高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 古典概型的应用导学案及答案

2.2　古典概型的应用

1．求古典概型概率问题的关键是什么？

2．互斥事件的概率加法公式是什么？

互斥事件的概率加法公式

(1)在一个试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，这一公式称为互斥事件的概率加法公式．特别地，P(A)＝1－P()．

(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

(1)设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A＋B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？

(2)从某班任选6名同学作为志愿者参加市运动会服务工作，记 “其中至少有3名女同学”为事件A，那么事件A的对立事件是什么？

[提示]　(1)不一定．当事件A与B互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A＋B)≠P(A)＋P(B)．

(2)事件A的对立事件是“其中至多有2名女同学”．

1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)

A．0.42 B．0.28

C．0.3 D．0.7

C　[∵“摸出黑球”是“摸出红球或摸出白球”的对立事件，∴“摸出黑球”的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.]

2.甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．

　[记甲队胜为事件A，

则P(A)＝1－－＝.]

类型1　互斥事件的概率加法公式及应用

【例1】　一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：

(1)取出1球是红球或黑球的概率；

(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．

[解]　法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．

∴任取1球得红球或黑球的概率为P1＝＝.

(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为＝.

法二：(利用互斥事件求概率)

记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，

A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.

根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得

(1)取出1球为红球或黑球的概率为

P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.

(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为

P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.

法三：(利用对立事件求概率)

(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为

P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.

(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.

概率公式的应用

(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．

(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)＋P()＝1，求出符合条件的事件的概率．

1．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：

(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；

(2)小王数学考试及格的概率．

[解]　设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥．

(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，

所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.

(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，

所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.

类型2　“放回”与“不放回”问题

【例2】　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．

(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

[解]　(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．

用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，

所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．

因为事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.

(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个样本点组成，因而P(B)＝.

解决有序和无序问题应注意两点

(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．

(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．

2．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率．

[解]　(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P＝＝.

(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．

又满足条件n≥m＋2的有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．

所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝，

故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.

类型3　建立概率模型解决问题

【例3】　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐．

(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．

[解]　将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：

如图所示，本题中的样本点的总数为24.

(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝.

(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝＝.

1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．

[解]　设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)＝＝.

2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．

[解]　法一：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事件E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件E包含6个样本点，则D＝A＋E, 且事件A与E为互斥事件，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝＋＝.

法二：设事件D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－－＝.

1．当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况．

2．在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便．

3．甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：

(1)甲在边上；

(2)甲和乙都在边上；

(3)甲和乙都不在边上．

[解]　利用树状图来列举样本点，如图所示．

由树状图可看出共有24个样本点．

(1)甲在边上有12种情形：

(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．

故甲在边上的概率为P＝＝.

(2)甲和乙都在边上有4种情形：

(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，

(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，

故甲和乙都在边上的概率为P＝＝.

(3)甲和乙都不在边上有4种情形：

(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，

(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，

故甲和乙都不在边上的概率为P＝＝.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若A与B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(　　)

(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B为对立事件．(　　)

(3)某班统计同学们的数学测试成绩，事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“所有同学的成绩都在60分以下”．(　　)

[提示]　(1)错误．只有当A与B为对立事件时，P(A)＋P(B)＝1.

(2)错误．

(3)错误．事件“所有同学的成绩都在60分以上”的对立事件为“至少有一个同学的成绩在60分以下”．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)

A．0.2 B．0.8

C．0.4 D．0.1

B　[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]

3．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　)

A． B．

C． D．

D　[我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个基本事件，因此体育课不排在第一节的概率为.]

4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不中靶的概率是________．

0.10　[令“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.]

5．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

　[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件的概率加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝.]