【备战2023高考】数学总复习——专题05 计数原理与二项式定理（全国通用）

计数原理与二项式定理

难度：★★★★☆            建议用时： 30分钟              正确率 ：      /30

一、单选题

1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

2．（2022·北京·统考高考真题）若，则（    ）

A．40 B．41 C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

令，则，

故，

故选：B.

3．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）

A．60 B．15 C．120 D．30

【答案】A

【解析】方法1：可以看作6个相乘，从中选2个y，有种选法；再从剩余的4个括号中选出3个x，最后一个括号选出，有种选法；所以的系数为．

方法2：因为，所以其展开式的通项公式为，

令，得展开式的通项公式为，再令，得，

所以的系数为．

故选：A.

4．（2023·山西忻州·统考模拟预测）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ）

A．120种 B．240种 C．420种 D．720种

【答案】C

【解析】如图，先在A中种植，有5种不同的选择，再在B中种植，有4种不同的选择，再在C中种植，有3种不同的选择，再在D中种植，

若D与B种植同一种花卉，则E有3种不同的选择，若D与B种植不同花卉，则D有2种不同的选择，E有2种不同的选择，

不同的布置方案有种；

故选：C.

5．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ）

A．56种 B．64种 C．72种 D．96种

【答案】D

【解析】由题意可知：根据是否入选进行分类：

若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；

若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，

所以共有种不同的安排方法，

故选：.

6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）的展开式中，含项的系数为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】的展开式的通项公式为，令，可得；

所以含项的系数为，即，解得.

故选：C.

7．（2023·全国·模拟预测）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】二项式展开式的通项公式为，其中，

由（其中），即，

，，

依题意可知使上式成立，即，

所以.

故选：A

8．（2023·山东潍坊·统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（    ）

A．24种 B．36种 C．48种 D．60种

【答案】B

【解析】①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有种安排方法，

此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；

②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第四、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法，

此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；

③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有种选择，超重耐力在第一、第五天有种选择，剩下两种测试全排列，则有种安排方法；

故选拔测试的安排方案有种.

故选：B.

9．（2023·全国·模拟预测）的展开式中的常数项为（    ）

A．－20 B．30 C．－10 D．10

【答案】D

【解析】解:因为

的展开式的通项公式为,

令,得;

令,得,

所以的展开式中的常数项为:

.

故选:D

10．（2023·全国·模拟预测）导师制是高中新的教学探索制度，班级科任教师作为导师既面向全体授课对象，又对指定的若干学生的个性、人格发展和全面素质提高负责．已知有3位科任教师负责某学习小组的6名同学，每2名同学由1位科任教师负责，则不同的分配方法的种数为（    ）

A．90 B．15 C．60 D．180

【答案】A

【解析】先将6名同学平均分为3组，不同的分组方式为，

然后再将分好的3组，分配给3位科任教师，不同的分配方式为.

所以，不同的分配方法的种数为.

故选：A.

11．（2023·安徽宿州·统考一模）设，若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】D

【解析】由题可知，，所以；

同理可得；

由可得，即，

所以，即，

解得.

故选：D

12．（2023·云南曲靖·统考一模）已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（    ）

A．2022 B．2023 C．40 D．50

【答案】D

【解析】的展开式中含x的项为：

，

的展开式中含x的项为：

，

所以，的展开式中含x的项为6x，其系数．

依题意得，

故选：D．

二、填空题

13．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

【答案】-28

【解析】因为，

所以的展开式中含的项为，

的展开式中的系数为-28

故答案为：-28

14．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则__________，___________．

【答案】         

【解析】含的项为：，故；

令，即，

令，即，

∴，

故答案为：；．

15．（2022·天津·统考高考真题）的展开式中的常数项为______.

【答案】

【解析】由题意的展开式的通项为，

令即，则，

所以的展开式中的常数项为.

故答案为：.

16．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为____．

【答案】60

【解析】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为．

故答案为：60.