6.7 斜棱柱技法 讲义——高考数学一轮复习解题技巧方法

第7节  斜棱柱技法（新高考、理科专用）

知识与方法

斜棱柱是高考立体几何大题中常见的几何体，因为侧棱与底面并不垂直，故有两大难点须突破：

1.如何建系：在高考题中，斜棱柱往往会给出面面垂直或给出某个顶点在底面上的投影位置这类条件.若是前者，可根据面面垂直的性质定理得出线面垂直，进而建立坐标系；若是后者，则等于直接给出了线面垂直，建系即可.

2.“困难点”的坐标：斜棱柱中往往存在着某些顶点在坐标平面上的投影位置不易寻找的情况，这些点的坐标不易直接写出，此时可借助向量可以平移的特征，运用向量的线性运算规则，巧妙地避开直接写“困难点”的坐标，体现了转化与化归的数学思想.

典型例题

【例题】如下图所示，在三棱柱中，，平面，，D、E分别是、的中点.

（1）证明：；

（2）证明：平面；

（3）求与平面所成角的正弦值.

【解析】解：（1）由题意，平面，平面，所以，

又，且、平面，，所以平面，

因为平面，所以.

（2）取中点F，连接、，因为D、E分别是、的中点，所以且，又且，所以且，故四边形为平行四边形，从而，因为平面，，所以平面.

（3）由（1）知，又，所以，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则，所以，

从而，

故直线与平面所成角的正弦值为.

【反思】本题若直接写点的坐标，则需要耗费更多的时间，像解析那样，运用向量的线性运算，巧妙地回避写像这种困难点的坐标，是比较好的处理方法.

强化训练

1.（★★★★）如下图所示，在三棱柱中，底面与均为等边三角形，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】（1）取中点O，连接、，由题意，与都是边长为2的正三角形，所以，且，故，所以，

因为、平面，，所以平面，

又平面，所以平面平面

（2）以O为原点建立如图所示的坐标系，则，，，，所以，，，，

设平面的法向量为，

则，所以

从而，故直线与平面所成角的正弦值为.

2.（★★★★）在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点O.

（1）证明：在侧棱上存在一点E，使得平面，并求出的长；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

【解析】（1）由题意，平面，平面，所以，

因为，且O是的中点，所以，

因为、平面，，所以平面，

过O作于E，则平面，故，又，所以，因为、平面，，所以平面，

故侧棱上存在一点E，使得平面，易求得，，所以，.

（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，由（1）知，，由于平面，故平面的法向量可取，，，

设平面的法向量

则，所以，

从而，

故平面与平面夹角的余弦值为.

3.（★★★★）在三棱柱中，P、Q、D分别是、、的中点.

（1）证明：平面；

（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值.

【解析】（1）连接交于O，连接，由P、D分别是、中点知且，所以四边形是平行四边形，故O是中点，又Q是中点，所以，而平面，平面，故平面.

（2）由知是正三角形，在中，，，由余弦定理，，所以，故，取中点S，则，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，从而、、两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，

设平面的法向量为，

则，故，

显然平面的法向量可取，

所以

由图可知，二面角为锐角，故其余弦值为.

【反思】本题由于存在着面面垂直，所有点的坐标都比较容易写出来，故并未使用斜棱柱技法.在具体的问题中，是否需要用向量的线性运算来回避写一些“困难点”的坐标，得具体问题具体分析.