2022重庆荣昌区永荣中学高二下学期期中考试数学试题含解析

永荣中学校2021-2022学年度下高二数学期中考试卷

数学测试卷共 4 页，满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知函数的定义域为，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用导数的定义可求得的值.

【详解】由导数的定义可得.

故选：D.

2. 有3名防控新冠肺炎疫情的志愿者，每人从2个不同的社区中选择1个进行服务，则不同的选择方法共有

（    ）

A. 12种 B. 9种 C. 8种 D. 6种

【答案】C

【解析】

【分析】根据分步计数原理可求.

【详解】每名防控新冠肺炎疫情的志愿者都有2种不同的选择方法，根据分步计数原理可知，不同的选择方法共有（种）．

故选：C．

3. 曲线在处的切线的方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由导数的几何意义即可求解.

【详解】解：由，得，所以，，

所以曲线在处的切线的方程为，即．

故选：B.

4. 的展开式中，的系数为（    ）

A. 40 B.  C. 80 D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出的展开式为，在令，即可求出结果.

【详解】因为的展开式为

令，所以的系数为.

故选：D.

5. 已知函数的导函数为，且满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求导，代入即可求解.

【详解】∵，∴，∴，解得：.

故选：C.

6. 已知事件A，B相互独立，，则（    ）

A. 0.24 B. 0.8 C. 0.3 D. 0.16

【答案】B

【解析】

【分析】利用事件独立性的概率乘法公式及条件概率公式进行求解.

【详解】因为事件A，B相互独立，所以，所以

故选：B

7. 函数的极大值点为（    ）

A.  B.

C.  D. 不存在

【答案】B

【解析】

【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解.

详解】令，得，

因为时，，时，，所以时有极大值；

当时，，时，，所以时有极小值.

故选：B

8. 《长津湖》和《我和我的父辈》都是2021年国庆档的热门电影．某电影院的某放映厅在国庆节的白天可以放映6场，晚上可以放映4场电影．这两部影片只各放映一次，且两部电影不能连续放映（白天最后一场和晚上第一场视为不连续），也不能都在白天放映，则放映这两部电影不同的安排方式共有（    ）

A. 30种 B. 54种 C. 60种 D. 64种

【答案】B

【解析】

【分析】分两种情况考虑，均在晚上播放，或者白天一场，晚上一场，求得结果.

【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有48+6=54种.

故选：B

二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）

9. 下列各式正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据初等函数导数公式和复合函数导数运算法则直接求解可得结果.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，，B正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误.

故选：BC.

10. 如图是函数的导函数的图像，则以下说法正确的是（    ）

A. -2是函数的极值点；

B. 函数在处取最小值；

C. 函数在处切线的斜率小于零；

D. 函数在区间上单调递增.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据导函数图像分析函数单调性，对选项逐一判断

【详解】根据导函数的图象可得，

当上，，在上，，

故函数在上函数单调递减；在，函数单调递增，

所以是函数的极小值点，所以A正确；

其中两侧函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以B不正确；

由图象得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以C不正确；

由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以D是正确的，

故选：AD

11. （多选题）A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ）

A 若A、B不相邻共有72种方法

B. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法．

C. 若A在B左边有60种排法

D. 若A、B两人站在一起有24种方法

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用插空法，可判断A的正误；利用间接法，可判断B的正误；根据定序问题的求法，可判断C的正误；利用捆绑法，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】对于A：若A、B不相邻共有种方法，故A正确；

对于B：若A不站在最左边，B不站最右边，利用间接法有种方法，故B正确；

对于C：若A在B左边有种方法，故C正确；

对于D：若A、B两人站在一起有，故D不正确.

故选：ABC

12. 已知函数，下列结论正确的是（       ）

A. 是以为周期的函数 B. 是区间上的增函数

C. 是上的奇函数 D. 是的极值点

【答案】BC

【解析】

【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用函数的单调性与导数的关系可判断B选项；利用函数奇偶性的定义可判断C选项；利用函数极值点的定义可判断D选项.

【详解】对于A选项，，，

所以，，A错；

对于B选项，，当时，，

所以，函数是区间上的增函数，B对；

对于C选项，函数的定义域为，

，则是上的奇函数，C对；

对于D选项，当时，；当时，.

所以，不是函数的极值点，D错.

故选：BC.

三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

13. 的展开式中第3项是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的展开式的第项为.

故答案为：

14. 如图所示，直线是曲线在点处的切线，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】利用直线所过点求得直线的斜率，从而求得.

【详解】由图象可知直线过，

所以直线的斜率为，

所以.

故答案为：

15. 从3名男生和4名女生中选3人参加志愿者活动，则选到的志愿者中既有男生又有女生的不同选法共有__________种．（用数字作答）

【答案】30

【解析】

【分析】由题可得共有种不同选法，然后计算3人都是男生或都是女生的选法，即求.

【详解】从3名男生和4名女生中选3人参加志愿者活动，共有种不同选法，

其中3人都是男生或都是女生的选法有种，

所以选到的志愿者中既有男生又有女生的不同选法共有种.

故答案为：30.

16. 已知函数，当时，的零点个数为___________；若在定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】当时，结合导数求得的零点个数.由分离常数，通过构造函数法，结合导数求得的取值范围.

【详解】的定义域为，

当时，，

构造函数，

，所以在区间上递增，在区间上递减，，

所以，则，故零点个数为个.

令，.

构造函数，，

所以在区间上递增，在区间上递减，

，令解得.当时，，

所以.

故答案为：；

【点睛】分离常数法是在求解导数问题时常用的解题方法.

四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

【答案】（1）y′＝18x2＋4x－3；（2）y′＝ex(cosx－sinx).

【解析】

【分析】利用导数的运算法则求函数的导数即可.

【详解】（1），

（2）.

18. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

（1）求q的值；

（2）求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据分布列的性质列方程求得.

（2）结合（1）求得.

【小问1详解】

依题意，得，

解得或（舍去），

所以.

【小问2详解】

由（1）得，，

所以，.

19. 已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求在区间上的最值.

【答案】（1）   

（2）最小值为0，最大值为4

【解析】

【分析】（1）利用导数求得切线方程.

（2）结合导数求得在区间上的最值.

【小问1详解】

，

所以曲线在点处的切线方程为.

小问2详解】

，

所以在区间递增；在区间递减，

，

所以在区间上的最小值为，最大值为.

20. 某校足球队有高一学生6人，高二学生5人，高三学生8人．

（1）若每个年级各选1名学生担任召集人，则有多少种不同的选法？

（2）若选派2人外出参观学习，要求这2人来自不同年级，则有多少种不同的选法？

【答案】（1）240    （2）118

【解析】

【分析】（1）先从每个年级选一名召集人，然后再乘起来；

（2）分成三类：高一高二各选一人，高一高三各选一人，高二高三各选一人，然后在相加即可．

小问1详解】

由题意得共有（种不同选法．

小问2详解】

分成三类选派外出参观学习人员．

第一类：高一高二各选一人有种

第二类：高三高二各选一人有种

第三类：高一高三各选一人有种

所以共有种不同选法．

21. 银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：

（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率．

【答案】（1）；   

（2）﹒

【解析】

【分析】(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对有两种情况：“第一次对”和“第一次错，第二次对”；

(2)最后1位是偶数，不超过2次就按对也有两种情况：“第一次对”和“第一次错，第二次对”﹒

【小问1详解】

设“第i次按对密码”(，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为．

事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得

．

因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为．

【小问2详解】

设“最后1位密码为偶数”，则．

因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为．

22. 已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）的极小值为，无极大值；（2）.

【解析】

【分析】（1）求导，判断正负，得函数的单调性即可求得极值；（2）利用曲线与直线有两个交点，构造函数，求导判单调性，利用数形结合及值域求解即可

【详解】（1） 则，

所以当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的极小值为，无极大值；

（2），

函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.

，

当时，在单调递减，

当时，在单调递增，

时，取得极小值，

又时，；时，，.

【点睛】本题考查函数的单调性与极值，考查函数零点问题，转化的应用，是中档题