依题意，总利润为，进而求出平均利润的表达式，再利用基本不等式，即可得到答案；（2）由，可得.再由，，成等比数列，利用等比中项结合可得，求出即可得到答案；【小问1详解】依题意，总利润为，所以.因为，当且仅当，即时取等号，故时，取得最大值，最大值为元.【小问2详解】（2）由，得.因为，，成等比数列，所以，两边除以得，即解得.所以该销售商所购进的配件当年能全部售完.22. 已知数列满足，.（1）求证：数列是等差数列；（2）若且，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）定义法证明等差数列，即证明为常数即可；（2）根据（1）的结论求出，得到，根据数列通项的形式，选择错位相减法求和即可.【小问1详解】证明：因为，所以.因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.【小问2详解】由（1）可知，，所以.因为，当时，，所以，当时，也符合，所以，所以，所以，①，②①-②，得，所以.