第四单元 长方体（二）——2022-2023学年五年级下册数学北师大版知识点总结+练习学案（教师版+学生版）

北师大版数学五年级下册

知识点01：体积与容积的概念

体积：物体所占空间的大小叫作物体的体积。(从外部测量)容积：容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。(从内部测量)

注意:

①同一个容器，体积大于容积;当容器壁很薄时，容积近等于体积如果容器壁忽略不计时，容积等于体积

②几个物体拼在一起时，它们的体积不发生改变( 它们占空间的大小没有发生变化 )

知识点02：体积单位

1. 认识体积、容积单位

常用的体积单位：立方米(米3)、 立方分米(分米3)、立方米(厘米3）。

常用的容积单位：升、毫升、1升=1分米3、1毫升=1厘米3

2. 感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义

①手指头、苹果、火柴盒体积较小，可用厘米3作单位。

②西瓜、粉笔盒体积稍大，可以用分米3作单位。

③矿泉水瓶、墨水瓶可以用毫升作单位。

④热水瓶等较大盛液体容器、冰箱可用升作单位。

⑤我们饮用的自来水用“立方米”作单位。

知识点03：长方体的体积

1. 长方体、正方体体积的计算方法

①长方体的体积=长×宽×高，长用a表示，宽用b表示，高用h 表示，体积用V表示，体积可表示为V=abh。

②正方体的体积=棱长×棱长×棱长，如果棱长用a表示，体积可表示为V=a3=a×a×a。

长方体(正方体)的体积=底面积×高，V=Sh。

补充知识点：长方体的体积=横截面面积×长。

2. 能利用长方体(正方体)的体积及其他两个条件求出问题，如：长方体的高=体积÷长÷宽，长=体积÷高÷宽，宽=体积÷高÷长。注意：计算体积时，单位一定要统一；表面积与体积表示的意义不样，单位不同，无法比较大小。

知识点04：体积单位的换算

常用的体积单位有：立方厘米(cm3)、立方分米(dm3) 、立方米(m3)。

常用的容积单位有：升(L)、毫升(mL)。

1. 体积、容积单位之间的进率：相邻体积、容积单位间进率为1000；1米3=1000分米3、1分米3=1000 厘米3、1升=1分米3、1毫升=1厘米3、1升=1000毫升。
2. 体积、容积单位之间的换算方法：体积、容积单位之间的换算由高级单位化成低级单位乘进率，由低级单位化成高级单位除以进率。

考点01：体积与容积、体积单位

【典例分析01】在括号里填上适当的体积单位或容积单位．

【分析】根据容积单位、体积单位的意义，常用的容积单位有：升和毫升；常用的体积单位有：立方米、立方分米、立方厘米；然后根据实际生活情况进行解答即可．

【解答】解

【点评】此题考查的目的是理解掌握容积单位、体积单位的意义及应用．

【变式训练01】下面容器的容量大约是多少升？在合适答案后面的里画“√”。

【变式训练02】把同样多的盐放入下面杯子后，哪杯水最咸？画“△”，哪杯水最淡？画“√”。

【变式训练03】从下面两组数据中，各找出一个与其他不同的，请划去．

（1）3.84m3，384dm3，3840dm3，3840000cm3

（2）8704dm3，8704000cm3，8.704m3，870400cm3

考点02：长方体的体积、体积单位的换算

【典例分析02】如图是一个长方体的展开图。

（1）长方体的棱长总和是 　76　厘米。

（2）如果以A为底，请用字母“B”标出这个面的对面。

（3）计算这个长方体的表面积和体积。

【分析】（1）看图，这个长方体的长、宽、高分别是8厘米、8厘米和3厘米，根据长方体的棱长和公式，直接列式求出它的棱长总和；

（2）以“A”为底，在想象中将这个展开图还原，找出这个面的对面；

（3）长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，将数据代入公式，求解即可。

【解答】解：（1）（8+8+3）×4

＝19×4

＝76（厘米）

所以，长方体的棱长总和是76厘米。

（2）如图：

（3）表面积：

（8×3+8×8+3×8）×2

＝（24+64+24）×2

＝112×2

＝224（平方厘米）

体积：8×8×3＝192（立方厘米）

答：这个长方体的表面积是224平方厘米，体积是192立方厘米。

故答案为：76。

【点评】本题考查了长方体的展开图、棱长和、表面积以及体积，有一定空间观念，掌握公式是解题的关键。

【变式训练01】计算如图图形的表面积和体积。

【变式训练02】如图的容器正好是2升，请你分别标出400毫升、1升、1600毫升的位置。

【变式训练03】一个长方体牙膏盒的表面积是408cm2，它的底面积是24cm2，它的底面周长是20cm。这个长方体的体积是多少？

考点03：探索某些实物体积的测量方法

【典例分析03】实践探索：

在一次实践活动中，某小组用一个棱长2分米的玻璃容器和尺子测量一块铁块的体积，如图所示。请将设计方案补充完整。

（1）向容器内倒入6升水，做出标记。

（2）将铁块完全没入水中。

（3）再用尺子量出 　水的高度　。

（4）根据已知条件和所量出的数据，计算出 　上升部分水的体积　，也就是铁块的体积。

（5）假设一位同学量出铁块浸没后，水面的高度为1.8分米，请你试着求出铁块的体积。

【分析】用排水法来测量不规则物体的体积，在有刻度的量杯里装上水，记下水的体积，把不规则的物体放入杯中，记下此时的体积，求出两次体积的差，就求出了不规则物体的体积，最后再将容积单位换算成体积单位，据此解答。

【解答】解：（1）向容器内倒入6升水，做出标记。

（2）将铁块完全没入水中。

（3）再用尺子量出水的高度。

（4）根据已知条件和所量出的数据，计算出上升部分水的体积，也就是铁块的体积。

（5）6升＝6立方分米

6÷（2×2）

＝6÷4

＝1.5（分米）

2×2×（1.8﹣1.5）

＝4×0.3

＝1.2（立方分米）

答：铁块的体积是1.2立方分米。

【点评】此题主要考查某些实物体积的测量方法。

【变式训练01】请想办法测量一个不规则土豆的体积。写出你的测量方案。

所需要的工具：　   　

测量的办法：　   　

【变式训练02】学校仪器室有一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，高80厘米，在玻璃缸里注入60升水。

（1）求玻璃缸内水深多少厘米？

（2）再往水里放入一块石头（完全浸没），水面上升了2厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？

【变式训练03】有大、小两种玻璃球，放入盛有同样多水的圆柱形容器中，用“排水法”测量玻璃球的体积。请仔细观察、思考后解答。

（1）一个大玻璃球和一个小玻璃球的体积比是 　   　：　   　。

（2）图4水面的高度是 　   　厘米。

（3）一个大玻璃球的体积是多少立方厘米？（请列式计算）

一．选择题（共5小题）

1．如图中，左边容器里的水正好可以倒满右边的正方体容器，左边容器的容量是（　　）

A．1升 B．3升 C．4升

2．一个油箱能装60升油，是指这个油箱的（　　）是60升。

A．表面积 B．体积 C．容积

3．如两图形分别表示一个长方体的前面和右侧面，那么这个长方体的体积是（　　）

A．36立方厘米 B．12立方厘米 C．18立方厘米 D．30立方厘米

4．一个热水器可装水80升，这个热水器的体积可能是（　　）立方分米。

A．200 B．84 C．80 D．78

5．王叔叔把一个如图形状的铁质零件放入底面积是30平方分米，水深4分米的长方体玻璃缸里（完全浸入水中），水面上升了1分米（水未溢出）。这个零件的体积是（　　）

A．30立方分米 B．30立方厘米 

C．300立方厘米 D．300立方分米

二．填空题（共5小题）

6．一个长方体容器内装满水后，放入一块石头，这时溢出了2.8升的水，这块石头的体积是 　   　立方分米。

7．一根3米长的方钢，把它横截成3段时，表面积增加72平方分米，原来方钢的体积是 　   　。

8．一个玻璃杯的容量是200毫升，一大瓶矿泉水的容量是1升，一大瓶矿泉水能倒满 　   　个这样的玻璃杯。

9．物体所占空间的大小叫做物体的 　   　；小瓶健康抑菌洗手液约260 　   　。

10．55毫升＝　   　升，6立方米＝　   　立方分米。

三．判断题（共5小题）

11．如果两个长方体的体积相等，那么它们的长、宽、高也一定分别相等。 　   　

12．把一个石块放入一个正方体容器里，容器里的水溢出6.28立方厘米，石块的体积是6.28立方厘米．　   　．

13．把1升的水倒入空碗中结果溢出，说明碗的容量比1升大。 　   　

14．一个铁桶可装水100升，这个桶的体积是100立方分米。 　   　

15．一个杯子只能装水66毫升，我们说杯子的容积是66毫升。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．计算下面长方体和正方体的体积。

（1）

（2）

五．应用题（共5小题）

17．一个集装箱长是9m，宽是3.4m，高是2.5m。这个集装箱的容积是多少立方米？（厚度忽略不计）

18．爸爸在一个长是9分米，宽是5分米，高是7分米的长方体鱼缸里放了一个假山石（假山石全部浸没在水里），这时水面上升了3厘米，这个假山石的体积有多大？

19．叔叔在一个长4dm、宽2dm、高3dm的玻璃缸中，倒入16L水，再放入一个假山（完全浸没在水中），这时量得玻璃缸内水深2.04dm。请问这个假山的体积是多少立方分米？

20．用甲、乙两个玻璃杯给同一个玻璃缸倒水，用甲杯6次可以倒满，用乙杯8次可以倒满．哪个杯子的容积大？为什么？

21．一个长方体机油桶，从内部测量长60cm、宽25cm、高20cm，如果每升机油重0.8kg，这个机油桶最多可装机油多少千克？

一．选择题（共5小题）

1．一个杯子中装着200mL的水，这个杯子的容积是（　　）

A．200mL B．1L C．20mL D．无法确定

2．一个油箱能装汽油160升，我们说这个油箱的（　　）是160升．

A．表面积 B．体积 C．容积

3．1立方分米的正方体，棱长是（　　）

A．1dm B．1dm2 C．1dm3

4．相邻的两个容积单位之间的进率是（　　）

A．10 B．100 C．1000

5．一个盛有水的长方体容器，从里面量长6dm，宽3.5dm，将一块石头完全浸没在水中后，水面升高了0.8dm，这块石头的体积是（　　）dm3

A．15.6 B．16.8 C．17.2 D．17.6

二．填空题（共5小题）

6．一个长40厘米，宽20厘米，高20厘米的长方体鱼缸中水深15厘米，放入几条金鱼后，水面上升了3厘米，这几条金鱼的体积是 　   　。

7．

8．一根长2.5dm，横截面积是0.36dm2的钢材，如果1dm3的钢材重8kg，这根钢材的重量为 　   　kg。

9．计量比较少的液体，通常用　   　作单位，可以用字母　   　表示．

10．1立方米＝　   　立方分米＝　   　立方厘米．

三．判断题（共5小题）

11．两个长方体木箱的体积相等，则它们的容积也一定相等．　   　

12．计量液体，如汽油、饮料、药水等，用升或毫升作单位。 　   　

13．一个长方体的底面积和高都扩大到原来的4倍，它的体积扩大到原来的16倍。 　   　

14．相邻的两个体积单位之间的进率是1000，所以1立方分米＝1000升．　   　

15．把一个石块放进一只水桶里，桶里的水溢出6.28毫升，这个石块的体积是6.28立方厘米． 　   　．

四．计算题（共1小题）

16．计算如图所示图形的表面积和体积。（单位：cm）

五．应用题（共5小题）

17．毛叔叔用五块玻璃制作了一个长方体鱼缸，五块玻璃的大小如图所示，这个鱼缸的容积是多少升？（玻璃厚度忽略不计）（单位：厘米）

18．一个密封的长方体铁盒长30cm，宽18cm，高12cm。如果它按图①放置|时，里面的水深是9cm。如果按图②放置时，里面的水深是多少厘米？

19．中国冶炼铸铁的技术比欧洲早，据《管子》记载，齐国“断山木，鼓山铁”。齐国工匠将一块棱长是60厘米的正方体铁块，锻铸成一个长25厘米，宽16厘米的长方体铁棒，这个长方体铁棒的高是多少厘米？

20．某航空公司对乘客携带行李规定如下。

按规定，随身登机行李箱的体积最大是多少立方分米？

21．一个长方体的长、宽、高分别是10cm、9cm、8cm。从中截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少立方厘米？

一．选择题（共5小题）

1．（2022秋•沛县期中）把甲杯装满果汁后倒入乙杯，未倒满，甲杯容量（　　）乙杯容量。

A．大于 B．小于 C．等于

2．（2022春•兴文县期末）一个药水瓶最多能装下250mL的药水，我们就说这个药水瓶的（　　）是250mL。

A．容积 B．体积 C．表面积

3．（2022秋•海口期中）1升的水倒进容量200毫升的杯子中，可以倒满（　　）杯。

A．5 B．50 C．6 D．10

4．（2021秋•吴堡县期末）一个长方体容器从里面量长30厘米，宽20厘米，高15厘米，里面装了7厘米深的水。将一块钢材放入其中沉没（水未溢出），这时水深11厘米。这块钢材的体积是（　　）立方厘米。

A．2400 B．1800 C．3600 D．1200

5．（2022春•长寿区期末）一盒酸奶，外包装是长方体形状，包装纸上标注“净含量650ml“。实际量得外包装长8cm，宽5cm，高15cm。根据以上数据，你认为标注的净含量是（　　）

A．无法确定真假 B．真实的 

C．虚假的

二．填空题（共5小题）

6．（2022春•平邑县校级期中）物体所占　   　的大小叫做物体的体积．常用的体积单位有　   　、　   　、　   　．

7．（2022春•奉节县期末）在长方体玻璃缸里放入一些玻璃珠后水面上升了1厘米（如图），这些玻璃珠的体积是 　   　立方厘米。

8．（2022秋•莱阳市期末）2800立方厘米＝　   　L

3.6立方米＝　   　dm3

9．（2021秋•建邺区校级期末）人体每天需要补充2000 　   　左右的水份。丽丽随身带的保温杯容量是500毫升，她每天至少需要喝 　   　杯才能满足身体需求。

10．（2022春•梁平区期末）一个棱长10cm的正方体容器中，装有8cm高的牛奶，这些牛奶有 　   　毫升。

三．判断题（共5小题）

11．（2022春•丰都县期末）立方米只是体积单位，不是容积单位。 　   　

12．（2022•杭州模拟）体积一样大的两个容器它们的容积可能不一样大。 　   　

13．（2021春•大东区校级期中）求一个不规则物体的体积，把这个物体放到水里（浸没未溢出），求升高的水的体积就可以了。 　   　

14．（2022秋•汝阳县期中）一瓶可乐的容量是2升，雪雪和爸爸、妈妈、哥哥每人喝450毫升就把这瓶可乐喝完了。 　   　

15．（2022春•沾益区期末）一个正方体的棱长是原来的2倍，它的体积是原来的8倍。 　   　

四．计算题（共1小题）

16．（2022•杭州模拟）求如图图形的表面积和体积（单位：米）。

五．应用题（共5小题）

17．（2022春•兴文县期末）家具厂订购了500根方木，每根方木长3m，横截面是边长为2dm的正方形，这些木料的总体积是多少立方米？

18．（2022秋•古田县期中）一个长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米。如果高增加2分米，表面积将增加多少平方分米？体积增加多少立方分米。

19．（2022秋•江都区期中）王大伯按照右图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？

20．（2022春•铜梁区期末）一块面积为36dm2的正方形铁皮，在它的4个角各剪去一个正方形，弯折后焊接成一个无盖的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少升？

21．（2022秋•海口期中）一个密封的长方体玻璃缸，从里面量长20厘米、宽10厘米、高15厘米，现在缸里的水深12厘米。

（1）这个密封玻璃缸里装了多少升水？

（2）如果将缸竖起来放（如图），那么缸里水深多少厘米？