高中数学高考5 第5讲　直线、平面垂直的判定与性质 新题培优练

[基础题组练]

1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　　)

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

解析：选D.对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；

对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；

对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误，D正确．

2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(　　)

A．若l⊥β，则α⊥β　　　　 

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β 

D．若α∥β，则l∥m

解析：选A.选项A，因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，l⊂α，m⊂β，l与m的位置关系不确定；选项C，因为l∥β，l⊂α，所以α∥β或α与β相交；选项D，因为α∥β，l⊂α，m⊂β，此时l与m的位置关系不确定．故选A.

3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P­ABC中共有直角三角形的个数为(　　)

A．4　　　　　　　　　   B．3

C．2   D．1

解析：选A.由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC.又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P­ABC中共有4个直角三角形．

4.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)

A．直线AB上 

B．直线BC上

C．直线AC上 

D．△ABC内部

解析：选A.由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.

因为AC⊂平面ABC，

所以平面ABC1⊥平面ABC.

所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

5.如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面PAE

D．平面PDE⊥平面ABC

解析：选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，

BC⊄平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确；

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

且AE，PE⊂平面PAE，

所以BC⊥平面PAE，

因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，

又DF⊂平面PDF，

从而平面PDF⊥平面PAE.

因此选项B，C均正确．

6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________．

解析：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于2.

答案：2

7．如图所示，在四棱锥P­ABCD中PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析：连接AC，BD，则AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.

而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.

答案：DM⊥PC(或BM⊥PC)

8.如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中正确结论的序号是________．

解析：①AE⊂平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA⇒AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC，PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB，AF⊥PB，EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由①可知④正确．

答案：①②④

9.如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．

(1)求证：BF∥平面ADP；

(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.

证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG，

因为F是CE的中点，所以FG是梯形CDPE的中位线，

因为CD＝3PE，所以FG＝2PE，

FG∥CD，因为CD∥AB，AB＝2PE，

所以AB∥FG，AB＝FG，

即四边形ABFG是平行四边形，

所以BF∥AG，

又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，

所以BF∥平面ADP.

(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM，

因为BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，

所以ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE.

所以FM∥PD，因为PD⊥平面ABCD，

所以FM⊥平面ABCD，所以FM⊥BD，

因为AM∩FM＝M，所以BD⊥平面AMF，

所以BD⊥平面AOF.

10．由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.

(1)证明：A1O∥平面B1CD1;

(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.

证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

由于ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，

所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，

因此四边形A1OCO1为平行四边形，

所以A1O∥O1C，

又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

所以A1O∥平面B1CD1.

(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，

所以EM⊥BD，

又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以A1E⊥BD，

因为B1D1∥BD，

所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，

又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，

所以B1D1⊥平面A1EM，

又B1D1⊂平面B1CD1，

所以平面A1EM⊥平面B1CD1.

[综合题组练]

1．(创新型)如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是(　　)

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′­FED的体积有最大值．

A．①　　　　　　　　　   B．①②

C．①②③   D．②③

解析：选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，

所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.

③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′­FED的体积达到最大，故选C.

2．(创新型)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BCF；④平面DCF⊥平面BCF，则上述结论可能正确的是(　　)

A．①③   B．②③

C．②④   D．③④

解析：选B.对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则①不成立；对于②，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，所以②正确；对于③，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；对于④，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以④不成立．

3．(创新型)在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：

①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；

②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；

③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

解析：①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于E，连接CE.则⇒BD⊥平面AEC⇒BD⊥CE，而在平面BCD中，EC与BD不垂直，故假设不成立，①错．

②假设AB⊥CD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC，由AB＜BC可知，存在这样的等腰直角三角形，使AB⊥CD，故假设成立，②正确．

③假设AD⊥BC，

因为DC⊥BC，所以BC⊥平面ADC，

所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，且AB为斜边，而AB＜BC，故矛盾，假设不成立，③错．综上，填②.

答案：②

4．(应用型)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可以得A1B1＝，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h，

又2×＝h×，

所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，B1E＝＝.

由面积相等得× ＝x，得x＝.即线段B1F的长为.

答案：

5.如图，在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.

(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；

(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥S­BCD的体积为，求侧面△SAB的面积．

解：(1)证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，

则BD＝a，∠CBD＝45°，

所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，

在△ABD中，

AD＝＝a，

因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，

由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，

所以BD⊥平面SAD，

又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.

(2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin 60°＝a，

作SH⊥AD，交AD的延长线于点H，

则SH＝SDsin 60°＝a，

由(1)知BD⊥平面SAD，

因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，

又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，

所以SH为三棱锥S­BCD的高，

所以VS­BCD＝×a××a2＝，

解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，

则SB＝＝＝2，

又AB＝2，SA＝，

在等腰三角形SBA中，

边SA上的高为 ＝，

则△SAB的面积为××＝.

6．如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2.

(1)求证：PF⊥平面ABED；

(2)求点A到平面PBE的距离．

解：(1)证明：在题图2中，连接EF，

由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，

在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，

所以PF⊥BF.

在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝＝，

在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，

因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.

(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，

所以PF为三棱锥P­ABE的高．

设点A到平面PBE的距离为h，

因为VA­PBE＝VP­ABE，即××6×9×h＝××12×6×2，所以h＝，

即点A到平面PBE的距离为.