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高中北师大版 (2019)4.1 二项式定理的推导导学案
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这是一份高中北师大版 (2019)4.1 二项式定理的推导导学案，共14页。
[笔记教材]
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋________＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(k＝0,1,2，…，n，n∈N＋)．这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．
答案：Ceq \\al(k,n)an－kbk
知识点二 基本概念
(1)二项式系数：(a＋b)n的二项展开式共有________项，其中各项的系数________(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
(2)二项式通项：________称为二项展开式中第k＋1项，又称为二项式通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(0≤k≤n，k∈N)．
答案：(1)n＋1 Ceq \\al(k,n) (2)Ceq \\al(k,n)an－kbk
知识点三 二项式系数表
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和．事实上，设表中任意一个不为“1”的数为Ceq \\al(k,n＋1)，那么它“肩上”的两个数分别为Ceq \\al(k－1,n)及Ceq \\al(k,n)，由组合数的性质2知道：________＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n).
答案：Ceq \\al(k,n＋1)
知识点四 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________，这个性质可以由公式Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)得到．
(2)增减性与最大值．
(3)二项式系数的和：
Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________.
答案：(1)相等 (3)2n
[重点理解]
1．二项式定理的理解
(1)二项展开式有n＋1项．
(2)二项式系数都是组合数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中项的系数不一定相等，应注意区分“二项式系数”与“二项展开式中项的系数”这两个不同的概念．
(3)二项式定理形式上的特点：
在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减小1直到零，同时字母b按照升幂排列，次数由零逐项增加1直到n.
(4)二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆．
(5)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立．通过对a，b取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便，二项式定理通常还有如下两种变形：
①(a－b)n＝Ceq \\al(0,n)an－Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋(－1)k·Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq \\al(n,n)bn；
②(1＋x)n＝1＋Ceq \\al(1,n)x＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn.
2．通项的注意事项
通项能体现二项展开式的项数、二项式系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
通项有以下事项需要注意：
(1)通项表示二项展开式的第k＋1项，该项的二项式系数是Ceq \\al(k,n)，而不是Ceq \\al(k＋1,n).
(2)字母b的指数和组合数的上标相同．
(3)a与b的指数之和为n.
3．二项式系数与项的系数的区别
(1)二项展开式中的二项式系数是指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)这些组合数，即二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk中的Ceq \\al(k,n)(0≤k≤n，k∈N)．求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定k的值，要注意通项为展开式的第k＋1项．
(2)二项展开式中项的系数即该项字母前的数连同符号．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项不相同．(√)
(2)Ceq \\al(k,n)akbn－k是(b＋a)n展开式中的第k(k＝0,1,2，…，n)项．()
(3)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等．()
(4)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．()
(5)(a－b)n的展开式中，当n为偶数时，二项展开式中中间一项系数最大．()
(6)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性，所以Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(n,n).()
2．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
答案：B
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x2)))5的二项展开式为________．
答案：32x5－80x2＋eq \f(80,x)－eq \f(40,x4)＋eq \f(10,x7)－eq \f(1,x10)
4．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
答案：10
5．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,x)))6的展开式中常数项为－160，则展开式中各项系数之和为________．
答案：1
研习1 二项式定理的应用
[典例1] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的二项展开式为________．
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________.
(1)[答案] 81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2)
[解析] 方法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq \\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq \\al(3,4)(3eq \r(x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq \\al(4,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
方法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq \f(3x＋14,x2)＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
(2)[答案] x5－1
[解析] 原式＝Ceq \\al(0,5)(x－1)5＋Ceq \\al(1,5)(x－1)4＋Ceq \\al(2,5)(x－1)3＋Ceq \\al(3,5)(x－1)2＋Ceq \\al(4,5)(x－1)＋Ceq \\al(5,5)－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
[巧归纳] 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
[练习1](1)化简1＋2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)；
(2)化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1；
(3)计算Ceq \\al(0,n)－Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)－Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)n·Ceq \\al(n,n).
(1)解：原式＝Ceq \\al(0,n)·1n·20＋Ceq \\al(1,n)·1n－1·2＋Ceq \\al(2,n)·1n－2·22＋…＋Ceq \\al(n,n)2n＝(1＋2)n＝3n.
(2)解：原式＝Ceq \\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq \\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq \\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq \\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq \\al(4,5)(2x＋1)－Ceq \\al(5,5)(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
(3)解：原式＝Ceq \\al(0,n)1n＋Ceq \\al(1,n)1n－1(－1)1＋Ceq \\al(2,n)1n－2(－1)2＋…＋Ceq \\al(k,n)1n－k(－1)k＋…＋Ceq \\al(n,n)(－1)n＝[1＋(－1)]n＝0n＝0.
研习2 求二项展开式特定的项
[典例2] 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
(1)n的值；
(2)展开式中含x3的项；
(1)[解] 因为T3＝Ceq \\al(2,n)(eq \r(x))n－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))2＝4Ceq \\al(2,n)x eq \s\up15(eq \f(n－6,2)) ，T2＝Ceq \\al(1,n)(eq \r(x))n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))＝－2Ceq \\al(1,n)x eq \s\up15(eq \f(n－3,2)) ，依题意得4Ceq \\al(2,n)＋2Ceq \\al(1,n)＝162，所以2Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(1,n)＝81，所以n2＝81，n＝9.
(2)[解] 设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝Ceq \\al(k,9)(eq \r(x))9－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝(－2)kCeq \\al(k,9)x eq \s\up15(eq \f(9－3k,2)) ，所以eq \f(9－3k,2)＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2Ceq \\al(1,9)x3＝－18x3.
[巧归纳] 二项式中的特定项可分如下几种：
(1)常数项：二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．
(3)中间项：对于展开式的中间项，若n是偶数，则二项展开式的中间项为第eq \f(n,2)＋1项；若n是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋1,2)＋1项．
[练习2]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为Tk＋1＝(－2)kCeq \\al(k,9)x eq \s\up15(eq \f(9－3k,2)) ，若Tk＋1为常数项，则9－3k＝0，所以k＝3，因此常数项为第4项(－2)3Ceq \\al(3,9)＝－672.
研习3 二项展开式特定项的系数
[典例3] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
[答案]C
[解析] (1＋x)6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)xk，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq \\al(2,6)＋1×Ceq \\al(4,6)＝30.故选C.
[巧归纳] 1.利用二项展开式通项确定特定项的项数，再求其系数．
2．求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))解出k，即得出系数最大的项．
[练习3](1＋2x)12展开式中系数最大的项为________．
答案：126 720x8
解析：设第k＋1项系数最大，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(第k＋1项系数≥第k项系数，,第k＋1项系数≥第k＋2项系数.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,12)·2k≥C\\al(k－1,12)·2k－1，,C\\al(k,12)·2k≥C\\al(k＋1,12)·2k＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(26,3)，,k≥\f(23,3).))因为k是非负整数，所以k＝8.所以第9项系数最大，第9项为Ceq \\al(8,12)(2x)8＝126 720x8.
研习4 多项展开式
[典例4] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－2))3的展开式为_________________；
(2)(1＋2x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为________．(用数字作答)
(1)[答案] x6－6x4＋15x2－20＋eq \f(15,x2)－eq \f(6,x4)＋eq \f(1,x6)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))6＝eq \f(1,x6)(x2－1)6＝eq \f(1,x6)[Ceq \\al(0,6)(x2)6－Ceq \\al(1,6)(x2)5＋Ceq \\al(2,6)(x2)4－Ceq \\al(3,6)(x2)3＋Ceq \\al(4,6)(x2)2－Ceq \\al(5,6)x2＋Ceq \\al(6,6)]＝eq \f(1,x6)(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)＝x6－6x4＋15x2－20＋eq \f(15,x2)－eq \f(6,x4)＋eq \f(1,x6).
(2)[答案] －42
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)x8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k＝Ceq \\al(k,8)(－1)kx8－2k，由8－2k＝0，得k＝4，由8－2k＝－2，得k＝5.
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为Ceq \\al(4,8)，含x－2的项为Ceq \\al(5,8)(－1)5x－2.
所以(1＋2x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为Ceq \\al(4,8)－2Ceq \\al(5,8)＝－42.
[巧归纳] 1.三项式的展开式通常需将三项式转化为二项式，可以利用公式变三项为二项；也可以将三项中的两项组合作为一项，三项式就可以转化为二项式．组合时可依据要解决的问题进行．
2．两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，即分别考虑两个二项式的展开式，找相乘能够得到指定项的对应项，或者是得到指定项的系数．
[练习4](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
答案：D
解析：在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Ceq \\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Ceq \\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
研习5 与“杨辉三角”有关的问题
[典例5] 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
[答案] 34
[解析] 设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，则Ceq \\al(13,n)∶Ceq \\al(14,n)＝2∶3，所以3Ceq \\al(13,n)＝2Ceq \\al(14,n)，即eq \f(3·n！,13！n－13！)＝eq \f(2·n！,14！n－14！)，得eq \f(3,n－13)＝eq \f(2,14)，所以n＝34.
[巧归纳] 1.对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察，通过观察找出每一行数据间的相互关系以及行与行之间数据的相互关系．然后对数据间的这种关系用数学式子将它表达出来，使问题得解，具体方法如下：
2．注意二项式系数的性质Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)和Ceq \\al(k,n＋1)＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n)的应用．
[练习5]如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
答案：C
解析：由图知，数列中的首项是Ceq \\al(2,2)，第2项是Ceq \\al(1,2)，第3项是Ceq \\al(2,3)，第4项是Ceq \\al(1,3)，…，第15项是Ceq \\al(2,9)，第16项是Ceq \\al(1,9)，所以S(16)＝Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(1,9)＋Ceq \\al(2,9)＝(Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)＋…＋Ceq \\al(1,9))＋(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)＋…＋Ceq \\al(1,9)－Ceq \\al(2,2))＋(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝Ceq \\al(2,10)－1＋(Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝Ceq \\al(2,10)＋Ceq \\al(3,10)－1＝164.
研习6 二项展开式的系数和
[典例6] 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)a1＋a2＋a3＋a4＋a5.
(1)[解] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)[解] D令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)[解] 由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝eq \f(1－35,2)＝－121.
(4)[解] 因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
[巧归纳] 二项展开式系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m，(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
[练习6] 设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
(1)解：由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.
(2)解：在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)·(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4×(2－3)4＝(2＋3)4·(2－3)4＝625.
(3)解：由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.
研习7 二项式系数的性质
[典例7] 在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
(1)[解] 二项式系数最大的项是第11项．T11＝Ceq \\al(10,20)·310·(－2)10x10y10＝Ceq \\al(10,20)·610x10y10.
(2)[解] 设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是Ceq \\al(k,20)·320－k·2k≥Ceq \\al(k＋1,20)·319－k·2k＋1，Ceq \\al(k,20)·320－k·2k≥Ceq \\al(k－1,20)·321－k·2k－1化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3k＋1≥220－k，,221－k≥3k，))解得7eq \f(2,5)≤k≤8eq \f(2,5).因为k∈N，所以k＝8，即T9＝Ceq \\al(8,20)·312·28x12·y8是系数绝对值最大的项．
(3)[解] 由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项．T9＝Ceq \\al(8,20)·312·28x12y8.
[巧归纳] 1.根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第k＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第k项，第k＋2项)的系数均不大于第k＋1项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定r的值，即可求出最大项．
[练习7](2022山东日照一中月考)(多选题)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))6的展开式中，下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为0
C．常数项为20
D．二项式系数最大的项为第3项
答案：AB
解析：A. 所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确，B.令x＝1得所有项的系数和为(1－1)6＝0，故B正确，C.常数项为Ceq \\al(3,6)x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))3＝－20，故C错误，D.展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D错误．故选AB.
1．(x－2y)7的展开式中的第4项为( )
A．－280x4y3 B．280x4y3
C．－35x4y3 D．35x4y3
答案：A
解析：(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Ceq \\al(3,7)x4·(－2y)3＝(－2)3Ceq \\al(3,7)x4y3＝－280x4y3.
2．在(x－eq \r(3))10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27Ceq \\al(6,10) B．27Ceq \\al(4,10) C．－9Ceq \\al(6,10) D．9Ceq \\al(4,10)
答案：D
解析：Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)·x10－k(－eq \r(3))k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Ceq \\al(4,10)x6(－eq \r(3))4，即x6的系数为9Ceq \\al(4,10).
3．若实数a＝2－eq \r(2)，则a10－2Ceq \\al(1,10)a9＋22Ceq \\al(2,10)a8－…＋210＝( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
答案：A
解析：a10－2Ceq \\al(1,10)a9＋22Ceq \\al(2,10)a8－…＋210＝(a－2)10，当a＝2－eq \r(2)时，(a－2)10＝32.
4．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(a,x)))7的展开式中eq \f(1,x3)的系数是84，则实数a＝________.
答案：1
解析：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(a,x)))7的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)(2x)7－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))k＝Ceq \\al(k,7)27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中eq \f(1,x3)的系数是Ceq \\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.
[误区警示]
混淆二项式系数与展开式中各项的系数致错
[示例1] 设(x－eq \r(2))n的展开式中第二项与第四项系数之比为1∶2，求含x2的项．
[错解] 由二项展开式得到第二项系数为Ceq \\al(1,n)，第四项系数为Ceq \\al(3,n)，由题意得eq \f(C\\al(1,n),C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，整理得到n2－3n－10＝0，解得n＝5或n＝－2(舍去)，则二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)x5－k·(－eq \r(2))k，当5－k＝2时，解得k＝3，所以(x－eq \r(2))5的展开式中含x2的项为T4＝Ceq \\al(3,5)x2(－eq \r(2))3＝－20eq \r(2)x2.
[错因分析] 上面的错误是将二项展开式某项的系数与二项式系数弄混了，因为按上面解出的n＝5计算，(x－eq \r(2))5的展开式中第二项为T2＝Ceq \\al(1,5)x4·(－eq \r(2))＝－5eq \r(2)x4，第四项为T4＝Ceq \\al(3,5)x2·(－eq \r(2))3＝－20 eq \r(2)x2，所以T2与T4的系数之比为eq \f(－5\r(2),－20\r(2))＝eq \f(1,4)，这与已知的两系数之比为1∶2矛盾，所以错误．
[正解] (x－eq \r(2))n的展开式中第二项与第四项分别为T2＝Ceq \\al(1,n)xn－1(－eq \r(2))＝－eq \r(2)·nxn－1，T4＝Ceq \\al(3,n)xn－3(－eq \r(2))3＝－2eq \r(2)Ceq \\al(3,n)xn－3，则eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)．
设(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为第(k＋1)项，则Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4－k(－eq \r(2))k,4－k＝2，得k＝2，所以(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为T3＝Ceq \\al(2,4)x2·(－eq \r(2))2＝12x2.
[题后总结] 二项展开式某项的系数指的是将二项式(a＋b)n展开后某一特定项的系数，而二项式系数特指Ceq \\al(k,n).
[示例2] 已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：
(1)a0＋a1＋…＋a8；
(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.
[错解] (1)a0＋a1＋…＋a8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(1,8)＋…＋Ceq \\al(8,8)＝28＝256.
(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(2,8)＋Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(6,8)＋Ceq \\al(8,8)＝27＝128.
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝256.
[正解] (1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②
∴①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48.
∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq \f(1,2)×(28＋48)＝32 896.
(3)由于(1－3x)8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(1,8)(－3x)＋Ceq \\al(2,8)(－3x)2＋…＋Ceq \\al(8,8)(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
因此a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536.
[题后总结]
新课程标准
新学法解读
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
2．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，进一步理解二项式定理.
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
4．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．
5．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”.
错误原因
纠错心得
二项式系数与展开式各项的系数是两个不同的概念.
求解系数问题时，一定要审清题意，看准要求什么.
[笔记教材]
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋________＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(k＝0,1,2，…，n，n∈N＋)．这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式．
答案：Ceq \\al(k,n)an－kbk
知识点二 基本概念
(1)二项式系数：(a＋b)n的二项展开式共有________项，其中各项的系数________(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数．
(2)二项式通项：________称为二项展开式中第k＋1项，又称为二项式通项，用Tk＋1表示，即Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(0≤k≤n，k∈N)．
答案：(1)n＋1 Ceq \\al(k,n) (2)Ceq \\al(k,n)an－kbk
知识点三 二项式系数表
表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和．事实上，设表中任意一个不为“1”的数为Ceq \\al(k,n＋1)，那么它“肩上”的两个数分别为Ceq \\al(k－1,n)及Ceq \\al(k,n)，由组合数的性质2知道：________＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n).
答案：Ceq \\al(k,n＋1)
知识点四 二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数________，这个性质可以由公式Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)得到．
(2)增减性与最大值．
(3)二项式系数的和：
Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(k,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________.
答案：(1)相等 (3)2n
[重点理解]
1．二项式定理的理解
(1)二项展开式有n＋1项．
(2)二项式系数都是组合数Ceq \\al(k,n)(k＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中项的系数不一定相等，应注意区分“二项式系数”与“二项展开式中项的系数”这两个不同的概念．
(3)二项式定理形式上的特点：
在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减小1直到零，同时字母b按照升幂排列，次数由零逐项增加1直到n.
(4)二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即(a＋b)n与(b＋a)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆．
(5)二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立．通过对a，b取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便，二项式定理通常还有如下两种变形：
①(a－b)n＝Ceq \\al(0,n)an－Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋(－1)k·Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋(－1)nCeq \\al(n,n)bn；
②(1＋x)n＝1＋Ceq \\al(1,n)x＋…＋Ceq \\al(k,n)xk＋…＋Ceq \\al(n,n)xn.
2．通项的注意事项
通项能体现二项展开式的项数、二项式系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
通项有以下事项需要注意：
(1)通项表示二项展开式的第k＋1项，该项的二项式系数是Ceq \\al(k,n)，而不是Ceq \\al(k＋1,n).
(2)字母b的指数和组合数的上标相同．
(3)a与b的指数之和为n.
3．二项式系数与项的系数的区别
(1)二项展开式中的二项式系数是指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)这些组合数，即二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk中的Ceq \\al(k,n)(0≤k≤n，k∈N)．求二项展开式中某一项的二项式系数，关键是要确定k的值，要注意通项为展开式的第k＋1项．
(2)二项展开式中项的系数即该项字母前的数连同符号．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项不相同．(√)
(2)Ceq \\al(k,n)akbn－k是(b＋a)n展开式中的第k(k＝0,1,2，…，n)项．()
(3)在(1±x)n的展开式中各项的系数与其二项式系数均相等．()
(4)二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的．()
(5)(a－b)n的展开式中，当n为偶数时，二项展开式中中间一项系数最大．()
(6)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性，所以Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(n,n).()
2．(x＋2)n的展开式共有11项，则n等于( )
A．9 B．10 C．11 D．8
答案：B
3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x2)))5的二项展开式为________．
答案：32x5－80x2＋eq \f(80,x)－eq \f(40,x4)＋eq \f(10,x7)－eq \f(1,x10)
4．在(1＋x)n(n∈N＋)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
答案：10
5．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2a,x)))6的展开式中常数项为－160，则展开式中各项系数之和为________．
答案：1
研习1 二项式定理的应用
[典例1] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的二项展开式为________．
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝________.
(1)[答案] 81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2)
[解析] 方法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq \\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq \\al(3,4)(3eq \r(x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq \\al(4,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
方法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq \f(3x＋14,x2)＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
(2)[答案] x5－1
[解析] 原式＝Ceq \\al(0,5)(x－1)5＋Ceq \\al(1,5)(x－1)4＋Ceq \\al(2,5)(x－1)3＋Ceq \\al(3,5)(x－1)2＋Ceq \\al(4,5)(x－1)＋Ceq \\al(5,5)－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
[巧归纳] 运用二项式定理的解题策略
(1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．
[练习1](1)化简1＋2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)；
(2)化简(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1；
(3)计算Ceq \\al(0,n)－Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)－Ceq \\al(3,n)＋…＋(－1)n·Ceq \\al(n,n).
(1)解：原式＝Ceq \\al(0,n)·1n·20＋Ceq \\al(1,n)·1n－1·2＋Ceq \\al(2,n)·1n－2·22＋…＋Ceq \\al(n,n)2n＝(1＋2)n＝3n.
(2)解：原式＝Ceq \\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq \\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq \\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq \\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq \\al(4,5)(2x＋1)－Ceq \\al(5,5)(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
(3)解：原式＝Ceq \\al(0,n)1n＋Ceq \\al(1,n)1n－1(－1)1＋Ceq \\al(2,n)1n－2(－1)2＋…＋Ceq \\al(k,n)1n－k(－1)k＋…＋Ceq \\al(n,n)(－1)n＝[1＋(－1)]n＝0n＝0.
研习2 求二项展开式特定的项
[典例2] 已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,x)))n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求：
(1)n的值；
(2)展开式中含x3的项；
(1)[解] 因为T3＝Ceq \\al(2,n)(eq \r(x))n－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))2＝4Ceq \\al(2,n)x eq \s\up15(eq \f(n－6,2)) ，T2＝Ceq \\al(1,n)(eq \r(x))n－1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))＝－2Ceq \\al(1,n)x eq \s\up15(eq \f(n－3,2)) ，依题意得4Ceq \\al(2,n)＋2Ceq \\al(1,n)＝162，所以2Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(1,n)＝81，所以n2＝81，n＝9.
(2)[解] 设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝Ceq \\al(k,9)(eq \r(x))9－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))k＝(－2)kCeq \\al(k,9)x eq \s\up15(eq \f(9－3k,2)) ，所以eq \f(9－3k,2)＝3，k＝1，所以第二项为含x3的项：T2＝－2Ceq \\al(1,9)x3＝－18x3.
[巧归纳] 二项式中的特定项可分如下几种：
(1)常数项：二项展开式的某一项为常数项，就是这项中不含“变元”，一般采用令通项中变元的指数为零的方法求得．
(3)中间项：对于展开式的中间项，若n是偶数，则二项展开式的中间项为第eq \f(n,2)＋1项；若n是奇数，则二项展开式的中间项有两项：第eq \f(n＋1,2)项和第eq \f(n＋1,2)＋1项．
[练习2]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为Tk＋1＝(－2)kCeq \\al(k,9)x eq \s\up15(eq \f(9－3k,2)) ，若Tk＋1为常数项，则9－3k＝0，所以k＝3，因此常数项为第4项(－2)3Ceq \\al(3,9)＝－672.
研习3 二项展开式特定项的系数
[典例3] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为( )
A．15 B．20 C．30 D．35
[答案]C
[解析] (1＋x)6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)xk，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq \\al(2,6)＋1×Ceq \\al(4,6)＝30.故选C.
[巧归纳] 1.利用二项展开式通项确定特定项的项数，再求其系数．
2．求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))解出k，即得出系数最大的项．
[练习3](1＋2x)12展开式中系数最大的项为________．
答案：126 720x8
解析：设第k＋1项系数最大，
有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(第k＋1项系数≥第k项系数，,第k＋1项系数≥第k＋2项系数.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(C\\al(k,12)·2k≥C\\al(k－1,12)·2k－1，,C\\al(k,12)·2k≥C\\al(k＋1,12)·2k＋1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≤\f(26,3)，,k≥\f(23,3).))因为k是非负整数，所以k＝8.所以第9项系数最大，第9项为Ceq \\al(8,12)(2x)8＝126 720x8.
研习4 多项展开式
[典例4] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－2))3的展开式为_________________；
(2)(1＋2x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为________．(用数字作答)
(1)[答案] x6－6x4＋15x2－20＋eq \f(15,x2)－eq \f(6,x4)＋eq \f(1,x6)
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))6＝eq \f(1,x6)(x2－1)6＝eq \f(1,x6)[Ceq \\al(0,6)(x2)6－Ceq \\al(1,6)(x2)5＋Ceq \\al(2,6)(x2)4－Ceq \\al(3,6)(x2)3＋Ceq \\al(4,6)(x2)2－Ceq \\al(5,6)x2＋Ceq \\al(6,6)]＝eq \f(1,x6)(x12－6x10＋15x8－20x6＋15x4－6x2＋1)＝x6－6x4＋15x2－20＋eq \f(15,x2)－eq \f(6,x4)＋eq \f(1,x6).
(2)[答案] －42
[解析] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,8)x8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))k＝Ceq \\al(k,8)(－1)kx8－2k，由8－2k＝0，得k＝4，由8－2k＝－2，得k＝5.
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为Ceq \\al(4,8)，含x－2的项为Ceq \\al(5,8)(－1)5x－2.
所以(1＋2x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))8的展开式中常数项为Ceq \\al(4,8)－2Ceq \\al(5,8)＝－42.
[巧归纳] 1.三项式的展开式通常需将三项式转化为二项式，可以利用公式变三项为二项；也可以将三项中的两项组合作为一项，三项式就可以转化为二项式．组合时可依据要解决的问题进行．
2．两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，即分别考虑两个二项式的展开式，找相乘能够得到指定项的对应项，或者是得到指定项的系数．
[练习4](1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84 C．112 D．168
答案：D
解析：在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Ceq \\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Ceq \\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
研习5 与“杨辉三角”有关的问题
[典例5] 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
[答案] 34
[解析] 设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3，则Ceq \\al(13,n)∶Ceq \\al(14,n)＝2∶3，所以3Ceq \\al(13,n)＝2Ceq \\al(14,n)，即eq \f(3·n！,13！n－13！)＝eq \f(2·n！,14！n－14！)，得eq \f(3,n－13)＝eq \f(2,14)，所以n＝34.
[巧归纳] 1.对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察，通过观察找出每一行数据间的相互关系以及行与行之间数据的相互关系．然后对数据间的这种关系用数学式子将它表达出来，使问题得解，具体方法如下：
2．注意二项式系数的性质Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)和Ceq \\al(k,n＋1)＝Ceq \\al(k－1,n)＋Ceq \\al(k,n)的应用．
[练习5]如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )
A．144 B．146 C．164 D．461
答案：C
解析：由图知，数列中的首项是Ceq \\al(2,2)，第2项是Ceq \\al(1,2)，第3项是Ceq \\al(2,3)，第4项是Ceq \\al(1,3)，…，第15项是Ceq \\al(2,9)，第16项是Ceq \\al(1,9)，所以S(16)＝Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(1,9)＋Ceq \\al(2,9)＝(Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)＋…＋Ceq \\al(1,9))＋(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(1,3)＋…＋Ceq \\al(1,9)－Ceq \\al(2,2))＋(Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝Ceq \\al(2,10)－1＋(Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9))＝Ceq \\al(2,10)＋Ceq \\al(3,10)－1＝164.
研习6 二项展开式的系数和
[典例6] 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5. 求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5；
(4)a1＋a2＋a3＋a4＋a5.
(1)[解] 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)[解] D令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(－1)r·25－r·x5－r知a1，a3，a5为负值，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)[解] 由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，所以a1＋a3＋a5＝eq \f(1－35,2)＝－121.
(4)[解] 因为a0是(2x－1)5的展开式中x5的系数，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.
[巧归纳] 二项展开式系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m，(a，b，c∈R，m，n∈N＋)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N＋)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
[练习6] 设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2；
(3)|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|.
(1)解：由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，令x＝0得(0－3)4＝a0，所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝(2－3)4－81＝－80.
(2)解：在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.②.所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)·(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)＝(－2－3)4×(2－3)4＝(2＋3)4·(2－3)4＝625.
(3)解：由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负，由(2)中①＋②得2(a0＋a2＋a4)＝626，由(2)中①－②得2(a1＋a3)＝－624，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝－a1＋a2－a3＋a4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)－a0＝313＋312－81＝544.
研习7 二项式系数的性质
[典例7] 在(3x－2y)20的展开式中，求：
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数绝对值最大的项；
(3)系数最大的项．
(1)[解] 二项式系数最大的项是第11项．T11＝Ceq \\al(10,20)·310·(－2)10x10y10＝Ceq \\al(10,20)·610x10y10.
(2)[解] 设系数绝对值最大的项是第k＋1项，于是Ceq \\al(k,20)·320－k·2k≥Ceq \\al(k＋1,20)·319－k·2k＋1，Ceq \\al(k,20)·320－k·2k≥Ceq \\al(k－1,20)·321－k·2k－1化简得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3k＋1≥220－k，,221－k≥3k，))解得7eq \f(2,5)≤k≤8eq \f(2,5).因为k∈N，所以k＝8，即T9＝Ceq \\al(8,20)·312·28x12·y8是系数绝对值最大的项．
(3)[解] 由于系数为正的项为奇数项，于是结合(2)可知系数最大的项为第9项．T9＝Ceq \\al(8,20)·312·28x12y8.
[巧归纳] 1.根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第k＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第k项，第k＋2项)的系数均不大于第k＋1项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k∈N来确定r的值，即可求出最大项．
[练习7](2022山东日照一中月考)(多选题)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))6的展开式中，下列说法正确的有( )
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为0
C．常数项为20
D．二项式系数最大的项为第3项
答案：AB
解析：A. 所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确，B.令x＝1得所有项的系数和为(1－1)6＝0，故B正确，C.常数项为Ceq \\al(3,6)x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))3＝－20，故C错误，D.展开式有7项，二项式系数最大的项为第4项，故D错误．故选AB.
1．(x－2y)7的展开式中的第4项为( )
A．－280x4y3 B．280x4y3
C．－35x4y3 D．35x4y3
答案：A
解析：(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Ceq \\al(3,7)x4·(－2y)3＝(－2)3Ceq \\al(3,7)x4y3＝－280x4y3.
2．在(x－eq \r(3))10的展开式中，x6的系数是( )
A．－27Ceq \\al(6,10) B．27Ceq \\al(4,10) C．－9Ceq \\al(6,10) D．9Ceq \\al(4,10)
答案：D
解析：Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)·x10－k(－eq \r(3))k，令10－k＝6，知k＝4，∴T5＝Ceq \\al(4,10)x6(－eq \r(3))4，即x6的系数为9Ceq \\al(4,10).
3．若实数a＝2－eq \r(2)，则a10－2Ceq \\al(1,10)a9＋22Ceq \\al(2,10)a8－…＋210＝( )
A．32 B．－32 C．1 024 D．512
答案：A
解析：a10－2Ceq \\al(1,10)a9＋22Ceq \\al(2,10)a8－…＋210＝(a－2)10，当a＝2－eq \r(2)时，(a－2)10＝32.
4．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(a,x)))7的展开式中eq \f(1,x3)的系数是84，则实数a＝________.
答案：1
解析：二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(a,x)))7的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)(2x)7－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)))k＝Ceq \\al(k,7)27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展开式中eq \f(1,x3)的系数是Ceq \\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.
[误区警示]
混淆二项式系数与展开式中各项的系数致错
[示例1] 设(x－eq \r(2))n的展开式中第二项与第四项系数之比为1∶2，求含x2的项．
[错解] 由二项展开式得到第二项系数为Ceq \\al(1,n)，第四项系数为Ceq \\al(3,n)，由题意得eq \f(C\\al(1,n),C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，整理得到n2－3n－10＝0，解得n＝5或n＝－2(舍去)，则二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)x5－k·(－eq \r(2))k，当5－k＝2时，解得k＝3，所以(x－eq \r(2))5的展开式中含x2的项为T4＝Ceq \\al(3,5)x2(－eq \r(2))3＝－20eq \r(2)x2.
[错因分析] 上面的错误是将二项展开式某项的系数与二项式系数弄混了，因为按上面解出的n＝5计算，(x－eq \r(2))5的展开式中第二项为T2＝Ceq \\al(1,5)x4·(－eq \r(2))＝－5eq \r(2)x4，第四项为T4＝Ceq \\al(3,5)x2·(－eq \r(2))3＝－20 eq \r(2)x2，所以T2与T4的系数之比为eq \f(－5\r(2),－20\r(2))＝eq \f(1,4)，这与已知的两系数之比为1∶2矛盾，所以错误．
[正解] (x－eq \r(2))n的展开式中第二项与第四项分别为T2＝Ceq \\al(1,n)xn－1(－eq \r(2))＝－eq \r(2)·nxn－1，T4＝Ceq \\al(3,n)xn－3(－eq \r(2))3＝－2eq \r(2)Ceq \\al(3,n)xn－3，则eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)．
设(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为第(k＋1)项，则Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)x4－k(－eq \r(2))k,4－k＝2，得k＝2，所以(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为T3＝Ceq \\al(2,4)x2·(－eq \r(2))2＝12x2.
[题后总结] 二项展开式某项的系数指的是将二项式(a＋b)n展开后某一特定项的系数，而二项式系数特指Ceq \\al(k,n).
[示例2] 已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求：
(1)a0＋a1＋…＋a8；
(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|.
[错解] (1)a0＋a1＋…＋a8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(1,8)＋…＋Ceq \\al(8,8)＝28＝256.
(2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(2,8)＋Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(6,8)＋Ceq \\al(8,8)＝27＝128.
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝256.
[正解] (1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.②
∴①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48.
∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝eq \f(1,2)×(28＋48)＝32 896.
(3)由于(1－3x)8＝Ceq \\al(0,8)＋Ceq \\al(1,8)(－3x)＋Ceq \\al(2,8)(－3x)2＋…＋Ceq \\al(8,8)(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，
因此a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65 536.
[题后总结]
新课程标准
新学法解读
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
2．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，进一步理解二项式定理.
1.能用计数原理证明二项式定理．
2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．
3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
4．掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用．
5．通过杨辉三角，了解中华优秀传统文化中的数学成就，初步体会“数学的美”.
错误原因
纠错心得
二项式系数与展开式各项的系数是两个不同的概念.
求解系数问题时，一定要审清题意，看准要求什么.
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