高中数学高考40第七章 不等式、推理与证明 7 4 基本不等式及其应用

§7.4　基本不等式及其应用

1．基本不等式：≤

(1)基本不等式成立的条件：           .

(2)等号成立的条件：当且仅当        时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥   (a，b∈R)．

(2)＋≥   (a，b同号)．

(3)ab≤2 (a，b∈R)．

(4)≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．

4．利用均值不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当      时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当      时，xy有最大值.(简记：和定积最大)

概念方法微思考

1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？

2．函数y＝x＋的最小值是2吗？

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　 　)

(2)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　 　)

(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　 　)

(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　 　)

(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．(　 　)

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　 　)

题组二　教材改编

2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)

A．80  B．77  C．81  D．82

3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.

题组三　易错自纠

4．“x>0”是“x＋≥2成立”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

5．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)

A．1＋  B．1＋  C．3  D．4

6．若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．5

题型一　利用均值不等式求最值

命题点1　配凑法

例1 (1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．

(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．

命题点2　常数代换法

例2 (2019·大连模拟)已知首项与公比相等的等比数列{an}中，满足ama＝a(m，n∈N+)，则＋的最小值为(　　)

A．1  B.  C．2  D.

命题点3　消元法

例3 已知正实数a，b满足a2－b＋4≤0，则u＝(　　)

A．有最大值   B．有最小值

C．有最小值3   D．有最大值3

跟踪训练1 (1)(2019·丹东质检)设x>0，y>0，若xlg 2，lg，ylg 2成等差数列，则＋的最小值为(　　)

A．8  B．9  C．12  D．16

(2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝2，则＋的最小值是(　　)

A．2  B．3  C．4  D．6

题型二　均值不等式的综合应用

命题点1　均值不等式与其他知识交汇的最值问题

例4已知圆O的方程为x2＋y2＝1，过第一象限内圆O外的点P(a，b)作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若·＝8，则a＋b的最大值为(　　)

A．3   B．3

C．4   D．6

命题点2　求参数值或取值范围

例5 (2018·包头模拟)已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)

A．2               B．4             C．6        D．8

跟踪训练2 (1)在△ABC中，A＝，△ABC的面积为2，则＋的最小值为(　　)

A.               B.             C.         D.

(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，则的最小值是(　　)

A．10   B．9

C．8   D．3

利用均值不等式求解实际问题

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题．过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题．

例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

1．函数f(x)＝的最小值为(　　)

A．3   B．4

C．6   D．8

2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)

A．x＝y   B．x＝2y

C．x＝2且y＝1   D．x＝y或y＝1

3．(2018·沈阳模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　)

A.   B．3

C．5   D．9

4．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)

A．8   B．6

C．4   D．2

5．已知函数f(x)＝ex在点(0，f(0))处的切线为l，动点(a，b)在直线l上，则2a＋2－b的最小值是(　　)

A．4   B．2

C．2   D.

6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)

A.≥(a>0，b>0)

B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)

C.≤(a>0，b>0)

D.≤(a>0，b>0)

7．设x，y均为正数，且xy＋x－y－10＝0，则x＋y的最小值是________．

8．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，则4a3＋的最小值为________．

9．已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面积为，则a的最小值为________．

10．已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________．

11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.

(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

(2)求＋的最小值．

12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.

(1)试用x，y表示S；

(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)

A．4   B．2

C．3   D.

14．如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且＋ ＝x＋y，则＋的最小值为(　　)

A．            B．2          C．          D．

15．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，侧面BCC1B1的面积为4，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为(　　)

A．24π   B．16π

C．8π   D．4π

16．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，对任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap·aq，则f(n)＝ 的最小值为________．